Комплексный анализ

Раздел математики, изучающий функции комплексной переменной

Комплексный анализ , традиционно известный как теория функций комплексной переменной , является разделом математического анализа , который исследует функции комплексных чисел . Он полезен во многих разделах математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , аналитическую комбинаторику и прикладную математику , а также в физике , включая разделы гидродинамики , термодинамики , квантовой механики и твисторной теории . В более широком смысле, использование комплексного анализа также находит применение в инженерных областях, таких как ядерная , аэрокосмическая , машиностроительная и электротехника . ^[1]

Поскольку дифференцируемая функция комплексной переменной равна своему ряду Тейлора (то есть она аналитична ), комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексной переменной, то есть голоморфных функций . Эту концепцию можно распространить на функции нескольких комплексных переменных .

История

Огюстен-Луи Коши , один из основоположников комплексного анализа

Комплексный анализ — один из классических разделов математики, уходящий корнями в XVIII век и чуть раньше. Важные математики, связанные с комплексными числами, включают Эйлера , Гаусса , Римана , Коши , Гёста Миттаг-Леффлера , Вейерштрасса и многих других в 20 веке. Комплексный анализ, в частности теория конформных отображений , имеет множество физических приложений, а также используется во всей аналитической теории чисел . В наше время он стал очень популярен благодаря новому импульсу от сложной динамики и изображений фракталов , получаемых путем итерации голоморфных функций . Другое важное применение комплексного анализа находится в теории струн , которая исследует конформные инварианты квантовой теории поля .

Сложные функции

Показательная функция A ⁿ дискретной ( целочисленной ) переменной n , аналогичная геометрической прогрессии .

Комплексная функция — это функция преобразования комплексных чисел в комплексные числа. Другими словами, это функция, которая имеет подмножество комплексных чисел в качестве домена и комплексные числа в качестве кодомена . Обычно предполагается, что комплексные функции имеют область определения, содержащую непустое открытое подмножество комплексной плоскости . ^{[ кем? ]}

Для любой сложной функции значения из области определения и их изображения в диапазоне можно разделить на действительную и мнимую части: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

где все имеют реальную стоимость. ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

Другими словами, сложную функцию можно разложить на ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$и ${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$

т. е. на две действительные функции ( , ) двух действительных переменных ( , ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Аналогично, любую комплексную функцию f на произвольном множестве X ( изоморфную и, следовательно, в этом смысле) можно рассматривать как упорядоченную пару двух вещественных функций : (Re f , Im f ) или, альтернативно, как векторная функция из X в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Некоторые свойства комплекснозначных функций (например, непрерывность ) являются не чем иным, как соответствующими свойствами векторных функций двух действительных переменных. Другие понятия комплексного анализа, такие как дифференцируемость , являются прямыми обобщениями аналогичных понятий для действительных функций, но могут иметь совсем другие свойства. В частности, каждая дифференцируемая комплексная функция является аналитической (см. следующий раздел), а две дифференцируемые функции, равные в окрестности точки, равны на пересечении своей области определения (если области определения соединены ). Последнее свойство лежит в основе принципа аналитического продолжения , который позволяет уникальным образом расширить каждую вещественную аналитическую функцию и получить комплексную аналитическую функцию, областью определения которой является вся комплексная плоскость с удаленным конечным числом дуг кривой . Таким образом определяются многие основные и специальные комплексные функции, включая комплексную показательную функцию , функции комплексного логарифма и тригонометрические функции .

Голоморфные функции

Комплексные функции, дифференцируемые в каждой точке открытого подмножества комплексной плоскости, называются голоморфными на . В контексте комплексного анализа производная at определяется как ^[2] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

