Совместный класс

Непересекающиеся, одинаковые по размеру подмножества базового множества группы

G — это группа , целые числа mod 8 по сложению. Подгруппа H содержит только 0 и 4. Существует четыре левых смежных класса H : сам H , 1 + H , 2 + H и 3 + H (записанных с использованием аддитивной нотации, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на равные по размеру, непересекающиеся множества. Индекс [ G :  H ] равен 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

В математике , в частности в теории групп , подгруппа H группы G может быть использована для разложения базового множества G на непересекающиеся подмножества одинакового размера, называемые смежными классами . Существуют левые смежные классы и правые смежные классы . Смежные классы (как левые , так и правые) имеют то же количество элементов ( мощность ), что и H. Более того, сам H является как левым смежным классом, так и правым смежным классом. Количество левых смежных классов H в G равно количеству правых смежных классов H в G. Это общее значение называется индексом H в G и обычно обозначается как [ G  : H ] .

Смежные классы являются основным инструментом в изучении групп; например, они играют центральную роль в теореме Лагранжа , которая утверждает, что для любой конечной группы G число элементов каждой подгруппы H группы G делит число элементов G. Смежные классы определенного типа подгруппы ( нормальной подгруппы ) могут использоваться в качестве элементов другой группы, называемой фактор-группой или фактор-группой . Смежные классы также появляются в других областях математики, таких как векторные пространства и коды с исправлением ошибок .

Определение

Пусть H — подгруппа группы G , операция которой записывается мультипликативно (сопоставление обозначает групповую операцию). Для данного элемента g из G левые смежные классы H в G — это множества, полученные путем умножения каждого элемента H на фиксированный элемент g из G (где g — левый множитель). В символах это:

gH = { gh  : h элемент H } для g в G.

Правые смежные классы определяются аналогично, за исключением того, что элемент g теперь является правым множителем, то есть,

Hg = { hg  : h элемент H } для g в G.

Поскольку g меняется по группе, может показаться, что будет сгенерировано много смежных классов (правых или левых). Тем не менее, оказывается, что любые два левых смежных класса (соответственно правых смежных класса) либо не пересекаются, либо идентичны как множества. ^[1]

Если групповая операция записана аддитивно, как это часто бывает, когда группа абелева , то используемая запись меняется на g + H или H + g соответственно.

Символ G / H иногда используется для набора (левых) смежных классов { gH  : g элемент G } (см. ниже расширение для правых смежных классов и двойных смежных классов). Однако некоторые авторы (включая Даммита и Фута и Ротмана) резервируют это обозначение специально для представления фактор-группы, образованной из смежных классов в случае, когда H является нормальной подгруппой G.

Первый пример

Пусть G — диэдральная группа шестого порядка . Ее элементы могут ^быть представлены как { I , a , a2 , b , ab , a2b } . В этой группе a3 = ^b2 = I и ba = ^{a2b . Этой информации достаточно ,} чтобы заполнить всю таблицу Кэли :

Пусть T — подгруппа { I , b } . (Различные) левые смежные классы T :

• ИТ = Т = { Я , б } ,
• аТ = { а , аб } , и
• а ² Т = { а ² , а ² б } .

Поскольку все элементы G теперь появились в одном из этих смежных классов, генерация любого другого не может дать новых смежных классов; любой новый смежный класс должен был бы иметь элемент, общий с одним из них, и, следовательно, был бы идентичен одному из этих смежных классов. Например, abT = { ab , a } = aT .

Правые смежные классы T :

• ТИ = Т = { Я , б } ,
• Та знак равно { а , ба } знак равно { а , а ² б } , и
• Та ² знак равно { а ² , ба ² } знак равно { а ² , ab } .

В этом примере, за исключением T , ни один левый смежный класс не является также правым смежным классом.

Пусть H будет подгруппой { I , a , a ² } . Левые смежные классы H — это IH = H и bH = { b , ba , ba ² } . Правые смежные классы H — это HI = H и Hb = { b , ab , a ² b } = { b , ba ² , ba } . В этом случае каждый левый смежный класс H также является правым смежным классом H . ^[2]

Пусть H — подгруппа группы G и предположим, что g ₁ , g ₂ ∈ G. Следующие утверждения эквивалентны: ^[3]

• г ₁ Н = г ₂ Н
• Рт ₁ ⁻¹ = Рт ₂ ⁻¹
• г1Н ⊂ г2Н_​​_​​
• г2 ∈ г1 _Н​​
• г ₁ ⁻¹ г ₂ ∈ H

Характеристики

Непересекаемость нетождественных смежных классов является результатом того, что если x принадлежит gH , то gH = xH . Ибо если x ∈ gH , то должен существовать a ∈ H, такой что ga = x . Таким образом , xH = ( ga ) H = g ( aH ) . Более того, поскольку H является группой, левое умножение на a является биекцией, и aH = H.

Таким образом, каждый элемент группы G принадлежит ровно одному левому смежному классу подгруппы H , ^[1] и H сама по себе является левым смежным классом (и тем, который содержит единицу). ^[2]

Два элемента, находящиеся в одном и том же левом смежном классе, также обеспечивают естественное отношение эквивалентности . Определим два элемента из G , x и y , как эквивалентные относительно подгруппы H, если xH = yH (или, что эквивалентно, если x ⁻¹ y принадлежит H ) . Классы эквивалентности этого отношения являются левыми смежными классами H. ^[4] Как и в случае с любым набором классов эквивалентности, они образуют разбиение базового набора. Представитель смежного класса является представителем в смысле класса эквивалентности. Набор представителей всех смежных классов называется трансверсалью . Существуют и другие типы отношений эквивалентности в группе, такие как сопряженность, которые образуют различные классы, не обладающие обсуждаемыми здесь свойствами.

Аналогичные утверждения применимы к правым смежным классам.

Если G — абелева группа , то g + H = H + g для любой подгруппы H группы G и любого элемента g группы G. Для общих групп, заданных элементом g и подгруппой H группы G , правый смежный класс H по g является также левым смежным классом сопряженной подгруппы g ⁻¹ Hg по g , то есть Hg = g ( g ⁻¹ Hg ) .

Нормальные подгруппы

Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой G тогда и только тогда, когда для всех элементов g из G соответствующие левые и правые смежные классы равны, то есть gN = Ng . Это имеет место для подгруппы H в первом примере выше. Более того, смежные классы N в G образуют группу, называемую фактор-группой или фактор-группой G  /  N .

Если H не является нормальным в G , то его левые смежные классы отличаются от его правых смежных классов. То есть, существует a в G такой, что ни один элемент b не удовлетворяет aH = Hb . Это означает, что разбиение G на левые смежные классы H отличается от разбиения G на правые смежные классы H . Это иллюстрируется подгруппой T в первом примере выше. ( Некоторые смежные классы могут совпадать. Например, если a находится в центре G , то aH = Ha .)

С другой стороны, если подгруппа N нормальна, то множество всех смежных классов образует группу, называемую факторгруппой G  /  N с операцией ∗, определяемой формулой ( aN ) ∗ ( bN ) = abN . Поскольку каждый правый смежный класс является левым смежным классом, нет необходимости различать «левые смежные классы» и «правые смежные классы».

Индекс подгруппы

Каждый левый или правый смежный класс H имеет то же число элементов (или мощность в случае бесконечного H ), что и сам H. Более того, число левых смежных классов равно числу правых смежных классов и известно как индекс H в G , записываемый как [ G  : H ] . Теорема Лагранжа позволяет нам вычислить индекс в случае, когда G и H конечны : Это уравнение можно обобщить на случай, когда группы бесконечны. $${\displaystyle |G|=[G:H]|H|.}$$

