Дифференциальная градуированная алгебра

Алгебраическая структура в гомологической алгебре

В математике , в частности в гомологической алгебре , дифференциальная градуированная алгебра — это градуированная ассоциативная алгебра с добавленной цепной комплексной структурой, которая соблюдает структуру алгебры .

Определение

Дифференциальная градуированная алгебра (или DG-алгебра для краткости) A — это градуированная алгебра, снабженная отображением , имеющим либо степень 1 (конвенция о коцепном комплексе), либо степень −1 (конвенция о цепном комплексе), которая удовлетворяет двум условиям: ${\displaystyle d\colon A\to A}$

1. ${\displaystyle d\circ d=0}$.
   Это говорит о том, что d дает A структуру цепного комплекса или коцепного комплекса (соответственно, как дифференциал уменьшает или увеличивает степень).
2. ${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)}$, где - степень однородности элементов. ${\displaystyle \operatorname {deg} }$
   Это говорит о том, что дифференциал d подчиняется градуированному правилу Лейбница .

Более лаконичный способ сформулировать то же самое определение — сказать, что DG-алгебра — это моноидный объект в моноидальной категории цепных комплексов . DG-морфизм между DG-алгебрами — это градуированный гомоморфизм алгебр, который уважает дифференциал d .

Дифференциальная градуированная расширенная алгебра (также называемая DGA-алгеброй , расширенной DG-алгеброй или просто DGA ) — это DG-алгебра, снабженная DG-морфизмом в основное кольцо (терминология принадлежит Анри Картану ). ^[1]

Предупреждение: в некоторых источниках для обозначения DG-алгебры используется термин DGA .

Примеры DG-алгебр

Тензорная алгебра

Тензорная алгебра является DG-алгеброй с дифференциалом, подобным дифференциалу комплекса Кошуля . Для векторного пространства над полем существует градуированное векторное пространство, определяемое как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}}$

где . ${\displaystyle V^{\otimes 0}=K}$

Если есть базис для , то существует дифференциал на тензорной алгебре, определенный покомпонентно ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)}$

отправка базовых элементов в

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes d(e_{i_{j}})\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}}$

В частности у нас есть и так ${\displaystyle d(e_{i})=(-1)^{i}}$

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}}$

комплекс Козюля

Одним из основополагающих примеров дифференциальной градуированной алгебры, широко используемой в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , является комплекс Кошуля . Это связано с его широким спектром приложений, включая построение плоских разрешений полных пересечений, и с производной точки зрения , они дают производную алгебру, представляющую производный критический локус.

Алгебра Де-Рама

Дифференциальные формы на многообразии вместе с внешним выводом и внешним произведением образуют DG-алгебру. Они имеют широкое применение, в том числе в теории производных деформаций. ^[2] См. также когомологии де Рама .

Сингулярные когомологии

• Сингулярные когомологии топологического пространства с коэффициентами в являются DG-алгеброй: дифференциал задается гомоморфизмом Бокштейна, связанным с короткой точной последовательностью , а произведение задается произведением кубков . Эта дифференциальная градуированная алгебра использовалась для вычисления когомологий пространств Эйленберга–Маклейна на семинаре Картана. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

Другие факты о DG-алгебрах

• Гомологии DG-алгебры являются градуированной алгеброй. Гомологии DGA-алгебры являются дополненной алгеброй . ${\displaystyle H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)}$ ${\displaystyle (A,d)}$

Смотрите также

• Гомотопическая ассоциативная алгебра
• Дифференцированная градуированная категория
• Дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Дифференцированная градуированная схема
• Дифференцированный оценочный модуль

Ссылки

1. Картан, Анри (1954). "О группах Эйленберга-Маклейна H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} ". Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 40 (6): 467–471. doi : 10.1073/pnas.40.6.467 . PMC  534072 . PMID  16589508.
2. Манетти, Марко. "Дифференциальные градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 г.
3. Картан, Анри (1954–1955). «DGA-алгебры и DGA-модули». Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–9.
4. Картан, Анри (1954–1955). «DGA-модули (пакет), понятие конструкции». Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–11.

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, см. разделы V.3 и V.5.6