Рациональное ценообразование

Рациональное ценообразование - это предположение в финансовой экономике , что цены активов - и, следовательно, модели ценообразования активов - будут отражать безарбитражную цену актива, поскольку любое отклонение от этой цены будет «арбитражировано». Это допущение полезно при ценообразовании ценных бумаг с фиксированным доходом, особенно облигаций, и имеет основополагающее значение для ценообразования производных инструментов.

Арбитражная механика

Арбитраж — это практика использования состояния дисбаланса между двумя (или, возможно, более) рынками. Там, где это несоответствие может быть использовано (т.е. после транзакционных издержек, затрат на хранение, транспортных расходов, дивидендов и т. д.), арбитражер может «зафиксировать» безрисковую прибыль, совершая покупки и продажи одновременно на обоих рынках.

В общем, арбитраж гарантирует соблюдение « закона одной цены »; арбитраж также уравнивает цены активов с идентичными денежными потоками и устанавливает цену активов с известными будущими денежными потоками.

Закон одной цены

Один и тот же актив должен торговаться по одной и той же цене на всех рынках (« закон одной цены »). Если это не так, арбитражер:

купить актив на рынке, где он имеет более низкую цену, и одновременно продать его ( короткую продажу ) на втором рынке по более высокой цене
доставить актив покупателю и получить более высокую цену
заплатите продавцу на более дешевом рынке из выручки и положите разницу в карман.

Активы с идентичными денежными потоками

Два актива с одинаковыми денежными потоками должны торговаться по одной и той же цене. Если это не так, арбитражер:

продать актив по более высокой цене ( короткая продажа ) и одновременно купить актив по более низкой цене
профинансировать покупку более дешевого актива за счет доходов от продажи дорогого актива и положить разницу в карман
выполнить свои обязательства перед покупателем дорогого актива, используя денежные потоки от более дешевого актива.

Актив с известной будущей ценой

Актив с известной ценой в будущем должен сегодня торговаться по этой цене, дисконтированной по безрисковой ставке .

Обратите внимание, что это условие можно рассматривать как применение вышеизложенного, когда двумя рассматриваемыми активами являются актив, подлежащий доставке, и безрисковый актив.

(а) если дисконтированная будущая цена выше сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается поставить актив в будущем (т. е. продает форвард ) и одновременно покупает его сегодня на заемные деньги.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную цену.
Затем он возвращает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между согласованной ценой и выплаченной суммой (т. е. суммой задолженности) является арбитражной прибылью.

(б) если дисконтированная будущая цена ниже сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается оплатить актив в будущем (т. е. покупает форвард ) и одновременно продает ( коротит ) базовый актив сегодня; он инвестирует (или хранит) доходы.
В день поставки он обналичивает инвестицию с наступившим сроком погашения, стоимость которой выросла по безрисковой ставке.
Затем он принимает поставку базового актива и платит согласованную цену, используя инвестиции с наступившим сроком погашения.
Разница между стоимостью погашения и согласованной ценой и есть арбитражная прибыль.

Пункт (b) возможен только для тех, кто владеет активом, но не нуждается в нем до будущей даты. Таких партий может быть немного, если краткосрочный спрос превышает предложение, что приводит к бэквардации .

С фиксированным доходом ценных бумаг

См. также «Арбитраж с фиксированным доходом» ; Кредитный рейтинг облигаций .

Рациональное ценообразование является одним из подходов, используемых при ценообразовании облигаций с фиксированной процентной ставкой . Здесь каждый денежный поток по облигации может быть сопоставлен путем торговли либо (а) облигацией с нулевым купоном , ZCB, кратной каждой дате купона, и эквивалентной кредитоспособностью (если возможно, от того же эмитента, что и облигация). оцениваемая облигация) с соответствующим сроком погашения, или (b) в полосе , соответствующей каждому купону, и ZCB для возврата основной суммы при погашении. Затем, учитывая, что денежные потоки могут быть воспроизведены, цена облигации сегодня должна равняться сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по той же ставке, что и каждый ZCB (по § Активам с идентичными денежными потоками). Если бы это было не так, арбитраж был бы возможен и вернул бы цену в соответствие с ценой, основанной на ZCB. Механика следующая.

Если цена облигации не соответствует текущей стоимости ZCB, арбитражер может:

профинансировать ее покупку той облигации или суммы ZCB, которая была дешевле
путем короткой продажи другого
и выполнение своих обязательств по денежным потокам с использованием купонов или нулей со сроком погашения, в зависимости от обстоятельств.
тогда ее прибыль будет равна разнице между двумя значениями.

