Зоноэдр

Выпуклый многогранник, спроецированный из гиперкуба

В геометрии зоноэдр — выпуклый многогранник с центральной симметрией , каждая грань которого представляет собой многоугольник с центральной симметрией ( зоногон ). Любой зоноэдр может быть эквивалентно описан как сумма Минковского набора отрезков в трехмерном пространстве или как трехмерная проекция гиперкуба . Зоноэдры были первоначально определены и изучены Е. С. Федоровым , русским кристаллографом . В более общем смысле, в любом измерении сумма Минковского отрезков образует многогранник, известный как зонотоп .

Зоноэдры, которые заполняют пространство

Первоначальная мотивация для изучения зоноэдров заключается в том, что диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклые однородные соты , в которых ячейки являются зоноэдрами. Любой зоноэдр, образованный таким образом, может разбить трехмерное пространство на части и называется первичным параллелоэдром . Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдру (включая куб ), шестиугольной призме , усеченному октаэдру , ромбическому додекаэдру и ромбо-шестиугольному додекаэдру .

Зоноэдры из сумм Минковского

Зонотоп — это сумма Минковского отрезков прямых. Шестнадцать темно-красных точек (справа) образуют сумму Минковского четырех невыпуклых множеств (слева), каждое из которых состоит из пары красных точек. Их выпуклые оболочки (закрашенные розовым) содержат знаки плюс (+): Правый знак плюс — это сумма левых знаков плюс.

Пусть будет набором трехмерных векторов . Каждому вектору мы можем сопоставить отрезок прямой . Сумма Минковского образует зоноэдр, и все зоноэдры, содержащие начало координат, имеют эту форму. Векторы, из которых образован зоноэдр, называются его образующими . Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдров на более высокие измерения, давая зонотопы. ${\displaystyle \{v_{0},v_{1},\dots \}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$

Каждое ребро в зоноэдре параллельно по крайней мере одному из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Поэтому, выбрав набор образующих без параллельных пар векторов и установив все длины векторов равными, мы можем сформировать равностороннюю версию любого комбинаторного типа зоноэдра.

Выбирая наборы векторов с высокой степенью симметрии, мы можем таким образом сформировать зоноэдры с по крайней мере такой же симметрией. Например, генераторы, равномерно расположенные вокруг экватора сферы, вместе с другой парой генераторов через полюса сферы образуют зоноэдры в форме призмы над правильными -угольниками: куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатиугольная призма и т. д. Генераторы, параллельные ребрам октаэдра, образуют усеченный октаэдр , а генераторы, параллельные длинным диагоналям куба, образуют ромбический додекаэдр . ^[1] ${\displaystyle 2k}$

Сумма Минковского любых двух зоноэдров — это другой зоноэдр, порожденный объединением образующих двух данных зоноэдров. Таким образом, сумма Минковского куба и усеченного октаэдра образует усеченный кубооктаэдр , в то время как сумма Минковского куба и ромбического додекаэдра образует усеченный ромбический додекаэдр . Оба этих зоноэдра являются простыми (три грани встречаются в каждой вершине), как и усеченный малый ромбокубооктаэдр, образованный из суммы Минковского куба, усеченного октаэдра и ромбического додекаэдра. ^[1]

Зоноэдры из расположений

Карта Гаусса любого выпуклого многогранника отображает каждую грань многоугольника в точку на единичной сфере и отображает каждое ребро многоугольника, разделяющее пару граней, в дугу большого круга , соединяющую соответствующие две точки. В случае зоноэдра ребра, окружающие каждую грань, могут быть сгруппированы в пары параллельных ребер, и при переводе с помощью карты Гаусса любая такая пара становится парой смежных сегментов на одном и том же большом круге. Таким образом, ребра зоноэдра могут быть сгруппированы в зоны параллельных ребер, которые соответствуют сегментам общего большого круга на карте Гаусса, и 1- скелет зоноэдра можно рассматривать как планарный двойственный граф к расположению больших кругов на сфере. Наоборот, любое расположение больших кругов может быть образовано из карты Гаусса зоноэдра, порожденной векторами, перпендикулярными плоскостям, проходящим через окружности.

Любой простой зоноэдр соответствует таким образом симплициальному расположению , в котором каждая грань является треугольником. Симплициальное расположение больших кругов соответствует через центральную проекцию симплициальному расположению прямых в проективной плоскости . Существует три известных бесконечных семейства симплициальных расположений, одно из которых приводит к призмам при преобразовании в зоноэдры, а два других соответствуют дополнительным бесконечным семействам простых зоноэдров. Существует также много спорадических примеров, которые не вписываются в эти три семейства. ^[2]

Из соответствия между зоноэдрами и расположениями, а также из теоремы Сильвестра–Галлаи , которая (в ее проективной двойственной форме) доказывает существование пересечений только двух линий в любом расположении, следует, что каждый зоноэдр имеет по крайней мере одну пару противоположных граней параллелограмма . (Квадраты, прямоугольники и ромбы считаются для этой цели частными случаями параллелограммов.) Более того, каждый зоноэдр имеет по крайней мере шесть граней параллелограмма, и каждый зоноэдр имеет число граней параллелограмма, линейное по числу его образующих. ^[3]

Типы зоноэдров

Любая призма над правильным многоугольником с четным числом сторон образует зоноэдр. Эти призмы можно сформировать так, чтобы все грани были правильными: две противоположные грани равны правильному многоугольнику, из которого была сформирована призма, и они соединены последовательностью квадратных граней. Зоноэдры этого типа — куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатиугольная призма и т. д.

