Комплексное умножение

Теория класса эллиптических кривых

В математике комплексное умножение ( CM ) — это теория эллиптических кривых E , кольцо эндоморфизмов которых больше целых чисел . ^[1] Другими словами, он содержит теорию эллиптических функций с дополнительными симметриями, которые видны, когда решетка периодов представляет собой гауссову целочисленную решетку или целочисленную решетку Эйзенштейна .

Это имеет аспект, принадлежащий теории специальных функций , поскольку такие эллиптические функции или абелевы функции нескольких комплексных переменных являются тогда «очень специальными» функциями, удовлетворяющими дополнительным тождествам и принимающими явно вычислимые специальные значения в определенных точках. Она также оказалась центральной темой в теории алгебраических чисел , позволив перенести некоторые особенности теории круговых полей на более широкие области применения. Говорят, что Дэвид Гильберт заметил, что теория комплексного умножения эллиптических кривых была не только самой красивой частью математики, но и всей науки. ^[2]

Существует также многомерная комплексная теория умножения абелевых многообразий A , имеющая достаточное количество эндоморфизмов в определенном точном смысле, грубо говоря, что действие на касательном пространстве в единичном элементе A является прямой суммой одномерных модулей .

Пример мнимого квадратичного расширения поля

Эллиптическая кривая над комплексными числами получается как фактор комплексной плоскости по решетке Λ, здесь натянутой на два фундаментальных периода ω ₁ и ω ₂ . Также показано четырехкручение, соответствующее решетке 1/4 Λ, содержащей Λ. Пример эллиптической кривой, соответствующей целым числам Гаусса, возникает, когда ω ₂ = i ω ₁ .

Рассмотрим мнимое квадратичное поле . Говорят, что эллиптическая функция имеет комплексное умножение , если существует алгебраическое соотношение между и для всех в . ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(\lambda z)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle K}$

И наоборот, Кронекер предположил – в так называемой « Югендтрауме Кронекера » – что каждое абелевое расширение может быть получено с помощью уравнения (корней) подходящей эллиптической кривой с комплексным умножением. По сей день это остается одним из немногих случаев двенадцатой проблемы Гильберта , который действительно был решен. ${\displaystyle K}$

Пример эллиптической кривой с комплексным умножением:

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

где Z [ i ] — гауссово целочисленное кольцо, а θ — любое ненулевое комплексное число. Любой такой комплексный тор имеет целые гауссовы числа в качестве кольца эндоморфизмов. Известно, что все соответствующие кривые можно записать в виде

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

для некоторого , который очевидно имеет два сопряженных автоморфизма порядка 4, отправляющих ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

в соответствии с действием i на эллиптические функции Вейерштрасса .

В более общем смысле, рассмотрим решетку Λ, аддитивную группу в комплексной плоскости, порожденную . Затем мы определяем функцию Вейерштрасса переменной следующим образом : ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

и

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Пусть будет производной от . Тогда мы получаем изоморфизм комплексных групп Ли: ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

от комплексной группы тора к проективной эллиптической кривой, определенной в однородных координатах формулой ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

и где точка на бесконечности, нулевой элемент группового закона эллиптической кривой, по соглашению принимается равной . Если решетка, определяющая эллиптическую кривую, действительно сохраняется при умножении на (возможно, собственное подкольцо) кольцо целых чисел , то кольцо аналитических автоморфизмов оказывается изоморфным этому (под)кольцу. ${\displaystyle (0:1:0)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$

Если переписать где и , то ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ ${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

Это означает, что j-инвариант является алгебраическим числом , лежащим в , если имеет комплексное умножение. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Абстрактная теория эндоморфизмов

Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой может иметь один из трех видов: целые числа Z ; порядок в мнимом поле квадратичных чисел ; или порядок в определенной алгебре кватернионов над Q . ^[3]

Когда поле определения является конечным полем , всегда существуют нетривиальные эндоморфизмы эллиптической кривой, исходящие из отображения Фробениуса , поэтому каждая такая кривая имеет комплексное умножение (и эта терминология применяется не часто). Но если базовым полем является числовое поле, комплексное умножение является исключением. Известно, что в общем смысле труднее всего разрешить гипотезу Ходжа случай комплексного умножения .

Кронекер и абелевы расширения.

Кронекер первым постулировал, что значений эллиптических функций в точках кручения должно быть достаточно, чтобы генерировать все абелевы расширения для мнимых квадратичных полей, идея, которая в некоторых случаях восходит к Эйзенштейну и даже к Гауссу . Это стало известно как Кронекер Югендтраум ; и именно это, безусловно, послужило причиной приведенного выше замечания Гильберта, поскольку оно делает теорию полей классов явной так же, как корни единицы делают это для абелевых расширений поля рациональных чисел , посредством закона взаимности Шимуры .

