Непрерывная или дискретная переменная

Виды количественных переменных в математике

В математике и статистике количественная переменная может быть непрерывной или дискретной , если ее обычно получают путем измерения или подсчета соответственно. ^[1] Если она может принимать два конкретных действительных значения так, что она также может принимать все действительные значения между ними (включая значения, которые произвольно или бесконечно близки друг к другу), переменная является непрерывной в этом интервале . ^[2] Если она может принимать такое значение, что с каждой стороны от нее существует не бесконечно малый промежуток, не содержащий значений, которые может принимать переменная, то она дискретна вокруг этого значения. ^[3] В некоторых контекстах переменная может быть дискретной в одних диапазонах числовой прямой и непрерывной в других.

Переменные можно разделить на две основные категории: качественные (категориальные) и количественные (числовые). Непрерывные и дискретные переменные являются подкатегориями количественных переменных. Обратите внимание, что эта схема не является исчерпывающей с точки зрения типов переменных.

Непрерывная переменная

Непрерывная переменная — это переменная, значение которой получается путем измерения, т. е. такая, которая может принимать несчетное множество значений.

Например, переменная в непустом диапазоне действительных чисел является непрерывной, если она может принимать любое значение в этом диапазоне. Причина в том, что любой диапазон действительных чисел между и с неисчислим и имеет бесконечное количество значений внутри этого диапазона. ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ;a\neq b}$

Методы исчисления часто используются в задачах, в которых переменные непрерывны, например, в задачах непрерывной оптимизации . ^[5]

В статистической теории распределения вероятностей непрерывных переменных могут быть выражены через функции плотности вероятности . ^[6]

В динамике непрерывного времени переменная время рассматривается как непрерывная, а уравнение, описывающее эволюцию некоторой переменной во времени, является дифференциальным уравнением . ^[7] Мгновенная скорость изменения — это четко определенное понятие, которое принимает отношение изменения зависимой переменной к независимой переменной в определенный момент.

Это изображение флаконов с разным количеством жидкости. Непрерывной переменной может быть объем жидкости во флаконах. Дискретной переменной может быть количество флаконов.

Дискретная переменная

Напротив, переменная является дискретной переменной тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между этой переменной и набором натуральных чисел . ^[8] Другими словами; Дискретная переменная в определенном интервале действительных значений — это такая переменная, для которой для любого значения в диапазоне, который разрешено принимать переменной, существует положительное минимальное расстояние до ближайшего другого допустимого значения. Значение дискретной переменной можно получить путем подсчета, а число разрешенных значений либо конечно, либо счетно бесконечно . Типичными примерами являются переменные, которые должны быть целыми числами , неотрицательными целыми числами, положительными целыми числами или только целыми числами 0 и 1. ^[9] ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Методы исчисления с трудом подходят для решения задач, связанных с дискретными переменными. Многие модели, особенно в исчислении с множеством переменных, полагаются на предположение о непрерывности. ^[10] Примеры задач, связанных с дискретными переменными, включают целочисленное программирование .

В статистике распределения вероятностей дискретных переменных можно выразить через функции вероятности . ^[6]

В динамике дискретного времени переменная время рассматривается как дискретная, а уравнение эволюции некоторой переменной во времени называется разностным уравнением . ^[11] Для некоторых динамических систем с дискретным временем реакцию системы можно смоделировать путем решения разностного уравнения для аналитического решения.

В эконометрике и, в более общем смысле, в регрессионном анализе , иногда некоторые из переменных, эмпирически связанных друг с другом, представляют собой переменные 0–1, и им разрешено принимать только эти два значения. ^[12] Цель дискретных значений 0 и 1 состоит в том, чтобы использовать фиктивную переменную в качестве «переключателя», который может «включаться» и «выключаться», присваивая два значения различным параметрам в уравнении. Переменная этого типа называется фиктивной переменной . Если зависимая переменная является фиктивной переменной, то обычно используется логистическая регрессия или пробит-регрессия . В случае регрессионного анализа можно использовать фиктивную переменную для представления подгрупп выборки в исследовании (например, значение 0, соответствующее компоненту контрольной группы). ^[13]

Смесь непрерывных и дискретных переменных

Смешанная многомерная модель может содержать как дискретные, так и непрерывные переменные. Например, простая смешанная многомерная модель может иметь дискретную переменную , которая принимает только значения 0 или 1, и непрерывную переменную . ^[14] Примером смешанной модели может быть исследование риска психологических расстройств, основанное на одном бинарном измерении психиатрических симптомов и одном непрерывном измерении когнитивных функций. ^[15] Смешанные модели также могут включать одну переменную, которая дискретна в одном диапазоне числовой прямой и непрерывна в другом диапазоне. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