В дополнение к этому бесконечному семейству правильно гранных зоноэдров существуют три архимедовых тела , все из которых являются усечениями правильных форм:

• Усеченный октаэдр с 6 квадратными и 8 шестиугольными гранями. (Всеусеченный тетраэдр)
• Усеченный кубооктаэдр с 12 квадратами, 8 шестиугольниками и 6 восьмиугольниками. (Всеусеченный куб)
• Усеченный икосододекаэдр с 30 квадратами, 20 шестиугольниками и 12 десятиугольниками. (Всеусеченный додекаэдр)

Кроме того, некоторые каталоновы тела (двойственные архимедовым телам) снова являются зоноэдрами:

• Ромбический додекаэдр Кеплера является двойственным кубооктаэдру .
• Ромбический триаконтаэдр является двойственным по отношению к икосододекаэдру .

Другие с конгруэнтными ромбическими гранями:

• Ромбический додекаэдр Билинского .
• Ромбический икосаэдр
• Ромбоэдр

Существует бесконечно много зоноэдров с ромбическими гранями, которые не все конгруэнтны друг другу. Они включают:

• Ромбический девятигранник

Разрез зоноэдров

Каждый зоноэдр с зонами можно разбить на параллелепипеды , каждый из которых имеет три одинаковых зоны, и по одному параллелепипеду для каждой тройки зон. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{3}}}$

Инвариант Дена любого зоноэдра равен нулю. Это означает, что любые два зоноэдра с одинаковым объемом могут быть разрезаны друг на друга. Это означает, что возможно разрезать один из двух зоноэдров на многогранные части, которые могут быть повторно собраны в другой. ^[5]

Зоноэдрификация

Зоноэдрификация — это процесс, описанный Джорджем У. Хартом для создания зоноэдра из другого многогранника. ^{[6] [7]}

Сначала вершины любого затравочного многогранника считаются векторами из центра многогранника. Эти векторы создают зоноэдр, который мы называем зоноэдрификацией исходного многогранника. Если затравочный многогранник имеет центральную симметрию , противоположные точки определяют одно и то же направление, поэтому число зон в зоноэдре равно половине числа вершин затравки. Для любых двух вершин исходного многогранника существуют две противоположные плоскости зоноэдрификации, каждая из которых имеет два ребра, параллельные векторам вершин.

Зонотопы

Сумма Минковского отрезков в любом измерении образует тип многогранника , называемого зонотопом . Эквивалентно, зонотоп, порожденный векторами, задается выражением . Обратите внимание, что в частном случае, когда , зонотоп является (возможно, вырожденным) параллелотопом . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle Z}$

Грани любого зонотопа сами являются зонотопами одного более низкого измерения; например, грани зоноэдров являются зоногонами . Примерами четырехмерных зонотопов являются тессеракт (суммы Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков равной длины), всеусеченный 5-ячейник и усеченный 24-ячейник . Каждый пермутоэдр является зонотопом.

Зонотопы и матроиды

Зафиксируем зонотоп, определенный из набора векторов , и пусть будет матрицей, столбцы которой являются . Тогда векторный матроид на столбцах кодирует массу информации о , то есть многие свойства носят чисто комбинаторный характер. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times n}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Например, пары противоположных граней естественным образом индексируются косхемами и если мы рассмотрим ориентированный матроид, представленный , то получим биекцию между гранями и знаковыми косхемами , которая продолжается до антиизоморфизма частично упорядоченных множеств между решеткой граней и ковекторами , упорядоченными покомпонентным расширением . В частности, если и — две матрицы, отличающиеся проективным преобразованием , то их соответствующие зонотопы комбинаторно эквивалентны. Обратное к предыдущему утверждению не выполняется: сегмент является зонотопом и порождается как и , чьи соответствующие матрицы и не отличаются проективным преобразованием. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {M}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle 0\prec +,-}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0,2]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{2\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1~1]}$

Плитка

Свойства мозаики зонотопа также тесно связаны с ориентированным матроидом, связанным с ним. Сначала рассмотрим свойство мозаики пространства. Говорят , что зонотоп мозаика, если существует набор векторов, такой что объединение всех трансляций ( ) равно и любые два трансляций пересекаются по (возможно, пустой) грани каждого. Такой зонотоп называется зонотопом мозаики пространства. Следующая классификация зонотопов мозаики пространства принадлежит МакМаллену: ^[8] Зонотоп, порожденный векторами мозаики пространства, тогда и только тогда, когда соответствующий ориентированный матроид является регулярным . Таким образом, кажущееся геометрическим условие того, чтобы быть зонотопом мозаики пространства, на самом деле зависит только от комбинаторной структуры порождающих векторов. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z+\lambda }$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$

