Процесс определения точки

В математике детерминантный точечный процесс — это стохастический точечный процесс , распределение вероятностей которого характеризуется как детерминанта некоторой функции. Они подходят для моделирования глобальных отрицательных корреляций и для эффективных алгоритмов выборки, маргинализации, кондиционирования и других задач вывода. Такие процессы возникают как важные инструменты в теории случайных матриц , комбинаторике , физике , ^[1] машинном обучении , ^[2] и моделировании беспроводных сетей. ^{[3] [4] [5]}

Введение

Интуиция

Рассмотрим несколько положительно заряженных частиц, заключенных в одномерный ящик . Из-за электростатического отталкивания местоположения заряженных частиц отрицательно коррелируют. То есть, если одна частица находится в небольшом сегменте , то это делает менее вероятным нахождение других частиц в том же наборе. Силу отталкивания между двумя частицами в местоположениях можно охарактеризовать функцией . ${\displaystyle [-1,+1]}$ ${\displaystyle [x,x+\delta x]}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle K(x,x')}$

Формальное определение

Пусть будет локально компактным польским пространством и будет мерой Радона на . В большинстве конкретных приложений это евклидово пространство с его мерой Лебега. Ядерная функция — это измеримая функция . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K:\Lambda ^{2}\to \mathbb {C} }$

Мы говорим, что это детерминантный точечный процесс на с ядром , если это простой точечный процесс на с совместной интенсивностью или корреляционной функцией (которая является плотностью ее факториальной меры момента ), заданной как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}}$

для каждого n ≥ 1 и x ₁ , ..., x _n ∈ Λ. ^[6]

Характеристики

Существование

Для существования детерминантного случайного точечного процесса с интенсивностями ρ _k необходимы и достаточны следующие два условия .

• Симметрия: ρ _k инвариантен относительно действия симметрической группы S _k . Таким образом: $${\displaystyle \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\quad \forall \sigma \in S_{k},k}$$
• Положительность: для любого N и любого набора измеримых ограниченных функций , k = 1, ..., N с компактным носителем : ${\displaystyle \varphi _{k}:\Lambda ^{k}\to \mathbb {R} }$
  Если Тогда ^[7] $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$ $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$

Уникальность

Достаточным условием единственности детерминантного случайного процесса с совместными интенсивностями ρ _k является для каждого ограниченного борелевского A ⊆ Λ. ^[7] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=\infty }$$

Примеры

Гауссовский унитарный ансамбль

Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размером m  ×  m, взятой из гауссовского унитарного ансамбля (GUE), образуют детерминантный точечный процесс с ядром ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)}$

где - волновая функция осциллятора, определяемая как ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \psi _{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2n}}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}}$$

и является -м многочленом Эрмита . ^[8] ${\displaystyle H_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

Воздушный процесс

Процесс Эйри имеет функцию ядра , где — функция Эйри . Этот процесс возникает из перемасштабированных собственных значений вблизи спектрального края гауссовского унитарного ансамбля . Он был введен в 1992 году. ^[9] $${\displaystyle K^{\mathrm {Ai} }(x,y)={\frac {\operatorname {Ai} (x)\operatorname {Ai} ^{\prime }(y)-\operatorname {Ai} (y)\operatorname {Ai} ^{\prime }(x)}{x-y}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Ai} }$

Пуассонизированная мера Планшереля

Пуассонизированная мера Планшереля на целочисленном разбиении (и, следовательно, на диаграммах Юнга ) играет важную роль в изучении самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Точечный процесс, соответствующий случайной диаграмме Юнга, выраженный в модифицированных координатах Фробениуса, является детерминантным точечным процессом на + 1 ⁄ 2 с дискретным ядром Бесселя, заданным как: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}(|x|,|y|)}{|x|-|y|}}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}(|x|,|y|)}{x-y}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}}$$где J — функция Бесселя первого рода, а θ — среднее значение, используемое при пуассонизации. ^[10] $${\displaystyle k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})-J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }}),}$$ $${\displaystyle k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})}$$

Это служит примером хорошо определенного детерминантного точечного процесса с неэрмитовым ядром (хотя его ограничение на положительную и отрицательную полуось является эрмитовым) ^{[7] .}

Равномерные остовные деревья

Пусть G — конечный, неориентированный, связный граф с множеством ребер E. Определим I ^e : E  →  ℓ ² (E) следующим образом: сначала выберем некоторый произвольный набор ориентаций для ребер E и для каждого полученного ориентированного ребра e определим I ^e как проекцию единичного потока вдоль e на подпространство ℓ ² (E), охватываемое звездными потоками. ^[11] Тогда равномерно случайное остовное дерево графа G является детерминантным точечным процессом на E с ядром

${\displaystyle K(e,f)=\langle I^{e},I^{f}\rangle ,\quad e,f\in E}$. ^[6]

Ссылки

1. Вершик, Анатолий М. (2003). Асимптотическая комбинаторика с приложениями к математической физике. Европейская летняя математическая школа, проходившая в Институте Эйлера, Санкт-Петербург, Россия, 9-20 июля 2001 г. Берлин [и т.д.]: Springer. стр. 151. ISBN 978-3-540-44890-7.
2. Кулеша, Алекс; Таскар, Бен (2012). «Определяющие точечные процессы для машинного обучения». Основы и тенденции в машинном обучении . 5 (2–3): 123–286. arXiv : 1207.6083 . doi :10.1561/2200000044.
3. Миёси, Наото; Шираи, Томоюки (2016). «Модель сотовой сети с базовыми станциями, настроенными Ginibre». Достижения в области прикладной теории вероятности . 46 (3): 832–845. дои : 10.1239/aap/1409319562 . ISSN  0001-8678.
4. Torrisi, Giovanni Luca; Leonardi, Emilio (2014). «Большие отклонения помех в сетевой модели Ginibre» (PDF) . Стохастические системы . 4 (1): 173–205. doi : 10.1287/13-SSY109 . ISSN  1946-5238.
5. Н. Дэн, В. Чжоу и М. Хенгги. Процесс точки Джинибре как модель для беспроводных сетей с отталкиванием. IEEE Transactions on Wireless Communications , т. 14, стр. 107-121, январь 2015 г.
6. Hough, JB, Krishnapur, M., Peres, Y., and Virág, B., Zeros of Gaussian analytic functions and determinantal point processes. University Lecture Series, 51. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
7. А. Сошников, Детерминантные случайные точечные поля, Обзоры математической физики , 2000, 55 (5), 923–975.
8. Б. Валко. Случайные матрицы, лекции 14–15. Конспект лекций курса, Университет Висконсин-Мэдисон.
9. Трейси, Крейг А.; Видом, Гарольд (январь 1994 г.). «Распределения между уровнями и ядро ​​Эйри». Communications in Mathematical Physics . 159 (1): 151–174. doi :10.1007/BF02100489. ISSN  0010-3616.
10. А. Бородин, А. Окуньков и Г. Ольшанский, Об асимптотике мер Планшереля для симметричных групп, доступно через arXiv :math/9905032.
11. Lyons, R. с Peres, Y., Probability on Trees and Networks. Cambridge University Press, в процессе подготовки. Текущая версия доступна по адресу http://mypage.iu.edu/~rdlyons/

• Йоханссон, Курт (2006). Курс 1 – Случайные матрицы и детерминантные процессы . Ле Уш. Том. 83. Эльзевир. дои : 10.1016/s0924-8099(06)80038-7. ISSN  0924-8099.