Канонические координаты

Наборы координат в фазовом пространстве, которые можно использовать для описания физической системы.

В математике и классической механике канонические координаты — это наборы координат на фазовом пространстве , которые можно использовать для описания физической системы в любой заданный момент времени. Канонические координаты используются в гамильтоновой формулировке классической механики . Тесно связанное понятие также появляется в квантовой механике ; см. теорему Стоуна–фон Неймана и канонические коммутационные соотношения для получения подробной информации.

Поскольку гамильтонова механика обобщается симплектической геометрией , а канонические преобразования обобщаются контактными преобразованиями , то определение канонических координат в классической механике, данное в XIX веке, можно обобщить до более абстрактного определения координат в кокасательном расслоении многообразия (математическое понятие фазового пространства), данного в XX веке.

Определение в классической механике

В классической механике канонические координаты — это координаты и в фазовом пространстве , которые используются в гамильтоновом формализме. Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным соотношениям скобок Пуассона : ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

Типичным примером канонических координат является то, что для будут обычными декартовыми координатами , а для будут компонентами импульса . Поэтому в общем случае координаты называются «сопряженными импульсами». ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Канонические координаты могут быть получены из обобщенных координат лагранжева формализма с помощью преобразования Лежандра или из другого набора канонических координат с помощью канонического преобразования .

Определение кокасательных расслоений

Канонические координаты определяются как специальный набор координат на кокасательном расслоении многообразия . Обычно они записываются как набор или с x ' s или q ' s, обозначающими координаты на базовом многообразии, и p ' s, обозначающими сопряженный импульс , которые являются 1-формами в кокасательном расслоении в точке q многообразия. ${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$

Общее определение канонических координат — это любой набор координат на кокасательном расслоении, который позволяет записать каноническую однократную форму в виде

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

с точностью до полного дифференциала. Изменение координат, сохраняющее эту форму, является каноническим преобразованием ; это частный случай симплектоморфизма , который по сути является изменением координат на симплектическом многообразии .

В следующем изложении мы предполагаем, что многообразия являются действительными многообразиями, так что котангенсивные векторы, действующие на касательные векторы, производят действительные числа.

Формальное развитие

Если задано многообразие Q , то векторное поле X на Q ( сечение касательного расслоения TQ ) можно рассматривать как функцию, действующую на кокасательное расслоение , в силу двойственности между касательным и кокасательным пространствами. То есть, определим функцию

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

такой что

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

справедливо для всех котангенсивных векторов p в . Здесь — вектор в , касательное пространство к многообразию Q в точке q . Функция называется функцией импульса, соответствующей X . ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle P_{X}}$

В локальных координатах векторное поле X в точке q можно записать как

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

где — система координат на TQ . Сопряженный импульс тогда имеет выражение ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

где определяются как функции импульса, соответствующие векторам : ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

Вместе они образуют систему координат на кокасательном расслоении ; эти координаты называются каноническими координатами . ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

Обобщенные координаты

В механике Лагранжа используется другой набор координат, называемый обобщенными координатами . Они обычно обозначаются как с называемыми обобщенным положением и обобщенной скоростью . Когда гамильтониан определен на кокасательном расслоении, то обобщенные координаты связаны с каноническими координатами посредством уравнений Гамильтона–Якоби . ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

Смотрите также

• Линейный дискриминантный анализ
• Симплектическое многообразие
• Симплектическое векторное поле
• Симплектоморфизм
• Кинетический импульс
• Дополнительность (физика)
• Каноническое квантование
• Каноническая квантовая гравитация

Ссылки

• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Addison Wesley. стр. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Benjamin-Cummings, Лондон ISBN 0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .