В математической физике ковариантная классическая теория поля представляет классические поля сечениями расслоений волокон , а их динамика формулируется в контексте конечномерного пространства полей . В настоящее время хорошо известно, что [ требуется ссылка ] струйные расслоения и вариационный бикомплекс являются правильной областью для такого описания. Гамильтонов вариант ковариантной классической теории поля — это ковариантная гамильтонова теория поля , в которой импульсы соответствуют производным переменных поля по всем мировым координатам. Неавтономная механика формулируется как ковариантная классическая теория поля на расслоениях волокон по оси времени .
Ниже приведены многие важные примеры классических теорий поля, представляющие интерес для квантовой теории поля. В частности, это теории, составляющие Стандартную модель физики элементарных частиц. Эти примеры будут использоваться при обсуждении общей математической формулировки классической теории поля.
Для формулировки классической теории поля необходимы следующие структуры:
Гладкий коллектор .
Его также называют мировым многообразием (чтобы подчеркнуть многообразие без дополнительных структур, таких как метрика), пространством-временем (если оно снабжено лоренцевой метрикой) или базовым многообразием для более геометрической точки зрения.
Пространство-время часто имеет дополнительную структуру. Примерами являются
а также требуемая структура ориентации, необходимая для понятия интегрирования по всему многообразию .
Пространство-время может допускать симметрии. Например, если оно снабжено метрикой , то это изометрии , порожденные векторными полями Киллинга . Симметрии образуют группу , автоморфизмы пространства-времени. В этом случае поля теории должны преобразовываться в представление .
Например, для пространства Минковского симметрии представляют собой группу Пуанкаре .
Группа Ли, описывающая (непрерывные) симметрии внутренних степеней свободы. Соответствующая алгебра Ли через соответствие группа Ли–алгебра Ли обозначается . Это называется калибровочной группой .
Главный -bundle , иначе известный как -torsor . Иногда это записывается как
где — каноническая проекция на , а — базовое многообразие.
Здесь мы рассматриваем связь как главную связь . В теории поля эта связь также рассматривается как ковариантная производная , действие которой на различные поля определяется позже.
Обозначенная главная связь представляет собой -значную 1-форму на P, удовлетворяющую техническим условиям «проекции» и «правой эквивариантности»: подробности можно найти в статье о главной связи.
При тривиализации это можно записать как локальное калибровочное поле , -значную 1-форму на участке тривиализации . Именно эта локальная форма связи отождествляется с калибровочными полями в физике. Когда базовое многообразие плоское, существуют упрощения, которые устраняют эту тонкость.
Ассоциированное векторное расслоение, ассоциированное с главным расслоением посредством представления
Для полноты картины, учитывая представление , волокно равно .
Поле или поле материи — это часть ассоциированного векторного расслоения. Совокупность этих полей вместе с калибровочными полями — это материальное содержание теории.
Лагранжиан : для данного расслоения волокон лагранжиан является функцией .
Предположим, что содержание материи задано сечениями с волокном сверху. Тогда, например, более конкретно мы можем рассматривать как пучок, где волокно в является . Это тогда позволяет рассматривать как функционал поля.
Это завершает математические предпосылки для большого количества интересных теорий, включая те, которые приведены в разделе примеров выше.
Когда базовое многообразие является плоским, то есть ( псевдо- ) евклидовым пространством , существует множество полезных упрощений, которые делают теории менее концептуально сложными для понимания.
Упрощения вытекают из наблюдения, что плоское пространство-время стягиваемо: тогда теорема алгебраической топологии гласит , что любое расслоение над плоскостью тривиально.
В частности, это позволяет нам выбрать глобальную тривиализацию и , следовательно, глобально идентифицировать связь как калибровочное поле.
Более того, существует тривиальная связь , которая позволяет нам идентифицировать ассоциированные векторные расслоения как , и тогда нам не нужно рассматривать поля как сечения, а просто как функции . Другими словами, векторные расслоения в разных точках сопоставимы. Кроме того, для плоского пространства-времени связь Леви-Чивиты является тривиальной связью на расслоении фрейма .
Тогда пространственно-временная ковариантная производная на тензорных или спин-тензорных полях — это просто частная производная в плоских координатах. Однако калибровочно-ковариантная производная может потребовать нетривиальной связи , которая считается калибровочным полем теории.
В слабой гравитационной кривизне плоское пространство-время часто служит хорошим приближением к слабо искривленному пространству-времени. Для эксперимента это приближение хорошо. Стандартная модель определена на плоском пространстве-времени и произвела самые точные прецизионные тесты физики на сегодняшний день.