Тогда формула ценообразования выглядит следующим образом : каждый денежный поток дисконтируется по ставке , соответствующей дате купона. Часто формула выражается как , используя цены вместо ставок, поскольку цены более доступны. $P_{0}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r_{t})^{t}}}$ $C_{t}\,$ $r_{t}\,$ $P_{0}=\sum _{t=1}^{T}C(t)\times P(t)$

Моделирование кривой доходности

Согласно изложенной логике, рациональное ценообразование применимо и к моделированию процентных ставок в более общем плане. Здесь кривые доходности в целом должны быть безарбитражными по отношению к ценам отдельных инструментов . Если бы это было не так, ZCB, подразумеваемые кривой, привели бы к тому, что котируемые цены облигаций, например, отличались бы от тех, которые наблюдаются на рынке, что представляло бы возможность арбитража. Таким образом, инвестиционные банки и другие маркет-мейкеры вкладывают значительные ресурсы в «раздевание кривой». Используемые методы см. в разделах «Самозагрузка (финансы)» и « Мультикривая» , а также «Модель риска» для дальнейшего обсуждения.

Ценообразование деривативов

Дериватив — это инструмент, который позволяет покупать и продавать один и тот же актив на двух рынках — спотовом рынке и рынке деривативов . Математические финансы предполагают, что любой дисбаланс между двумя рынками будет устранен арбитражем. Таким образом, в производном контракте с правильной ценой цена производного инструмента, цена исполнения ( или справочная ставка ) и спотовая цена будут связаны таким образом, что арбитраж невозможен. См. Фундаментальную теорему безарбитражного ценообразования .

Фьючерсы

Во фьючерсном контракте , чтобы арбитраж был невозможен, цена, уплачиваемая при поставке ( форвардная цена ), должна быть такой же, как стоимость (включая проценты) покупки и хранения актива. Другими словами, рациональная форвардная цена представляет собой ожидаемую будущую стоимость базового актива , дисконтированную по безрисковой ставке («актив с известной будущей ценой», как указано выше); см. паритет спот-фьючерс . Таким образом, для простого актива, не приносящего дивидендов, стоимость фьючерса/форварда будет определяться путем накопления текущей стоимости на момент погашения по ставке безрисковой доходности . $F(t)\,$ $S(t)\,$ $т\,$ $Т\,$ $г\,$

F(t)=S(t)\times (1+r)^{(Tt)}\,

Это соотношение может быть изменено для затрат на хранение, дивидендов, дивидендной доходности и удобной доходности; см. цену фьючерсного контракта .

Любое отклонение от этого равенства допускает арбитраж следующим образом.

В случае, когда форвардная цена выше :

Арбитражник продает фьючерсный контракт и покупает базовый актив сегодня (на спотовом рынке) на заемные деньги.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную форвардную цену.
Затем он возвращает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между двумя суммами и есть арбитражная прибыль.

В случае, когда форвардная цена ниже :

Арбитражник покупает фьючерсный контракт и продает базовый актив сегодня (на спотовом рынке); он инвестирует доходы.
В день поставки он обналичивает инвестицию с наступившим сроком погашения, стоимость которой выросла по безрисковой ставке.
Затем он получает базовый актив и платит согласованную форвардную цену, используя инвестиции с наступившим сроком погашения. [Если у него была короткая позиция по базовому активу, он возвращает его сейчас.]
Разница между двумя суммами и есть арбитражная прибыль.

Свопы

Рациональное ценообразование лежит в основе логики оценки свопов . Здесь два контрагента «обменяют» обязательства, фактически обменивая потоки денежных средств , рассчитанные на основе условной основной суммы, а стоимость свопа представляет собой текущую стоимость (PV) обоих наборов будущих денежных потоков, «вычтенных» друг против друга.

Чтобы избежать арбитража, условия своп-контракта таковы, что первоначально чистая приведенная стоимость этих будущих денежных потоков равна нулю; см. Своп (финансы) § Оценка и ценообразование . После совершения сделки свопы также могут (должны) оцениваться с использованием рационального ценообразования.

Приведенные ниже примеры относятся к процентным свопам и отражают чисто рациональное ценообразование, поскольку исключают кредитный риск , хотя этот принцип применим к любому типу свопа .

