Сопряженные диаметры

Перпендикулярные диаметры окружности или гиперболо-ортогональные диаметры гиперболы

В геометрии два диаметра конического сечения называются сопряженными , если каждая хорда, параллельная одному диаметру, делится пополам другим диаметром. Например, два диаметра окружности сопряжены тогда и только тогда, когда они перпендикулярны .

Эллипса

Два сопряженных диаметра эллипса . Каждое ребро ограничивающего параллелограмма параллельно одному из диаметров.

Для эллипса два диаметра сопряжены тогда и только тогда, когда касательная к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряженных диаметров эллипса имеет соответствующий касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом (скошенным по сравнению с ограничивающим прямоугольником ). В своей рукописи De motu corporum in gyrum и в « Principia » Исаак Ньютон приводит в качестве леммы, доказанной предыдущими авторами, что все (ограничивающие) параллелограммы для данного эллипса имеют одинаковую площадь .

Можно восстановить эллипс из любой пары сопряженных диаметров или из любого ограничивающего параллелограмма. Например, в предложении 14 Книги VIII своего Собрания Папп Александрийский дает метод построения осей эллипса из заданной пары сопряженных диаметров. Другой метод заключается в использовании построения Ритца , которое использует теорему Фалеса для нахождения направлений и длин большой и малой осей эллипса независимо от его вращения или сдвига .

В аналитической геометрии , если мы допустим, что векторы двух сопряженных полудиаметров равны , то эллипс параметризуется как , поскольку изменяется по . ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ ${\displaystyle \cos \theta {\vec {a}}+\sin \theta {\vec {b}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

Гиперболы

Для любого φ указанные диаметры окружностей и гипербол сопряжены.

Подобно эллиптическому случаю, диаметры гиперболы сопряжены , когда каждый из них делит пополам все хорды, параллельные друг другу. ^[1] В этом случае и гипербола, и ее сопряженная поверхность являются источниками хорд и диаметров.

Аполлоний Пергский дал следующую конструкцию сопряженных диаметров, учитывая сопряженную гиперболу : «Если Q — любая точка на гиперболе, а CE проведена из центра параллельно касательной в точке Q до пересечения с сопряженной гиперболой в точке E, то (1) касательная в точке E будет параллельна CQ и (2) CQ и CE будут сопряженными диаметрами». ^[2]

В аналитической геометрии , если мы допустим, что векторы двух сопряженных полудиаметров равны , то гипербола параметризуется соотношением при изменении по . ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ ${\displaystyle \cosh \theta {\vec {a}}+\sinh \theta {\vec {b}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

В случае прямоугольной гиперболы ее сопряжение является отражением относительно асимптоты . Диаметр одной гиперболы сопряжен своему отражению относительно асимптоты, которое является диаметром другой гиперболы. Как перпендикулярность является отношением сопряженных диаметров окружности, так и гиперболическая ортогональность является отношением сопряженных диаметров прямоугольных гипербол.

Размещение стяжек, укрепляющих квадратную сборку балок, определяется соотношением сопряженных диаметров в книге по аналитической геометрии . ^[3]

Сопряженные диаметры гипербол также полезны для формулировки принципа относительности в современной физике пространства-времени . Концепция относительности впервые введена в плоскости, состоящей из одного измерения в пространстве , второе измерение - время . В такой плоскости одна гипербола соответствует событиям, находящимся на постоянном пространственно-подобном интервале от исходного события, другая гипербола соответствует событиям, находящимся на постоянном времени-подобном интервале от него. Принцип относительности можно сформулировать так: «Любая пара сопряженных диаметров сопряженных гипербол может быть принята за оси пространства и времени». Эта интерпретация относительности была сформулирована Э. Т. Уиттакером в 1910 году. ^[4]

В проективной геометрии

Каждая линия в проективной геометрии содержит точку в бесконечности , также называемую фигуративной точкой . Эллипс, парабола и гипербола рассматриваются как коники в проективной геометрии, и каждая коника определяет отношение полюса и поляры между точками и линиями. Используя эти концепции, «два диаметра сопряжены, когда каждый является полярой фигуративной точки другого». ^[5]

Только один из сопряженных диаметров гиперболы пересекает кривую.

Понятие разделения пар точек отличает эллипс от гиперболы: в эллипсе каждая пара сопряженных диаметров разделяет каждую другую пару. В гиперболе одна пара сопряженных диаметров никогда не разделяет другую такую ​​пару.

Ссылки

1. Спейн, Барри (1957). Аналитические конические сечения. Международная серия монографий по чистой и прикладной математике. т. 3. Нью-Йорк: Pergamon Press. стр. 49.
2. Томас Хит (1896) Аполлоний Пергский: Трактат о конических сечениях , стр. 64
3. Осгуд, Уильям Ф.; Грауштайн, Уильям К. (1921). Аналитическая геометрия плоскости и тела. Нью-Йорк: The Macmillan Company. С. 307.
4. Уиттекер, ET (1910). История теорий эфира и электричества (1-е изд.). Дублин: Longman, Green and Co., стр. 441.
5. GB Halsted (1906) Синтетическая проективная геометрия , № 135, № 141

Дальнейшее чтение

• Шасль, Мишель (1865). «Сопряженные диаметры». Traité dessections coniques, т.е. party. faisant suite au Traété de Géométrie Superieure (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. стр. 116–23.

• У. К. Клиффорд (1878) Элементы динамики, стр. 90, ссылка из HathiTrust .

• Коксетер, Х. С. М. (1955). Действительная проективная плоскость (2-е изд.). Cambridge University Press . С. 130–5.

• Салмон, Джордж (1900). Трактат о конических сечениях. Лондон: Longmans, Green & Co. стр. 165.

Внешние ссылки

• «Сопряженные диаметры в эллипсе». cut-the-knot.org .
• Besant, WH (1895). «Свойства сопряженных диаметров». Конические сечения, рассматриваемые геометрически. Исторические математические монографии. Лондон; Итака, Нью-Йорк: G. Bell; Корнельский университет . стр. 109.