Действительно, пусть K — мнимое квадратичное поле с полем классов H . Пусть E — эллиптическая кривая с комплексным умножением на целые числа K , определенная над H. Тогда максимальное абелево расширение K порождается x -координатами точек конечного порядка некоторой модели Вейерштрасса для E над H . ^[4]

Идеи Кронекера искали множество обобщений; однако они несколько косвенно соответствуют основной направленности философии Ленглендса , и в настоящее время не существует какого-либо окончательного утверждения.

Пример последствия

Это не случайно, что

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

или эквивалентно,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

так близко к целому числу. Этот замечательный факт объясняется теорией комплексного умножения вместе с некоторыми знаниями модулярных форм и тем фактом, что

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

является уникальной областью факторизации .

Здесь удовлетворяет α ² = α − 41 . В общем, S [ α ] обозначает набор всех полиномиальных выражений от α с коэффициентами из S , которое является наименьшим кольцом, содержащим α и S. Поскольку α удовлетворяет этому квадратному уравнению, требуемые полиномы могут быть ограничены до первой степени. ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$

Альтернативно,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

внутренняя структура обусловлена ​​некоторыми рядами Эйзенштейна и аналогичными простыми выражениями для других чисел Хегнера .

Сингулярные модули

Точки верхней полуплоскости τ , соответствующие отношениям периодов эллиптических кривых над комплексными числами с комплексным умножением, являются в точности мнимыми квадратичными числами. ^[5] Соответствующие модульные инварианты j ( τ ) представляют собой сингулярные модули , происходящие из старой терминологии, в которой слово «сингулярный» относилось к свойству наличия нетривиальных эндоморфизмов, а не к сингулярной кривой . ^[6]

Модульная функция j ( τ ) алгебраична на мнимых квадратичных числах τ : ^[7] это единственные алгебраические числа в верхней полуплоскости, для которых j алгебраична. ^[8]

Если Λ — решетка с периодом τ, то вместо j ( τ ) будем писать j ( Λ ). Если далее Λ — идеал a в кольце целых чисел O _K квадратичного мнимого поля K , то через j ( a ) будем обозначать соответствующий сингулярный модуль. Значения j ( a ) тогда являются действительными алгебраическими целыми числами и генерируют поле класса Гильберта H поля K : степень расширения поля [ H : K ] = h — номер класса K , а H / K — расширение Галуа с Галуа. группа , изоморфная группе идеальных классов K . Группа классов действует на значения j ( a ) посредством [ b ]: j ( a ) → j ( ab ).

В частности, если K имеет класс номер один, то j ( a ) = j ( O ) — целое рациональное число: например, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Смотрите также

• Алгебраический персонаж Гекке
• точка Хегнера
• Двенадцатая проблема Гильберта
• Формальная группа Любина–Тейта , локальные поля
• Штука Дринфельда , случай поля глобальной функции
• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Цитаты

1. Сильверман 2009, с. 69, замечание 4.3.
2. Рид, Констанс (1996), Гилберт, Спрингер, стр. 200, ISBN 978-0-387-94674-0
3. Сильверман 1986, с. 102.
4. Серр 1967, с. 295.
5. Сильверман 1986, с. 339.
6. Сильверман 1994, с. 104.
7. Серр 1967, с. 293.
8. Бейкер, Алан (1975). Трансцендентная теория чисел . Издательство Кембриджского университета . п. 56. ИСБН 0-521-20461-5. Збл  0297.10013.

Рекомендации

• Борель, А.; Чола, С.; Герц, CS; Ивасава, К.; Серр, Ж.-П. Семинар по комплексному умножению . Семинар проходил в Институте перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси, 1957–58. Конспекты лекций по математике, № 21 Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1966 г.
• Хусмеллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые . Тексты для аспирантов по математике. Том. 111. С приложением Рут Лоуренс. Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-96371-5. Збл  0605.14032.
• Ланг, Серж (1983). Комплексное умножение . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 255. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90786-6. Збл  0536.14029.
• Серр, Ж.-П. (1967). «XIII. Комплексное умножение». в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. стр. 292–296.
• Шимура, Горо (1971). Введение в арифметическую теорию автоморфных функций . Публикации Математического общества Японии. Том. 11. Токио: Иванами Сётэн. Збл  0221.10029.
• Шимура, Горо (1998). Абелевы многообразия со сложным умножением и модулярными функциями . Принстонская математическая серия. Том. 46. ​​Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-01656-9. Збл  0908.11023.
• Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 106. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-96203-4. Збл  0585.14026.
• Сильверман, Джозеф Х. (2009). Арифметика эллиптических кривых. Тексты для аспирантов по математике. Том. 106 (2-е изд.). Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы арифметики эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 151. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94328-5. Збл  0911.14015.

Внешние ссылки

• Комплексное умножение с сайта PlanetMath.org.
• Примеры эллиптических кривых со сложным умножением с сайта PlanetMath.org.
• Рибет, Кеннет А. (октябрь 1995 г.). «Представления Галуа и модульные формы». Бюллетень Американского математического общества . 32 (4): 375–402. arXiv : математика/9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . дои : 10.1090/s0273-0979-1995-00616-6. S2CID  16786407.