Еще примеры

Целые числа

Пусть G — аддитивная группа целых чисел, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) и H — подгруппа (3 Z , +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) . Тогда смежными классами H в G являются три множества 3 Z , 3 Z + 1 и 3 Z + 2 , где 3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + a , 6 + a , ...} . Эти три множества разбивают множество Z , поэтому других правых смежных классов H нет . Из-за коммутативности сложения H + 1 = 1 + H и H + 2 = 2 + H . То есть, каждый левый смежный класс H также является правым смежным классом, поэтому H является нормальной подгруппой. ^[5] (Тот же аргумент показывает, что каждая подгруппа абелевой группы является нормальной. ^[6] )

Этот пример можно обобщить. Снова пусть G будет аддитивной группой целых чисел, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) , и теперь пусть H подгруппа ( m Z , +) = ({..., −2 m , − m , 0, m , 2 m , ...}, +) , где m — положительное целое число. Тогда смежными классами H в G являются m множеств m Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m − 1) , где m Z + a = {..., −2 m + a , − m + a , a , m + a , 2 m + a , ...} . Существует не более m смежных классов, потому что m Z + m = m ( Z + 1) = m Z . Смежный класс ( m Z + a , +) является классом конгруэнтности a по модулю m . [ 7 ^] Подгруппа m Z является нормальной в Z , и поэтому может быть использована для образования фактор-группы Z  /  m Z , группы целых чисел mod m .

Векторы

Другой пример смежного класса взят из теории векторных пространств . Элементы (векторы) векторного пространства образуют абелеву группу относительно сложения векторов . Подпространства векторного пространства являются подгруппами этой группы. Для векторного пространства V , подпространства W и фиксированного вектора a в V множества называются аффинными подпространствами и являются смежными классами (как левыми, так и правыми, поскольку группа абелева). В терминах трехмерных геометрических векторов эти аффинные подпространства являются всеми «прямыми» или «плоскостями», параллельными подпространству, которое является прямой или плоскостью, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим плоскость R ² . Если m — это прямая, проходящая через начало координат O , то m — подгруппа абелевой группы R ² . Если P находится в R ² , то смежный класс P + m — это прямая m ′, параллельная m и проходящая через P . ^[8] $${\displaystyle \{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}}$$

Матрицы

Пусть G — мультипликативная группа матриц, ^[9] и подгруппа H группы G. Для фиксированного элемента группы G рассмотрим левый смежный класс То есть левые смежные классы состоят из всех матриц в G , имеющих один и тот же верхний левый элемент. Эта подгруппа H нормальна в G , но подгруппа не нормальна в G. $${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$$ $${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$$

Как орбиты группового действия

Подгруппа H группы G может быть использована для определения действия H на G двумя естественными способами. Правое действие , G × H → G, заданное как ( g , h ) → gh или левое действие , H × G → G , заданное как ( h , g ) → hg . Орбита g при правом действии — это левый смежный класс gH , тогда как орбита при левом действии — это правый смежный класс Hg . ^[10]

История

Концепция смежного класса восходит к работе Галуа 1830–31 годов. Он ввел обозначение, но не дал названия для этой концепции. Термин «со-множество», по-видимому, впервые появляется в 1910 году в статье GA Miller в Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (т. 41, стр. 382). Использовались и другие термины, включая немецкие Nebengruppen ( Weber ) и conjugate group ( Burnside ). ^[11] (Обратите внимание, что Миллер сократил свое самоцитирование до Quarterly Journal of Mathematics ; это не относится к журналу с тем же названием , который начал публиковаться только в 1930 году.)

Галуа был озабочен решением вопроса, когда заданное полиномиальное уравнение разрешимо радикалами . Инструмент, который он разработал, заключался в том, что подгруппа H группы перестановок G индуцировала два разложения G (то, что мы теперь называем левыми и правыми смежными классами). Если эти разложения совпадали, то есть если левые смежные классы были такими же, как и правые смежные классы, то существовал способ свести задачу к одной из операций над H вместо G. Камиль Жордан в своих комментариях к работе Галуа в 1865 и 1869 годах развил эти идеи и определил нормальные подгруппы, как мы сделали выше, хотя он не использовал этот термин. ^[6]

Называть смежный класс gH левым смежным классом g относительно H , хотя и наиболее распространено сегодня, ^[10] не было универсально верным в прошлом. Например, Холл (1959) назвал бы gH правым смежным классом , подчеркивая , что подгруппа находится справа.

