Дискретное фазовое распределение

Распределение дискретного фазового типа — это распределение вероятностей , которое является результатом системы одного или нескольких взаимосвязанных геометрических распределений, происходящих последовательно, или фаз. Последовательность, в которой происходит каждая из фаз, сама по себе может быть стохастическим процессом . Распределение может быть представлено случайной величиной, описывающей время до поглощения поглощающей цепи Маркова с одним поглощающим состоянием. Каждое из состояний цепи Маркова представляет одну из фаз.

Имеет непрерывный временной эквивалент в распределении фазового типа .

Определение

Завершающая цепь Маркова — это цепь Маркова , в которой все состояния являются переходными, за исключением одного, которое является поглощающим. Переупорядочивая состояния, матрица вероятностей перехода завершающей цепи Маркова с переходными состояниями равна ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {P}=\left[{\begin{matrix}{T}&\mathbf {T} ^{0}\\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matrix}}\right],}$

где — матрица, а — векторы-столбцы с элементами, и . Матрица перехода характеризуется исключительно своим верхним левым блоком . ${\displaystyle {T}}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{0}+{T}\mathbf {1} =\mathbf {1} }$ ${\displaystyle {T}}$

Определение. Распределение на является распределением типа дискретной фазы, если оно является распределением времени первого перехода в поглощающее состояние завершающейся цепи Маркова с конечным числом состояний. ${\displaystyle \{0,1,2,...\}}$

Характеристика

Зафиксируем завершающую цепь Маркова. Обозначим верхний левый блок ее матрицы перехода и начальное распределение. Распределение первого момента в поглощающее состояние обозначим или . ${\displaystyle {T}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathrm {PH} _{d}({\boldsymbol {\tau }},{T})}$ ${\displaystyle \mathrm {DPH} ({\boldsymbol {\tau }},{T})}$

Его кумулятивная функция распределения равна

${\displaystyle F(k)=1-{\boldsymbol {\tau }}{T}^{k}\mathbf {1} ,}$

для , а его функция плотности равна ${\displaystyle k=1,2,...}$

${\displaystyle f(k)={\boldsymbol {\tau }}{T}^{k-1}\mathbf {T^{0}} ,}$

для . Предполагается, что вероятность начала процесса в поглощающем состоянии равна нулю. Факториальные моменты функции распределения определяются как, ${\displaystyle k=1,2,...}$

${\displaystyle E[K(K-1)...(K-n+1)]=n!{\boldsymbol {\tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{n-1}\mathbf {1} ,}$

где — соответствующая размерность единичной матрицы . ${\displaystyle I}$

Особые случаи

Так же, как непрерывное распределение во времени является обобщением экспоненциального распределения, дискретное распределение во времени является обобщением геометрического распределения, например:

• Вырожденное распределение , точечная масса в нуле или распределение типа пустой фазы – 0 фаз.
• Геометрическое распределение – 1 фаза.
• Отрицательное биномиальное распределение – 2 или более одинаковых фазы подряд.
• Смешанное геометрическое распределение – 2 или более неидентичных фазы, каждая из которых имеет вероятность возникновения взаимоисключающим или параллельным образом. Это дискретный аналог гиперэкспоненциального распределения , но его не называют гипергеометрическим распределением , поскольку это название используется для совершенно другого типа дискретного распределения.

Смотрите также

• Распределение фазового типа
• Модель очередей
• Теория массового обслуживания

Ссылки

• MF Neuts. Матрично-геометрические решения в стохастических моделях: алгоритмический подход, Глава 2: Распределения вероятностей фазового типа; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Введение в матричные аналитические методы в стохастическом моделировании , 1-е издание. Глава 2: Распределения PH; ASA SIAM, 1999.