В обработке сигналов фильтры сетевого синтеза — это фильтры, разработанные методом сетевого синтеза . Метод породил несколько важных классов фильтров, включая фильтр Баттерворта , фильтр Чебышева и эллиптический фильтр . Первоначально он предназначался для применения при проектировании пассивных линейных аналоговых фильтров, но его результаты также могут быть применены к реализациям в активных фильтрах и цифровых фильтрах . Суть метода заключается в получении значений компонентов фильтра из заданной рациональной функции, представляющей желаемую передаточную функцию .
Метод можно рассматривать как обратную задачу анализа сети . Анализ сети начинается с сети и, применяя различные теоремы электрических цепей, предсказывает реакцию сети. Синтез сети , с другой стороны, начинается с желаемого ответа, и его методы создают сеть, которая выводит этот ответ или приближается к нему. [1]
Синтез сетей изначально предназначался для создания фильтров, которые раньше описывались как волновые фильтры , но теперь обычно называются просто фильтрами. То есть, фильтров, целью которых является пропускание волн определенных частот при отбрасывании волн других частот. Синтез сетей начинается с спецификации передаточной функции фильтра, H(s), как функции комплексной частоты , s. Это используется для генерации выражения для входного импеданса фильтра (импеданса точки возбуждения), который затем, с помощью процесса разложения в непрерывную дробь или частичную дробь , приводит к требуемым значениям компонентов фильтра. В цифровой реализации фильтра, H(s) может быть реализован напрямую. [2]
Преимущества метода лучше всего понять, сравнив его с методологией проектирования фильтров , которая использовалась до него, методом изображений . Метод изображений рассматривает характеристики отдельной секции фильтра в бесконечной цепочке ( лестничная топология ) идентичных секций. Фильтры, созданные этим методом, страдают от неточностей из-за теоретического сопротивления оконечной нагрузки, импеданса изображения , который обычно не равен фактическому сопротивлению оконечной нагрузки. В фильтрах сетевого синтеза окончания включаются в конструкцию с самого начала. Метод изображений также требует определенного опыта со стороны проектировщика. Проектировщик должен сначала решить, сколько секций и какого типа следует использовать, а затем после расчета получить передаточную функцию фильтра. Это может быть не то, что требуется, и может быть несколько итераций. Метод синтеза сети, с другой стороны, начинается с требуемой функции и генерирует в качестве выходных данных секции, необходимые для построения соответствующего фильтра. [2]
В общем случае, секции фильтра сетевого синтеза имеют одинаковую топологию (обычно простейший тип лестничного типа), но в каждой секции используются разные значения компонентов. Напротив, структура фильтра изображения имеет одинаковые значения в каждой секции, как следствие подхода бесконечной цепи, но может изменять топологию от секции к секции для достижения различных желаемых характеристик. Оба метода используют прототипные фильтры нижних частот с последующими частотными преобразованиями и масштабированием импеданса для получения конечного желаемого фильтра. [2]
Класс фильтра относится к классу полиномов, из которых математически выводится фильтр. Порядок фильтра — это количество элементов фильтра, присутствующих в лестничной реализации фильтра. Вообще говоря, чем выше порядок фильтра, тем круче переход отсечки между полосой пропускания и полосой задерживания. Фильтры часто называют в честь математика или математики, на которой они основаны, а не в честь первооткрывателя или изобретателя фильтра.