Приложение из теории кодирования

Двоичный линейный код — это n -мерное подпространство C m - мерного векторного пространства V над двоичным полем GF(2) . Поскольку V — аддитивная абелева группа, C — подгруппа этой группы. Коды можно использовать для исправления ошибок, которые могут возникнуть при передаче. Когда передается кодовое слово (элемент C ), некоторые его биты могут быть изменены в процессе, и задача приемника состоит в том, чтобы определить наиболее вероятное кодовое слово, с которого могло начинаться искаженное полученное слово . Эта процедура называется декодированием , и если при передаче допущено всего несколько ошибок, ее можно выполнить эффективно, допустив всего несколько ошибок. Один из методов, используемых для декодирования, использует расположение элементов V (полученное слово может быть любым элементом V ) в стандартном массиве . Стандартный массив — это разложение V по смежным классам , представленное в табличной форме определенным образом. А именно, верхняя строка массива состоит из элементов C , записанных в любом порядке, за исключением того, что нулевой вектор должен быть записан первым. Затем выбирается элемент V с минимальным числом единиц, который еще не появляется в верхней строке, и смежный класс C, содержащий этот элемент, записывается как вторая строка (а именно, строка формируется путем взятия суммы этого элемента с каждым элементом C, находящимся непосредственно над ним). Этот элемент называется лидером смежного класса , и может быть некоторый выбор при его выборе. Теперь процесс повторяется, новый вектор с минимальным числом единиц, который еще не появляется, выбирается как новый лидер смежного класса, и смежный класс C, содержащий его, является следующей строкой. Процесс заканчивается, когда все векторы V будут отсортированы по смежным классам.

Пример стандартного массива для 2-мерного кода C = {00000, 01101, 10110, 11011} в 5-мерном пространстве V (с 32 векторами) выглядит следующим образом:

Процедура декодирования заключается в поиске полученного слова в таблице и добавлении к нему лидера смежного класса строки, в которой он находится. Поскольку в двоичной арифметике сложение является той же операцией, что и вычитание, это всегда приводит к элементу C. В случае, если ошибки передачи произошли точно в ненулевых позициях лидера смежного класса, результатом будет правильное кодовое слово. В этом примере, если возникает одна ошибка, метод всегда исправит ее, поскольку в массиве появляются все возможные лидеры смежного класса с одной единицей.

Синдромное декодирование может быть использовано для повышения эффективности этого метода. Это метод вычисления правильного смежного класса (строки), в котором будет находиться полученное слово. Для n -мерного кода C в m -мерном двоичном векторном пространстве матрица проверки четности представляет собой матрицу H размером ( m − n ) × m , имеющую свойство x H ^T = 0 тогда и только тогда, когда x находится в C . ^[12] Вектор x H ^T называется синдромом x , и по линейности каждый вектор в том же смежном классе будет иметь тот же синдром. Для декодирования поиск теперь сводится к поиску лидера смежного класса, который имеет тот же синдром, что и полученное слово. ^[13]

Двойные смежные классы

Даны две подгруппы H и K (которые не обязательно должны быть различными) группы G , двойные смежные классы H и K в G являются множествами вида HgK = { hgk  : h элемент H , k элемент K } . Это левые смежные классы K и правые смежные классы H, когда H = 1 и K = 1 соответственно. ^[14]

Два двойных класса смежности HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны. ^[15] Множество всех двойных классов смежности для фиксированных H и K образует разбиение G.

