Кросс-спектр

В анализе временных рядов кросс -спектр используется как часть частотного анализа кросс -корреляции или кросс-ковариации между двумя временными рядами.

Определение

Пусть представим пару случайных процессов , которые совместно являются стационарными в широком смысле с функциями автоковариации и и функцией взаимной ковариации . Тогда взаимный спектр определяется как преобразование Фурье ^[1] ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ ${\displaystyle \gamma _{xx}}$ ${\displaystyle \gamma _{yy}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ${\displaystyle \Gamma _{xy}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},}$

где

${\displaystyle \gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]}$.

Кросс-спектр имеет представление в виде разложения на (i) его действительную часть (коспектр) и (ii) его мнимую часть (квадратурный спектр).

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{xy}(f),}$

и (ii) в полярных координатах

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.}$

Здесь амплитудный спектр определяется выражением ${\displaystyle A_{xy}}$

${\displaystyle A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}$

а фазовый спектр определяется выражением ${\displaystyle \Phi _{xy}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}$

Квадратичный спектр когерентности

Квадратичный спектр когерентности определяется выражением

${\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}$

который выражает амплитудный спектр в безразмерных единицах.

Смотрите также

• Кросс-корреляция
• Спектр мощности
• Масштабированная корреляция

Ссылки

1. фон Шторх, Х.; Ф. В. Цвирс (2001). Статистический анализ в исследованиях климата . Кембриджский университет Pr. ISBN 0-521-01230-9.