Фильтры Баттерворта описываются как максимально плоские, что означает, что отклик в частотной области представляет собой максимально гладкую кривую любого класса фильтров эквивалентного порядка. [3]
Фильтр класса Баттерворта был впервые описан в статье 1930 года британским инженером Стивеном Баттервортом, в честь которого он и назван. Отклик фильтра описывается полиномами Баттерворта , также принадлежащими Баттерворту. [4]
Фильтр Чебышева имеет более быстрый переход среза, чем Баттерворт, но за счет наличия ряби в частотной характеристике полосы пропускания. Существует компромисс, который необходимо иметь между максимально допустимым затуханием в полосе пропускания и крутизной характеристики среза. Его также иногда называют фильтром Чебышева типа I, тип 2 — это фильтр без ряби в полосе пропускания, но с рябью в полосе задерживания. Фильтр назван в честь Пафнутия Чебышева, чьи полиномы Чебышева используются при выводе передаточной функции. [3]
Фильтры Кауэра имеют равную максимальную пульсацию в полосе пропускания и полосе задерживания. Фильтр Кауэра имеет более быстрый переход из полосы пропускания в полосу задерживания, чем любой другой класс фильтров сетевого синтеза. Термин фильтр Кауэра может использоваться взаимозаменяемо с эллиптическим фильтром, но общий случай эллиптических фильтров может иметь неравную пульсацию в полосе пропускания и полосе задерживания. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в полосе пропускания идентичен фильтру Чебышева типа 2. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в полосе задерживания идентичен фильтру Чебышева типа 1. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в обеих полосах пропускания идентичен фильтру Баттерворта. Фильтр назван в честь Вильгельма Кауэра , а передаточная функция основана на эллиптических рациональных функциях . [5] Фильтры типа Кауэра используют обобщенные непрерывные дроби . [6] [7] [8]
Фильтр Бесселя имеет максимально плоскую временную задержку ( групповую задержку ) в своей полосе пропускания. Это дает фильтру линейную фазовую характеристику и приводит к тому, что он пропускает формы волн с минимальным искажением. Фильтр Бесселя имеет минимальное искажение во временной области из-за фазовой характеристики с частотой в отличие от фильтра Баттерворта, который имеет минимальное искажение в частотной области из-за характеристики затухания с частотой. Фильтр Бесселя назван в честь Фридриха Бесселя , а передаточная функция основана на полиномах Бесселя . [9]
Импеданс точки возбуждения — это математическое представление входного импеданса фильтра в частотной области с использованием одного из ряда обозначений, таких как преобразование Лапласа (s-область) или преобразование Фурье ( jω-область ). Рассматривая его как однопортовую сеть, выражение расширяется с использованием непрерывных дробных или парциальных дробных расширений. Результирующее расширение преобразуется в сеть (обычно лестничную сеть) электрических элементов. Взятие выхода с конца этой сети, реализованной таким образом, преобразует ее в двухпортовый сетевой фильтр с желаемой передаточной функцией. [1]
Не все возможные математические функции для импеданса точки возбуждения могут быть реализованы с использованием реальных электрических компонентов. Вильгельм Кауэр (продолжающий RM Foster [10] ) проделал большую часть ранней работы о том, какие математические функции могут быть реализованы и в каких топологиях фильтров . Вездесущая лестничная топология проектирования фильтров названа в честь Кауэра. [11]
Существует ряд канонических форм импеданса точки возбуждения, которые могут быть использованы для выражения всех (кроме самых простых) реализуемых импедансов. Наиболее известные из них: [12]
Дальнейшая теоретическая работа по реализуемым фильтрам в терминах заданной рациональной функции в качестве передаточной функции была проделана Отто Бруном в 1931 году [13] и Ричардом Даффином с Раулем Боттом в 1949 году. [ 14] Работа была обобщена в 2010 году Джоном Х. Хаббардом . [15] Когда передаточная функция задана как положительно-действительная функция (набор положительных действительных чисел инвариантен относительно передаточной функции), то сеть пассивных компонентов (резисторов, индукторов и конденсаторов) может быть спроектирована с этой передаточной функцией.
Фильтры-прототипы используются для того, чтобы сделать процесс проектирования фильтра менее трудоемким. Прототип обычно проектируется как фильтр нижних частот с единичным номинальным импедансом и единичной частотой среза , хотя возможны и другие схемы. Полные расчеты конструкции из соответствующих математических функций и полиномов выполняются только один раз. Фактически требуемый фильтр получается в процессе масштабирования и преобразования прототипа. [16]
Значения элементов прототипа публикуются в таблицах, одна из первых из которых принадлежит Сиднею Дарлингтону . [17] Современные вычислительные мощности и практика прямой реализации функций передачи фильтров в цифровой области в значительной степени сделали эту практику устаревшей.
Для каждого порядка фильтра в каждом классе требуется свой прототип. Для тех классов, в которых есть пульсация затухания, для каждого значения пульсации требуется свой прототип. Один и тот же прототип может использоваться для создания фильтров, которые имеют отличную от прототипа форму полосы. Например, фильтры нижних частот , верхних частот , полосовые и режекторные фильтры могут быть созданы из одного и того же прототипа. [18]