Оценка на начальном этапе

Рассмотрим своп процентной ставки с фиксированной на плавающую, при котором Сторона А платит фиксированную ставку (« ставка свопа »), а Сторона Б платит плавающую ставку. Здесь фиксированная ставка будет такой, что текущая стоимость будущих платежей с фиксированной ставкой Стороны А равна текущей стоимости ожидаемых будущих платежей с плавающей ставкой (т.е. NPV равна нулю). Если бы это было не так, арбитражер C мог бы:

Принять позицию с меньшей приведенной стоимостью платежей и занять средства, равные этой приведенной стоимости.
Выполните обязательства по денежным потокам по позиции, используя заемные средства, и получите соответствующие платежи, которые имеют более высокую текущую стоимость.
Использовать полученные платежи для погашения задолженности по заемным средствам
Карманную разницу – где разница между текущей стоимостью кредита и текущей стоимостью притоков является арбитражной прибылью.

Последующая оценка

Плавающая часть процентного свопа может быть «разложена» на ряд соглашений о форвардных ставках . Здесь, поскольку своп имеет идентичные выплаты с FRA, должно применяться безарбитражное ценообразование, как указано выше, т. е. стоимость этой части равна стоимости соответствующих FRA. Аналогично, часть свопа «получение-фиксация» может быть оценена по сравнению с облигацией с тем же графиком платежей. (Соответственно, учитывая, что их базовые активы имеют одинаковые денежные потоки, опционы на облигации и свопы являются равноправными.) См. далее в разделе «Своп (финансы) § Использование цен на облигации » .

Параметры

Как указано выше, если стоимость актива в будущем известна (или ожидается), ее можно использовать для определения рациональной цены актива сегодня. Однако в опционном контракте исполнение зависит от цены базового актива, и, следовательно, оплата не является неопределенной. Таким образом, модели ценообразования опционов включают в себя логику, которая либо «фиксирует», либо «выводит» эту будущую стоимость; оба подхода дают одинаковые результаты. Методы, которые фиксируют будущие денежные потоки, предполагают свободное от арбитража ценообразование , а те, которые делают вывод об ожидаемой стоимости, предполагают нейтральную к риску оценку .

Для этого (в своей простейшей, хотя и широко используемой форме) оба подхода предполагают «биномиальную модель» поведения базового инструмента , которая допускает только два состояния – вверх или вниз. Если S — текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо S вверх , либо S вниз . Здесь значение доли в верхнем состоянии равно S × u, а в нижнем состоянии — S × d (где u и d — множители с d < 1 < u и при условии, что d < 1+r < u; см. модель биномиальных опционов ). Затем, учитывая эти два состояния, «безарбитражный» подход создает позицию, которая имеет одинаковую стоимость в обоих состояниях - поэтому денежный поток за один период известен, и применимо арбитражное ценообразование. Подход, нейтральный к риску, выводит ожидаемую стоимость опциона из внутренних значений в последних двух узлах.

Хотя эта логика кажется далекой от формулы Блэка-Шоулза и решеточного подхода в модели биномиальных опционов , на самом деле она лежит в основе обеих моделей; см. PDE Блэка-Шоулза . Предположение о биномиальном поведении базовой цены оправдано, поскольку количество временных шагов между сегодняшним днем (оценкой) и исполнением увеличивается, а период на временной шаг соответственно короток. Модель биномиальных опционов допускает большое количество очень коротких временных шагов (при правильном кодировании ), тогда как модель Блэка-Шоулза фактически моделирует непрерывный процесс .

В приведенных ниже примерах в качестве основы используются акции, но их можно распространить и на другие инструменты. Стоимость опциона пут может быть получена, как показано ниже, или может быть найдена из стоимости опциона колл с использованием паритета пут-колл .

Цена без арбитража

Здесь будущий выигрыш «фиксируется» либо с помощью подхода «дельта-хеджирования», либо с помощью подхода « реплицирующего портфеля ». Как указано выше, эта выплата затем дисконтируется, и результат используется при оценке опциона сегодня.

Дельта-хеджирование

Можно создать позицию, состоящую из Δ акций и 1 проданного колла , так что стоимость позиции будет идентична в состояниях S up и S down и, следовательно, будет известна с уверенностью (см. Дельта-хеджирование ). Эта определенная стоимость соответствует указанной выше форвардной цене («Актив с известной будущей ценой»), и, как указано выше, для невозможности арбитража текущая стоимость позиции должна быть ее ожидаемой будущей стоимостью, дисконтированной по безрисковой ставке. , р . Ценность звонка затем определяется путем их приравнивания.