На первый взгляд это определение формально аналогично определению производной вещественной функции. Однако комплексные производные и дифференцируемые функции ведут себя существенно иначе, чем их реальные аналоги. В частности, чтобы этот предел существовал, значение разностного фактора должно приближаться к одному и тому же комплексному числу, независимо от способа приближения в комплексной плоскости. Следовательно, комплексная дифференцируемость имеет гораздо более сильные последствия, чем реальная дифференцируемость. Например, голоморфные функции бесконечно дифференцируемы , тогда как существование n -й производной не обязательно влечет за собой существование ( n + 1)-й производной для вещественных функций. Более того, все голоморфные функции удовлетворяют более сильному условию аналитичности , что означает, что функция в каждой точке своей области локально задается сходящимся степенным рядом. По сути это означает, что функции, голоморфные на, сколь угодно хорошо приближаются полиномами в некоторой окрестности каждой точки из . Это резко контрастирует с дифференцируемыми действительными функциями; существуют бесконечно дифференцируемые действительные функции, нигде не аналитические; см . Неаналитическая гладкая функция § Гладкая функция, которая нигде не является действительно аналитической . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Большинство элементарных функций, включая показательную функцию , тригонометрические функции и все полиномиальные функции , расширенные соответствующим образом до комплексных аргументов как функции , голоморфны на всей комплексной плоскости, что делает их целыми функциями , в то время как рациональные функции , где p и q являются полиномами, голоморфны в областях, исключающих точки, где q равно нулю. Такие функции, голоморфные всюду, кроме множества изолированных точек, называются мероморфными функциями . С другой стороны, функции , , и нигде на комплексной плоскости не голоморфны, о чем свидетельствует их неудовлетворение условиям Коши–Римана (см. ниже). ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ ${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

Важным свойством голоморфных функций является связь между частными производными их вещественной и мнимой составляющих, известная как условия Коши–Римана . Если , определяемый , где , голоморфен в области , то для всех , ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{where }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

С точки зрения действительной и мнимой частей функции u и v это эквивалентно паре уравнений и , где индексы указывают на частное дифференцирование. Однако условия Коши–Римана не характеризуют голоморфные функции без дополнительных условий непрерывности (см. теорему Лумана–Меншоффа ). ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Голоморфные функции обладают некоторыми замечательными особенностями. Например, теорема Пикара утверждает, что диапазон целой функции может принимать только три возможных формы: , , или для некоторых . Другими словами, если два различных комплексных числа не входят в диапазон целой функции , то это постоянная функция. Более того, голоморфная функция на связном открытом множестве определяется ее ограничением на любое непустое открытое подмножество. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой (внизу). Видно, что пары линий, пересекающихся под углом 90°, преобразуются в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90°. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В математике конформное отображение — это функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длины.

Более формально, пусть и — открытые подмножества . Функция называется конформной (или сохраняющей угол) в точке, если она сохраняет углы между направленными кривыми через , а также сохраняет ориентацию. Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle u_{0}}$

Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы производных Якобиана координатного преобразования . Преобразование является конформным, если якобиан в каждой точке представляет собой положительный скаляр, умноженный на матрицу вращения ( ортогональную определителю). Некоторые авторы определяют конформность как включающую в себя отображения, меняющие ориентацию, якобианы которых можно записать как любое скалярное произведение на любую ортогональную матрицу. ^[3]

Для двумерных отображений конформные отображения (сохраняющие ориентацию) представляют собой в точности локально обратимые комплексные аналитические функции. В трехмерных и более высоких измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями .

Основные результаты

График цветового круга функции f ( x ) =( Икс ² - 1)( Икс - 2 - я ) ²/х ² + 2 + 2 я.
Оттенок представляет аргумент , яркость — величину.

Одним из центральных инструментов комплексного анализа является линейный интеграл . Линейный интеграл по замкнутому пути функции, голоморфной всюду внутри области, ограниченной замкнутым путем, всегда равен нулю, как утверждает интегральная теорема Коши . Значения такой голоморфной функции внутри диска можно вычислить с помощью интеграла по путям на границе диска (как показано в интегральной формуле Коши ). Интегралы по путям в комплексной плоскости часто используются для определения сложных действительных интегралов, и здесь среди прочих применима теория вычетов (см. методы контурного интегрирования ). «Полюс» (или изолированная особенность ) функции — это точка, в которой значение функции становится неограниченным или «взрывается». Если у функции есть такой полюс, то там можно вычислить остаток функции, который можно использовать для вычисления интегралов по путям, включающих функцию; это содержание мощной теоремы о вычетах . Замечательное поведение голоморфных функций вблизи существенных особенностей описывается теоремой Пикара . Функции, имеющие только полюсы, но не имеющие существенных особенностей, называются мероморфными . Ряды Лорана являются комплекснозначным эквивалентом рядов Тейлора , но их можно использовать для изучения поведения функций вблизи особенностей с помощью бесконечных сумм более понятных функций, таких как полиномы.

Ограниченная функция , голоморфная во всей комплексной плоскости, должна быть постоянной; это теорема Лиувилля . Его можно использовать для естественного и краткого доказательства фундаментальной теоремы алгебры, которая утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто .

