В теории музыки дополнение относится либо к традиционному интервальному дополнению , либо к совокупному дополнению двенадцатитоновой и сериальной частей .
В интервальном дополнении дополнением называется интервал , который при добавлении к исходному интервалу в общей сложности охватывает октаву . Например, большая терция является дополнением малой сексты. Дополнение любого интервала также известно как его инверсия или обращение . Обратите внимание, что октава и унисон являются дополнениями друг друга, а тритон является своим собственным дополнением (хотя последний «переписывается» либо как увеличенная кварта, либо как уменьшенная квинта, в зависимости от контекста).
В совокупной комплементарности двенадцатитоновой музыки и сериализма комплемент одного набора нот хроматической гаммы содержит все остальные ноты гаммы. Например, ABCDEFG комплементарен нотами B ♭ -C ♯ -E ♭ -F ♯ -A ♭ .
Обратите внимание, что теория музыкальных множеств несколько расширяет определение обоих смыслов.
Правило девяти — простой способ выяснить, какие интервалы дополняют друг друга. [1] Если взять названия интервалов в качестве количественных числительных (кварта и т. д. становится четырьмя ), то получим, например, 4 + 5 = 9. Следовательно, кварта и квинта дополняют друг друга. Там, где мы используем более общие названия (например, полутон и тритон ), это правило не может быть применено. Однако октава и унисон не являются общими, а конкретно относятся к нотам с одинаковым названием, следовательно, 8 + 1 = 9.
Совершенные интервалы дополняют (разные) совершенные интервалы, большие интервалы дополняют малые интервалы, увеличенные интервалы дополняют уменьшенные интервалы, а двойные уменьшенные интервалы дополняют двойные увеличенные интервалы.
Используя целочисленную запись и модуль 12 (в котором числа «переходят» на 12, 12 и его кратные, следовательно, определяются как 0), любые два интервала, которые в сумме дают 0 (mod 12), являются дополнениями (mod 12) . В этом случае унисон, 0, является своим собственным дополнением, в то время как для других интервалов дополнения такие же, как указано выше (например, чистая квинта , или 7, является дополнением чистой кварты , или 5, 7 + 5 = 12 = 0 mod 12).
Таким образом, #Сумма дополнения равна 12 (= 0 mod 12).
В музыкальной теории множеств или атональной теории дополнение используется как в указанном выше смысле (в котором чистая кварта является дополнением чистой квинты, 5+7=12), так и в аддитивном обратном смысле того же мелодического интервала в противоположном направлении – например, нисходящая квинта является дополнением восходящей квинты. [ необходима ссылка ]
В двенадцатитоновой музыке и сериализме дополнение (в полном смысле, буквальное дополнение класса высоты тона ) — это разделение коллекций классов высоты тона на дополнительные наборы, каждый из которых содержит классы высоты тона, отсутствующие в другом [2] или, скорее, «отношение, посредством которого объединение одного набора с другим исчерпывает совокупность». [3] Чтобы дать «простое объяснение...: дополнение набора класса высоты тона состоит, в буквальном смысле, из всех нот, оставшихся в двенадцатинотонной хроматике, которые не входят в этот набор». [4]
В двенадцатитоновой технике это часто разделение общей хроматики двенадцати классов высоты тона на два гексахорда по шесть классов высоты тона каждый. В рядах со свойством комбинаторности два двенадцатитоновых ряда тонов (или две перестановки одного ряда тонов) используются одновременно, тем самым создавая «два агрегата , между первыми гексахордами каждого и вторыми гексахордами каждого, соответственно». [2] Другими словами, первый и второй гексахорды каждой серии всегда будут объединяться, чтобы включать все двенадцать нот хроматической гаммы, известной как агрегат , как и первые два гексахорда соответствующим образом выбранных перестановок и вторые два гексахорда.
Гексахордовая комплементарность — это использование потенциала пар гексахордов, которые содержат шесть различных классов высоты тона и, таким образом, завершают совокупность. [5]
Например, если даны транспозиционно связанные множества:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11− 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0____________________________________ 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
Разница всегда составляет 11. Первый набор можно назвать P0 (см. строку тонов ), в этом случае второй набор будет P1.
Напротив, «там, где транспозиционно связанные наборы показывают одинаковую разницу для каждой пары соответствующих классов высоты тона, инверсионно связанные наборы показывают одинаковую сумму». [7] Например, если даны инверсионно связанные наборы (P0 и I11):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11+11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0____________________________________ 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
Сумма всегда равна 11. Таким образом, для P0 и I11 сумма дополнения равна 11.
[ необходимо разъяснение ] В теории множеств традиционная концепция дополнения может быть определена как буквальное дополнение класса высоты тона , «где отношение достигается между определенными наборами классов высоты тона», [3] в то время как, из-за определения эквивалентных наборов , концепция может быть расширена, чтобы включить «не только буквальное дополнение ПК этого набора, но также любую транспонированную или инвертированную и транспонированную форму буквального дополнения», [8] которая может быть описана как абстрактное дополнение , [9] «где отношение достигается между классами наборов». [3] Это происходит потому, что поскольку P эквивалентно M , а M является дополнением M, P также является дополнением M, «с логической и музыкальной точки зрения», [10] даже если не является его буквальным дополнением ПК. Создатель Аллен Форте [11] описывает это как «значительное расширение отношения дополнения», хотя Джордж Перл описывает это как «вопиющее преуменьшение». [12]
В качестве дальнейшего примера возьмем хроматические наборы 7-1 и 5-1. Если классы высоты тона 7-1 охватывают C–F ♯ , а классы высоты тона 5-1 охватывают G–B , то они являются буквальными дополнениями. Однако, если 5-1 охватывает C–E, C ♯ –F или D–F ♯ , то это абстрактное дополнение 7-1. [9] Как ясно показывают эти примеры, как только наборы или наборы классов высоты тона помечены, «отношение дополнения легко распознается по одинаковому порядковому номеру в парах наборов дополнительных мощностей». [3]