В геометрии задача о разбиении — это задача о разбиении геометрической фигуры (например, многогранника или шара ) на более мелкие части, которые можно переставить в новую фигуру равного содержания. В этом контексте разбиение называется просто разбиением (одного многогранника на другой). Обычно требуется, чтобы разбиение использовало только конечное число частей. Кроме того, чтобы избежать теоретико-множественных проблем, связанных с парадоксом Банаха–Тарского и проблемой квадратуры круга Тарского , части обычно должны вести себя хорошо . Например, они могут быть ограничены замыканиями непересекающихся открытых множеств .
Теорема Бойяи–Гервина утверждает, что любой многоугольник может быть разрезан на любой другой многоугольник той же площади, используя внутренне непересекающиеся многоугольные части. Однако неверно, что любой многогранник можно разбить на любой другой многогранник того же объема, используя многогранные части (см. инвариант Дена ). Однако этот процесс возможен для любых двух сот (например, куба ) в трехмерном пространстве и любых двух зоноэдров равного объема (в любом измерении).
Разбиение на треугольники равной площади называется равнорассечением . Большинство многоугольников не могут быть равнорассечены, а те, которые могут, часто имеют ограничения на возможное количество треугольников. Например, теорема Монски утверждает, что нечетного равнорассечения квадрата не существует . [1]