Если функция голоморфна во всей связной области, то ее значения полностью определяются ее значениями в любой меньшей подобласти. Говорят, что функция в большей области аналитически продолжается от своих значений в меньшей области. Это позволяет расширить определение функций, таких как дзета-функция Римана , которые изначально определяются в терминах бесконечных сумм, сходящихся только в ограниченных областях, почти на всю комплексную плоскость. Иногда, как в случае с натуральным логарифмом , невозможно аналитически продолжить голоморфную функцию до неодносвязной области на комплексной плоскости, но можно расширить ее до голоморфной функции на тесно связанной поверхности, известной как Риманова поверхность .

Все это относится к комплексному анализу по одной переменной. Существует также очень богатая теория комплексного анализа в более чем одном комплексном измерении, в которой аналитические свойства, такие как разложение в степенной ряд, сохраняются, тогда как большинство геометрических свойств голоморфных функций в одном комплексном измерении (например, конформность ) не сохраняются. . Теорема Римана об отображении о конформных отношениях определенных областей на комплексной плоскости, которая может быть наиболее важным результатом одномерной теории, резко терпит неудачу в более высоких измерениях.

Основное применение некоторых комплексных пространств находится в квантовой механике в качестве волновых функций .

Смотрите также

• Сложная геометрия
• Гиперкомплексный анализ
• Векторное исчисление
• Список тем сложного анализа
• Теорема о монодромии
• Реальный анализ
• Теорема Римана – Роха
• Теорема Рунге

Рекомендации

1. «Промышленное применение комплексного анализа». Ньютон «Ворота в математику ». 30 октября 2019 года . Проверено 20 ноября 2023 г.
2. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (PDF) . Макгроу-Хилл Образование. п. 197. ИСБН 978-0-07-054234-1.
3. Блэр, Дэвид (17 августа 2000 г.). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. Том. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID  118752074.

Источники

• Абловиц, М. Дж. и А. С. Фокас , Комплексные переменные: введение и применение (Кембридж, 2003).
• Альфорс Л. Комплексный анализ (McGraw-Hill, 1953).
• Картан, Х. , Элементарная теория аналитических функций комплексов переменных или плюсов. (Герман, 1961). Английский перевод, Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных. (Аддисон-Уэсли, 1963).
• Каратеодори, К. , Функционентеория. (Биркхойзер, 1950). Английский перевод, Теория функций комплексной переменной (Челси, 1954). [2 тома.]
• Кэрриер, Г.Ф. , М. Крук и К.Э. Пирсон, Функции комплексной переменной: теория и техника. (МакГроу-Хилл, 1966).
• Конвей, Дж. Б. , Функции одной комплексной переменной. (Спрингер, 1973).
• Фишер С. Комплексные переменные. (Уодсворт и Брукс/Коул, 1990).
• Форсайт А. Теория функций комплексной переменной (Кембридж, 1893).
• Фрайтаг, Э. и Р. Бусам, Funktionentheorie . (Спрингер, 1995). Английский перевод, Комплексный анализ . (Спрингер, 2005).
• Гурса Э. , Курс математического анализа, том 2. (Готье-Виллар, 1905). Английский перевод, Курс математического анализа, вып. 2, часть 1: Функции комплексной переменной. (Гинн, 1916).
• Хенричи П. Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986 гг.]
• Крейциг, Э. , Высшая инженерная математика. (Уайли, 1962).
• Лаврентьев М. и Б. Шабат, Методы рассмотрения функций комплексного переменного. ( Методы теории функций комплексного переменного ). (1951, на русском языке).
• Маркушевич А.И. , Теория функций комплексного переменного , (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
• Марсден и Хоффман, Базовый комплексный анализ. (Фриман, 1973).
• Нидэм Т. Визуальный комплексный анализ. (Оксфорд, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
• Реммерт Р. Теория комплексных функций . (Спрингер, 1990).
• Рудин В. Реальный и комплексный анализ. (МакГроу-Хилл, 1966).
• Шоу, В.Т., Комплексный анализ с помощью Mathematica (Кембридж, 2006).
• Штейн, Э. и Р. Шакарчи, Комплексный анализ. (Принстон, 2003).
• Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. (Наука, 1967). Английский перевод, Теория функций комплексного переменного (МИР, 1978).
• Титчмарш, ЕС , Теория функций. (Оксфорд, 1932 г.).
• Вегерт Э. Визуальные сложные функции . (Биркхойзер, 2012).
• Уиттакер, Э.Т. и Дж.Н. Уотсон , Курс современного анализа . (Кембридж, 1902 г.). 3-е изд. (1920)

Внешние ссылки

• Страница комплексного анализа MathWorld компании Wolfram Research