Эксцентриситет (математика)

Характеристика конических сечений

Семейство конических сечений с разным эксцентриситетом имеет общую точку фокуса и направляющую линию, включая эллипс (красный, e = 1/2 ), параболу (зеленый, e = 1 ) и гиперболу (синий, e = 2 ). Коника эксцентриситета 0 на этом рисунке представляет собой бесконечно малую окружность с центром в фокусе, а коника эксцентриситета ∞ — бесконечно мало разделенную пару прямых.

Окружность конечного радиуса имеет бесконечно удаленную направляющую, а пара линий конечного разделения имеет бесконечно удаленный фокус.

В математике эксцентриситет конического сечения — это неотрицательное действительное число, однозначно характеризующее его форму .

Эксцентриситет можно рассматривать как меру того, насколько коническое сечение отклоняется от круглого. В частности:

• Эксцентриситет окружности равен 0.
• Эксцентриситет эллипса , не являющегося кругом, находится в диапазоне от 0 до 1.
• Эксцентриситет параболы равен 1.
• Эксцентриситет гиперболы больше 1.
• Эксцентриситет пары прямых равен ${\displaystyle \infty }$

Два конических сечения с одинаковым эксцентриситетом подобны .

Определения

Плоское сечение конуса

Любое коническое сечение можно определить как геометрическое место точек , расстояния до которых до точки (фокуса) и прямой (директрисы) находятся в постоянном соотношении. Это соотношение называется эксцентриситетом, обычно обозначаемым как e .

Эксцентриситет также можно определить как пересечение плоскости и конуса с двойным ворсом , связанного с коническим сечением. Если конус ориентирован своей осью вертикально, эксцентриситет равен ^[1]

${\displaystyle e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,}$

где β — угол между плоскостью и горизонталью, а α — угол между образующей наклона конуса и горизонталью. Для плоского сечения это круг, для параболы. (Плоскость не должна совпадать с вершиной конуса.) ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle \beta =\alpha }$

Полуфокусное расстояние эллипса или гиперболы, обозначаемое c (или иногда f или e ), представляет собой расстояние между его центром и любым из двух его фокусов . Эксцентриситет можно определить как отношение полуфокального расстояния к большой полуоси a : то есть (при отсутствии центра полуфокальное расстояние для парабол не определяется). Стоит отметить, что параболу можно рассматривать как эллипс или гиперболу, но с одним фокусом на бесконечности . ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

Альтернативные названия

В случае эллипсов и гипербол полуфокальное расстояние иногда называют линейным эксцентриситетом .

Обозначения

Обычно используются три соглашения об обозначениях:

1. e для эксцентриситета и c для полуфокального разделения.

Ценности

Здесь для эллипса и гиперболы a — длина большой полуоси, а b — длина малой полуоси.

Когда коническое сечение задано в общей квадратичной форме

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

следующая формула дает эксцентриситет e , если коническое сечение не является параболой (эксцентриситет которой равен 1), не вырожденной гиперболой или вырожденным эллипсом и не воображаемым эллипсом: ^[2]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

где если определитель матрицы 3×3 ${\displaystyle \eta =1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

отрицателен или этот определитель положителен. ${\displaystyle \eta =-1}$

Эллипс и гипербола с постоянным a и изменяющимся эксцентриситетом e .

Эллипсы

Эксцентриситет эллипса строго меньше 1. Когда круги (с эксцентриситетом 0) считаются эллипсами, эксцентриситет эллипса больше или равен 0; если кругам отдать специальную категорию и исключить из категории эллипсов, то эксцентриситет эллипса строго больше 0.

Для любого эллипса пусть a — длина его большой полуоси , а b — длина его малой полуоси . В системе координат с началом координат в центре эллипса и осью x , совмещенной с большой осью, точки эллипса удовлетворяют уравнению

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

с фокусами в координатах для ${\displaystyle (\pm c,0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$

Определим ряд сопутствующих дополнительных понятий (только для эллипсов):

Другие формулы эксцентриситета эллипса

Эксцентриситет эллипса проще всего представляет собой отношение линейного эксцентриситета c (расстояния между центром эллипса и каждым фокусом) к длине большой полуоси a .

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$

Эксцентриситет - это также отношение большой полуоси a к расстоянию d от центра до направляющей:

${\displaystyle e={\frac {a}{d}}.}$

Эксцентриситет можно выразить через уплощение f ( определяемое как для большой полуоси a и малой полуоси b ): ${\displaystyle f=1-b/a}$

${\displaystyle e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.}$

(В некоторых предметных областях сплющивание может обозначаться буквой g , если f — линейный эксцентриситет.)

Определите максимальный и минимальный радиусы, а также максимальное и минимальное расстояния от любого фокуса до эллипса (то есть расстояния от любого фокуса до двух концов главной оси). Тогда с большой полуосью a эксцентриситет определяется выражением ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},}$

которое представляет собой расстояние между фокусами, деленное на длину большой оси.

Гиперболы

Эксцентриситет гиперболы может быть любым действительным числом больше 1, без верхней границы. Эксцентриситет прямоугольной гиперболы равен . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Квадрика

Эллипсы, гиперболы со всеми возможными эксцентриситетами от нуля до бесконечности и парабола на одной кубической поверхности.

Эксцентриситет трехмерной квадрики — это эксцентриситет обозначенного ее участка . Например, на трехосном эллипсоиде меридиональный эксцентриситет — это эксцентриситет эллипса, образованного секцией, содержащей как самую длинную, так и самую короткую оси (одна из которых будет полярной осью), а экваториальный эксцентриситет — это эксцентриситет образованного эллипса. разрезом через центр, перпендикулярно полярной оси (т.е. в экваториальной плоскости). Но: конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. изображение).

Небесная механика

В небесной механике для связанных орбит в сферическом потенциале приведенное выше определение является неформальным обобщением. Когда расстояние апоцентра близко к расстоянию перицентра , говорят, что орбита имеет низкий эксцентриситет; когда они сильно различаются, говорят, что орбита эксцентрична или имеет эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета эллипсов в кеплеровском языке, т. е. потенциалами. ${\displaystyle 1/r}$

Аналогичные классификации

В ряде классификаций в математике используется терминология, производная от классификации конических сечений по эксцентриситету:

• Классификация элементов SL 2 ₍ R) на эллиптические, параболические и гиперболические – и аналогично для классификации элементов PSL ₂ (R) вещественных преобразований Мёбиуса .
• Классификация дискретных распределений по отношению дисперсии к среднему ; подробности см. в кумулянтах некоторых дискретных распределений вероятностей .
• Классификация уравнений в частных производных проводится по аналогии с классификацией конических сечений; см. эллиптические , параболические и гиперболические уравнения в частных производных. ^[3]

Смотрите также

• Кеплер орбиты
• Вектор эксцентриситета
• Эксцентриситет орбиты
• Округлость (объект)
• Коническая постоянная

Рекомендации

1. Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.), Аддисон-Уэсли, с. 434. ISBN  0-201-07540-7.
2. Аюб, Аюб Б., «Эксцентриситет конического сечения», The College Mathematics Journal 34 (2), март 2003 г., 116–121.
3. «Классификация линейных УЧП с двумя независимыми переменными» . Проверено 2 июля 2013 г.

Внешние ссылки

• MathWorld: Эксцентриситет