В теории вероятностей и статистике распределение вероятностей смешанной случайной величины состоит как из дискретных, так и из непрерывных составляющих. Смешанная случайная величина не имеет кумулятивной функции распределения , которая была бы дискретной или всюду непрерывной. Примером случайной величины смешанного типа является вероятность времени ожидания в очереди. Вероятность того, что клиент испытает нулевое время ожидания, дискретна, в то время как ненулевое время ожидания оценивается в непрерывной временной шкале. ^[16]

Смотрите также

• Непрерывный или дискретный спектр
• Непрерывная функция
• Данные подсчета
• Дискретная математика
• Непрерывный спектр
• Дискретный спектр
• Дискретное время и непрерывное время
• Случайный процесс, непрерывный во времени
• Случайный процесс с дискретным временем
• Непрерывное моделирование
• Дискретное моделирование
• Непрерывная геометрия
• Дискретная геометрия
• Представление непрерывной серии
• Представление дискретного ряда
• Дискретизация
• Интерполяция
• Дискретная мера
• Дискретное пространство

Рекомендации

1. Али, Зульфикар; Бхаскар, С. Бала (сентябрь 2016 г.). «Основные статистические инструменты в исследованиях и анализе данных». Индийский журнал анестезии . 60 (9): 662–669. дои : 10.4103/0019-5049.190623 . ПМК  5037948 .
2. Калиядан, Ферозе; Кулкарни, Винай (январь 2019 г.). «Типы переменных, описательная статистика и размер выборки». Индийский онлайн-журнал дерматологии . 10 (1): 82–86. дои : 10.4103/idoj.IDOJ_468_18 . ПМК 6362742 . ПМИД  30775310. 
3. К.Д. Джоши, Основы дискретной математики , 1989, New Age International Limited, [1], стр. 7.
4. Бжичи, Станислав; Горневич, Лех (2011). «Непрерывные и дискретные модели нейронных систем в бесконечномерных абстрактных пространствах». Нейрокомпьютинг . 74 (17): 2711-2715. doi : 10.1016/j.neucom.2010.11.005.
5. Грива, Игорь; Нэш, Стивен; Софер, Ариэла (2009). Линейная и нелинейная оптимизация (2-е изд.). Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. п. 7. ISBN 978-0-89871-661-0. ОСЛК  236082842.
6. Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в вероятность и статистику». Спрингеровские тексты в статистике . дои : 10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN  1431-875X.
7. Пойтон, А.А.; Варзири, Мохаммад Саид; Маколи, Кимберли Б.; МаклелланПэт Джеймс, Пэт Джеймс; Рамзи, Джеймс О. (15 февраля 2006 г.). «Оценка параметров в динамических моделях с непрерывным временем с использованием анализа принципа главного дифференциала». Компьютеры и химическая инженерия . 30 (4): 698–708. doi :10.1016/j.compchemeng.2005.11.008.
8. Одифредди, Пьерджорджо (18 февраля 1992 г.). Классическая теория рекурсии: теория функций и множеств натуральных чисел . Издательство Северной Голландии. п. 18. ISBN 978-0444894830.
9. ван Даувен, Эрик (1984). Справочник по теоретико-множественной топологии . Северная Голландия: Эльзевир. стр. 113–167. ISBN 978-0-444-86580-9.
10. Клогг, Клиффорд К.; Шоки, Джеймс В. (1988). Справочник по многомерной экспериментальной психологии . Бостон, Массачусетс: Издательская компания Springer. п. 337-365. ISBN 978-1-4613-0893-5.
11. Тьягараджан, Канзас (2019). Введение в цифровую обработку сигналов с использованием MATLAB с применением к цифровым коммуникациям (1-е изд.). Издательская компания Спрингер. п. 21-63. ISBN 978-3319760285.
12. Миллер, Джерри LL; Эриксон, Мейнард Л. (май 1974 г.). «О регрессионном анализе с фиктивными переменными». Социологические методы и исследования . 2 (4): 395–519. дои : 10.1177/004912417400200402.
13. Харди, Мелисса А. (25 февраля 1993 г.). Регрессия с фиктивными переменными (количественные приложения в социальных науках) (1-е изд.). Ньюбери Парк: Sage Publications, Inc., с. против ISBN 0803951280.
14. Олкин, Ингрэм; Тейт, Роберт (июнь 1961 г.). «Многомерные корреляционные модели со смешанными дискретными и непрерывными переменными». Анналы математической статистики . 32 (2): 448–465. дои : 10.1214/aoms/1177705052 .
15. Фицморис, Гаррет М.; Лэрд, Нэн М. (март 1997 г.). «Модели регрессии для смешанных дискретных и непрерывных ответов с потенциально пропущенными значениями». Биометрия . 53 (1): 110-122. дои : 10.2307/2533101.
16. Шарма, Шалендра Д. (март 1975 г.). «О системе массового обслуживания непрерывного/дискретного времени с прибытием партиями переменного размера и коррелированными отправлениями». Журнал прикладной вероятности . 12 (1): 115-129. дои : 10.2307/3212413.