Найдите Δ такое, что:
стоимость позиции за один период = Δ × S up - ( S up – страйк-цена, 0) = Δ × S down - ( S down – страйк-цена, 0) $макс$ $макс$
Определите стоимость вызова, используя Δ, где:
значение позиции сегодня = значение позиции за один период ÷ (1 + r) = Δ × S текущий – стоимость колла

Репликационное портфолио

Можно создать позицию, состоящую из акций Δ и долларов B , заимствованных по безрисковой ставке, которая будет производить идентичные денежные потоки для одного опциона на базовую акцию. Созданная позиция известна как «реплицирующий портфель», поскольку ее денежные потоки повторяют потоки опциона. Как показано выше («Активы с идентичными денежными потоками»), при отсутствии арбитражных возможностей, поскольку производимые денежные потоки идентичны, цена опциона сегодня должна быть такой же, как и стоимость позиции сегодня.

Решите одновременно для Δ и B такие, что:
- Δ × S up - B × (1 + r) = (0, S up – цена исполнения) ${\ displaystyle \ max }$
- Δ × S вниз - B × (1 + r) = (0, S вниз – цена исполнения) ${\ displaystyle \ max }$
Определите стоимость вызова, используя Δ и B, где:
- вызов = Δ× S ток – B

Обратите внимание, что дисконтирования здесь нет – процентная ставка появляется только в рамках строительства. Поэтому этот подход используется предпочтительнее других, когда неясно, может ли безрисковая ставка применяться в качестве ставки дисконтирования в каждой точке принятия решения или вместо этого потребуется надбавка к безрисковой ставке , различающаяся в зависимости от штата. Лучшим примером этого может служить анализ реальных опционов ^[1] , когда действия руководства фактически меняют характеристики риска рассматриваемого проекта, и, следовательно, требуемая норма прибыли может различаться в состояниях роста и падения. Здесь в приведенных выше формулах мы тогда имеем: «Δ × S вверх - B × (1 + r вверх )...» и «Δ × S вниз - B × (1 + r вниз )...». См. Оценка реальных опционов § Технические соображения . (Еще одним случаем, когда допущения моделирования могут отклоняться от рационального ценообразования, является оценка опционов на акции для сотрудников .)

Нейтральная к риску оценка

Здесь стоимость опциона рассчитывается с использованием предположения о нейтральности риска . Согласно этому предположению, « ожидаемая стоимость » (в отличие от «зафиксированной» стоимости) дисконтируется . Ожидаемая стоимость рассчитывается с использованием внутренних значений из двух последних узлов: «Вариант вверх» и «Вариант вниз», где u и d являются множителями цены, как указано выше. Затем они взвешиваются по соответствующим вероятностям: «вероятность» p движения базового актива вверх и «вероятность» (1-p) движения вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется по r , безрисковой ставке .

Решите для p
при нейтральности к риску, чтобы арбитраж акций был невозможен, сегодняшняя цена должна представлять собой их ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке (т. е. цена акции представляет собой мартингейл ) :
${\begin{aligned}S&={\frac {p\times S_{u}+(1-p)\times S_{d}}{1+r}}\\&={\frac {p \times u\times S+(1-p)\times d\times S}{1+r}}\\\Rightarrow p&={\frac {(1+r)-d}{ud}}\\\end {выровнено}}$
Определите стоимость вызова, используя p
для того чтобы арбитраж в рамках колла был невозможен, сегодняшняя цена должна представлять собой ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке:
${\begin{aligned}C&={\frac {p\times C_{u}+(1-p)\times C_{d}}{1+r}}\\&={\frac {p \times \max(S_{u}-k,0)+(1-p)\times \max(S_{d}-k,0)}{1+r}}\\\end{aligned}}$

Допущение нейтральности риска

Обратите внимание, что вышеприведенная нейтральная к риску формула не относится ни к ожидаемой или прогнозируемой доходности базового актива, ни к его волатильности – p, как решено, относится к нейтральному к риску показателю, а не к фактическому вероятностному распределению цен. Тем не менее, как свободное от арбитража ценообразование, так и нейтральная к риску оценка дают одинаковые результаты. Фактически, можно показать, что «дельта-хеджирование» и «нейтральная к риску оценка» используют одинаковые формулы, выраженные по-разному. Учитывая эту эквивалентность, при ценообразовании деривативов можно предположить «нейтральность к риску». Более формальные отношения описываются посредством фундаментальной теоремы о безарбитражном ценообразовании .