Другое семейство мозаик, связанных с зонотопом, — это зонотопальные мозаики . Коллекция зонотопов является зонотопальной мозаикой , если она является полиэдральным комплексом с носителем , то есть если объединение всех зонотопов в коллекции равно и любые два пересекаются по общей (возможно, пустой) грани каждого. Многие из изображений зоноэдров на этой странице можно рассматривать как зонотопальные мозаики 2-мерного зонотопа, просто рассматривая их как плоские объекты (в отличие от плоских представлений трехмерных объектов). Теорема Боне-Дресса утверждает, что существует биекция между зонотопальными мозаиками зонотопа и одноэлементными подъемами ориентированного матроида, связанного с . ^{[9] [10]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$

Объем

Зоноэдры и n -мерные зонотопы в целом примечательны тем, что допускают простую аналитическую формулу для своего объема. ^[11]

Пусть будет зонотопом, порожденным набором векторов . Тогда n-мерный объем задается выражением ${\displaystyle Z(S)}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$ ${\displaystyle Z(S)}$

${\displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|}$

Определитель в этой формуле имеет смысл, поскольку (как отмечено выше) когда мощность множества равна размерности окружающего пространства, зонотоп является параллелотопом. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Обратите внимание, что когда эта формула просто утверждает, что зонотоп имеет нулевой n-объем. ${\displaystyle k<n}$

Ссылки

1. Эппштейн, Дэвид (1996). «Зоноэдры и зонотопы». Mathematica в образовании и исследованиях . 5 (4): 15–21.
2. Грюнбаум, Бранко (2009). «Каталог симплициальных расположений в реальной проективной плоскости». Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. doi : 10.26493/1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269 . MR  2485643.
3. Шепард, GC (1968). «Двадцать задач о выпуклых многогранниках, часть I». The Mathematical Gazette . 52 (380): 136–156. doi :10.2307/3612678. JSTOR  3612678. MR  0231278. S2CID  250442107.
4. Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (3-е изд.). Метуэн. стр. 258.
5. Акияма, Джин ; Мацунага, Киёко (2015), «15.3 Третья проблема Гильберта и теорема Дена», « Путешествие в интуитивную геометрию» , Springer, Токио, стр. 382–388, doi : 10.1007/978-4-431-55843-9 , ISBN 978-4-431-55841-5, МР  3380801.
6. «Зонохедрификация».
7. Зоноэдрификация , Джордж У. Харт, The Mathematica Journal , 1999, Том: 7, Выпуск: 3, стр. 374-389 [1] [2]
8. МакМаллен, Питер (1975). «Пространственные мозаичные зонотопы». Mathematika . 22 (2): 202–211. doi :10.1112/S0025579300006082.
9. Дж. Боне, Eine kombinatorische Analysis zonotopaler Raumaufteilungen, Dissertation, Bielefeld, 1992; Препринт 92-041, SFB 343, Университет Билефельда, 1992 г., 100 страниц.
10. Рихтер-Геберт, Дж., и Зиглер, GM (1994). Зонотопальные разбиения и теорема Боне-Дресса. Современная математика, 178, 211–211.
11. МакМаллен, Питер (1 мая 1984 г.). «Объемы проекций единичных кубов». Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (3): 278–280. doi :10.1112/blms/16.3.278. ISSN  0024-6093.

• Коксетер, Х. С. М. (1962). «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм». J. Math. Pures Appl . 41 : 137–156. Перепечатано в Coxeter, HS M (1999). Красота геометрии . Mineola, NY: Dover. стр. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
• Федоров Е.С. (1893). «Элементы гештальтенлера». Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie . 21 : 671–694.
• Рольф Шнайдер, Глава 3.5 «Зоноиды и другие классы выпуклых тел» в книге «Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского», Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
• Шепард, GC (1974). «Зонотопы, заполняющие пространство». Mathematika . 21 (2): 261–269. doi :10.1112/S0025579300008652.
• Тейлор, Джин Э. (1992). «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры». American Mathematical Monthly . 99 (2): 108–111. doi :10.2307/2324178. JSTOR  2324178.
• Бек, М.; Робинс, С. (2007). Вычисление непрерывного дискретно . Springer Science+ Business Media, LLC.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Зоноэдр». MathWorld .
• Эппштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: зоноэдры и зонотопы».
• Харт, Джордж У. «Виртуальные многогранники: зоноэдры».
• Вайсштейн, Эрик В. «Первичный параллелоэдр». MathWorld .
• Булатов, Владимир. «Завершение зоноэдрических многогранников».
• Ченторе, Пол. «Глава 2 Геометрии цвета» (PDF) .