В математике полная категория — это категория , в которой существуют все малые пределы . То есть категория C является полной, если каждая диаграмма F : J → C ( где J мало ) имеет предел в C. Двойственно кополная категория — это категория, в которой существуют все малые копределы . Биполная категория — это категория, которая одновременно является полной и кополной.
Существование всех пределов (даже если J — собственный класс ) слишком строго, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкой категорией : для любых двух объектов может существовать не более одного морфизма одного объекта в другой.
Более слабая форма полноты — это форма конечной полноты. Категория является конечно полной, если существуют все конечные пределы (т.е. пределы диаграмм, индексированных конечной категорией J ). Двойственным образом категория является конечно кополной, если существуют все конечные копределы.
Из теоремы существования пределов следует , что категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет эквалайзеры (всех пар морфизмов) и все (малые) произведения . Поскольку эквалайзеры могут быть построены из обратных моделей и бинарных произведений (рассмотрим обратную связь ( f , g ) по диагонали Δ), категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет обратные модели и произведения.
Двойственно, категория является кополной тогда и только тогда, когда она имеет соэквалайзеры и все (маленькие) копродукции или, что то же самое, выталкивания и копродукции.
Конечная полнота может быть охарактеризована несколькими способами. Для категории C все следующие условия эквивалентны:
Двойные утверждения также эквивалентны.
Малая категория C полна тогда и только тогда, когда она кополна. [1] Небольшая полная категория обязательно является тонкой.
Посетальная категория бессмысленно имеет все уравниватели и совыравниватели, следовательно, она (конечно) полна тогда и только тогда, когда она имеет все (конечные) произведения, и двойственно для кополноты. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически является кополной и двойственной по теореме о полных решетках.