Цены на акции

Теория арбитражного ценообразования (APT), общая теория ценообразования активов , стала влиятельной в ценообразовании акций . APT считает, что ожидаемую доходность финансового актива можно смоделировать как линейную функцию различных макроэкономических факторов, где чувствительность к изменениям каждого фактора представлена бета-коэффициентом для конкретного фактора :

E\left(r_{j}\right)=r_{f}+b_{j1}F_{1}+b_{j2}F_{2}+...+b_{jn}F_{n} +\эпсилон _{j}

где

${\ displaystyle E (r_ {j})}$ ожидаемая доходность рискованного актива,
$r_{f}$ это безрисковая ставка ,
$F_{k}$ макроэкономический фактор,
$b_{jk}$ чувствительность актива к фактору , $k$
и представляет собой своеобразный случайный шок рискованного актива со средним нулевым значением. $\epsilon _ {j}$

Полученная моделью норма доходности затем будет использоваться для правильной оценки актива – цена актива должна равняться ожидаемой цене на конец периода, дисконтированной по ставке, подразумеваемой моделью. Если цена расходится, арбитраж должен вернуть ее в соответствие. Здесь, чтобы выполнить арбитраж, инвестор «создает» правильно оцененный актив ( синтетический актив), портфель с той же чистой подверженностью каждому из макроэкономических факторов, что и неправильно оцененный актив, но с другой ожидаемой доходностью. Подробную информацию о построении портфеля см. в статье о теории арбитражного ценообразования . Тогда арбитражер сможет получить безрисковую прибыль следующим образом:

Если цена актива слишком низкая, портфель должен был дорожать по ставке, предусмотренной APT, тогда как неправильно оцененный актив мог бы вырасти по более высокой ставке. Таким образом, арбитражер может:

Сегодня: короткая продажа портфеля и покупка на вырученные средства недооцененного актива.
В конце периода: продать неправильно оцененный актив, использовать полученные средства для выкупа портфеля и положить разницу в карман.

Если цена актива слишком высока, портфель должен был дорожать по курсу, предусмотренному APT, тогда как неправильно оцененный актив должен был дорожать по курсу ниже этого показателя. Таким образом, арбитражер может:

Сегодня: продать недооцененный актив и купить портфель на выручку.
В конце периода: продать портфель , использовать полученные средства для выкупа неверно оцененного актива и положить разницу в карман.

Обратите внимание, что при «истинном арбитраже» инвестор фиксирует гарантированный выигрыш, тогда как при APT-арбитраже инвестор фиксирует положительный ожидаемый выигрыш. Таким образом, APT предполагает «арбитраж в ожиданиях», то есть арбитраж инвесторов приведет цены активов в соответствие с доходностью, ожидаемой моделью.

Модель ценообразования капитальных активов (CAPM) — более ранняя и (более) влиятельная теория ценообразования активов. Хотя CAPM основан на различных предположениях, в некотором смысле его можно считать «особым случаем» APT; в частности, линия рынка ценных бумаг CAPM представляет собой однофакторную модель цены актива, где бета — это подверженность изменениям «стоимости рынка» в целом.

Безарбитражное ценообразование в условиях системного риска

Классические методы оценки, такие как модель Блэка-Шоулза или модель Мертона, не могут учитывать системный риск контрагента, который присутствует в системах с финансовой взаимосвязанностью. ^[2] Более подробную информацию о нейтральной к риску, безарбитражной оценке активов и производных инструментов можно найти в статье о системном риске (см. также оценку при системном риске ).

Смотрите также

Внешние ссылки

Цена без арбитража

Ценообразование посредством арбитража, веб-сайт истории экономической мысли
«Основная теорема» финансов; Часть II. Проф. Марк Рубинштейн , Школа бизнеса Хааса
Понятие арбитража и бесплатного обеда в математических финансах, профессор Вальтер Шахермайер

Нейтралитет к риску и ценообразование без арбитража

Объяснение нейтральных к риску вероятностей. Николя Гизигер
Нейтральная к риску оценка: мягкое введение, часть II. Университет Джозефа Тэма Дьюка

Применение к деривативам

Оценка опционов в биномиальной модели ( в архиве ), профессор Эрнст Мауг, Политехнический институт Ренсселера
Взаимосвязь между фьючерсными и спотовыми ценами, Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки.
Обмены и опционы, профессор Дон М. Ченс