Двойной смежный класс HxK содержит полные правые смежные классы H (в G ) вида Hxk , где k — элемент K , и полные левые смежные классы K (в G ) вида hxK , где h — элемент H . ^[15]

Обозначение

Пусть G — группа с подгруппами H и K. Несколько авторов, работающих с этими множествами, разработали специальную нотацию для своих работ, где ^{[16] [17]}

• G  /  H обозначает множество левых смежныхклассов { gH  : g в G } для H в G.
• H  \  G обозначает множество правых смежных классов { Hg  : g in G } для H в G .
• K  \  G  /  H обозначает множество двойных смежных классов { KgH  : g в G } для H и K в G , иногда называемое пространством двойных смежных классов .
• G  //  H обозначает двойное смежное пространство H  \  G  /  H подгруппы H в G .

Больше приложений

• Смежные классы Q в R используются при построении множеств Витали , типа неизмеримых множеств .
• Смежные классы играют центральную роль в определении переноса .
• Смежные классы важны в теории вычислительных групп. Например, алгоритм Тистлтуэйта для решения кубика Рубика в значительной степени опирается на смежные классы.
• В геометрии форма Клиффорда–Клейна — это двойное пространство смежных классов Γ \  G  /  H , где G — редуктивная группа Ли , H — замкнутая подгруппа, а Γ — дискретная подгруппа (группы G ), которая действует разрывно на однородном пространстве G  /  H.

Смотрите также

• Куча
• Перечисление смежных классов

Примечания

1. Rotman 2006, стр. 156
2. Dean 1990, стр. 100
3. "AATA Cosets". Архивировано из оригинала 2022-01-22 . Получено 2020-12-09 .
4. Ротман 2006, стр.155
5. Фрейли 1994, стр. 117
6. Fraleigh 1994, стр. 169
7. Джоши 1989, стр. 323
8. Ротман 2006, стр. 155
9. Бертон 1988, стр. 128, 135
10. Jacobson 2009, стр. 52
11. Миллер 2012, стр. 24 сноска
12. Транспонированная матрица используется для того, чтобы векторы можно было записать как векторы-строки.
13. Ротман 2006, стр. 423
14. Скотт 1987, стр. 19
15. Hall 1959, стр. 14–15
16. Seitz, Gary M. (1998), «Двойные смежные классы в алгебраических группах», в Carter, RW; Saxl, J. (ред.), Algebraic Groups and their Representation , Springer, стр. 241–257, doi :10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN 978-0-7923-5292-1
17. Дакворт, В. Этан (2004), «Бесконечность наборов двойных смежных классов в алгебраических группах», Журнал алгебры , 273 (2), Elsevier: 718–733, arXiv : math/0305256 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.08.011, S2CID  17839580

Ссылки

• Бертон, Дэвид М. (1988), Абстрактная алгебра , Wm. C. Brown Publishers, ISBN 0-697-06761-0
• Дин, Ричард А. (1990), Классическая абстрактная алгебра , Harper and Row, ISBN 0-06-041601-7
• Фрэли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2
• Холл, младший, Маршалл (1959), Теория групп , The Macmillan Company
• Якобсон, Натан (2009) [1985], Основы алгебры I (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1
• Джоши, К.Д. (1989), "§5.2 Смежные классы подгрупп", Основы дискретной математики, New Age International, стр. 322 и далее, ISBN 81-224-0120-1
• Миллер, GA (2012) [1916], Теория и приложения конечных групп , Applewood Books, ISBN 9781458500700
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Скотт, У. Р. (1987), "§1.7 Смежные классы и индекс", Теория групп, Courier Dover Publications, стр. 19 и далее, ISBN 0-486-65377-3

Дальнейшее чтение

• Цассенхаус, Ханс Дж. (1999), "§1.4 Подгруппы", Теория групп, Courier Dover Publications, стр. 10 и далее, ISBN 0-486-40922-8

Внешние ссылки

• Николас Брей. "Coset". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Левый смежный класс". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Правый смежный класс". MathWorld .
• Иванова, О.А. (2001) [1994], "Составной класс в группе", Энциклопедия математики , EMS Press
• Смежный класс в PlanetMath .
• Иллюстрированные примеры
• "Coset". groupprops . Свойства группы Wiki.