В математике пустое множество — это уникальное множество , не содержащее элементов ; его размер или мощность (количество элементов в наборе) равны нулю . [1] Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют, что пустое множество существует, включая аксиому пустого множества , в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства множеств бессмысленно верны для пустого множества.
Любое множество, кроме пустого, называется непустым.
В некоторых учебниках и популяризациях пустой набор называется «нулевым набором». [1] Однако нулевое множество — это отдельное понятие в контексте теории меры , в которой оно описывает множество нулевой меры (которое не обязательно пусто).
Общие обозначения пустого набора включают «{ }», « » и «∅». Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем ) в 1939 году по мотивам буквы Ø в датском и норвежском алфавитах. [2] В прошлом «0» (цифра ноль ) иногда использовалась как символ пустого множества, но теперь это считается неправильным использованием обозначения. [3]
Символ ∅ доступен в точке Юникода U+2205. [4] Его можно закодировать в HTML как ∅
и как ∅
. Его можно закодировать в LaTeX как \varnothing
. Символ кодируется в LaTeX как .\emptyset
При написании на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквой Ø (как при использовании этого символа в лингвистике), вместо него можно использовать символ Юникода U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰. [5]
В стандартной аксиоматической теории множеств по принципу экстенсиональности два множества равны, если они имеют одинаковые элементы (то есть ни в одном из них нет элемента, которого нет в другом). В результате может быть только один набор без элементов, поэтому используется термин «пустой набор», а не «пустой набор».
Единственное подмножество пустого множества — это само пустое множество; эквивалентно, набор мощности пустого набора - это набор, содержащий только пустой набор. Число элементов пустого множества (т. е. его мощность ) равно нулю. Пустой набор — единственный набор, обладающий любым из этих свойств.
Для любого набора А :
Для любого свойства P :
И наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого множества V справедливы следующие два утверждения:
затем
По определению подмножества пустое множество является подмножеством любого множества A. То есть каждый элемент x принадлежит A . Действительно, если бы не было верно, что каждый элемент находится в A , то существовал бы хотя бы один элемент, которого нет в A. Поскольку элементов a вообще нет , нет элемента a, которого не было бы в A. Любое утверждение, начинающееся со слов «для каждого элемента », не является каким-либо существенным утверждением; это пустая истина . Это часто перефразируют как «все верно для элементов пустого множества».
В обычном теоретико-множественном определении натуральных чисел ноль моделируется пустым множеством.
Говоря о сумме элементов конечного множества, неизбежно приходим к соглашению, что сумма элементов пустого множества равна нулю. Причина этого в том, что нуль является единичным элементом сложения. Аналогично, произведение элементов пустого множества следует считать равным единице (см. пустое произведение ), поскольку единица является единичным элементом для умножения. [ нужна цитата ]
Расстройство — это перестановка множества без неподвижных точек . Пустое множество можно рассматривать как нарушение само по себе, потому что оно имеет только одну перестановку ( ), и совершенно верно, что не может быть найден ни один элемент (пустого набора), который сохранял бы свое исходное положение.
Поскольку пустое множество не имеет члена, когда оно рассматривается как подмножество любого упорядоченного набора , каждый член этого набора будет верхней и нижней границей пустого набора. Например, если рассматривать его как подмножество действительных чисел с его обычным порядком, представленным линией действительных чисел , каждое действительное число является одновременно верхней и нижней границей пустого набора. [6] Если рассматривать его как подмножество расширенных действительных чисел , образованное добавлением двух «числ» или «точек» к действительным числам (а именно, отрицательной бесконечности , определяемой как меньше любого другого расширенного действительного числа, и положительной бесконечности , (обозначается как большее, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем следующее:
То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого набора — это отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) — положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных действительных чисел отрицательная бесконечность является единицей для операторов максимума и верхней границы, а положительная бесконечность является единицей для операторов минимума и нижней границы.
В любом топологическом пространстве X пустое множество открыто по определению, как и X . Поскольку дополнение открытого множества закрыто , а пустое множество и X являются дополнениями друг друга, пустое множество также закрыто, что делает его открыто-закрытым множеством . Более того, пустое множество компактно в силу того, что каждое конечное множество компактно.
Замыкание пустого множества пусто . Это известно как «сохранение нулевых союзов ».
Если множество, то существует ровно одна функция от до пустой функции . В результате пустое множество является единственным исходным объектом категории множеств и функций .
Пустое множество можно превратить в топологическое пространство , называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустое множество как открытое . Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями . Фактически, это строгий исходный объект : только пустое множество имеет функцию для пустого множества.
В конструкции фон Неймана ординалов 0 определяется как пустое множество, а последующий ординал определяется как . Таким образом, мы имеем , , , и так далее. Конструкция фон Неймана вместе с аксиомой бесконечности , которая гарантирует существование хотя бы одного бесконечного множества, может использоваться для построения набора натуральных чисел , такого, что аксиомы арифметики Пеано удовлетворяются.
В контексте наборов действительных чисел Кантор имел обыкновение обозначать « не содержит ни одной точки». Это обозначение использовалось в определениях, например, Кантор определил два множества как непересекающиеся, если в их пересечении нет точек, однако остается спорным, рассматривал ли Кантор как существующее множество само по себе или Кантор просто использовал его как предикат пустоты. Цермело воспринимал себя как набор, но считал его «неподходящим набором». [7]
В теории множеств Цермело существование пустого множества обеспечивается аксиомой пустого множества , а его единственность следует из аксиомы экстенсиональности . Однако аксиому пустого множества можно показать избыточной как минимум двумя способами:
Хотя пустое множество является стандартной и широко распространенной математической концепцией, оно остается онтологической диковинкой, значение и полезность которой обсуждаются философами и логиками.
Пустое множество — это не то же самое, что ничто ; скорее, это набор, внутри которого нет ничего , а набор — это всегда что-то . Эту проблему можно решить, рассматривая набор как сумку — пустая сумка, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустое множество — это не ничто, а скорее «набор всех треугольников с четырьмя сторонами, набор всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и набор всех дебютных ходов в шахматах , которые привлечь короля ». [8]
Популярный силлогизм
часто используется для демонстрации философской связи между концепцией ничего и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Нет ничего лучше, чем вечное счастье» и «Сэндвич с ветчиной лучше, чем ничего» в математическом тоне. По словам Дарлинга, первое эквивалентно «Набору всех вещей, которые лучше, чем вечное счастье », а второе — «Набор {сэндвич с ветчиной} лучше, чем набор ». Первый сравнивает элементы множеств, а второй сравнивает сами множества. [8]
Джонатан Лоу утверждает, что, хотя пустое множество
также имеет место следующее:
Джордж Булос утверждал, что многое из того, что до сих пор было получено с помощью теории множеств, может быть так же легко получено путем количественной оценки множественного числа индивидов, без материализации множеств как единичных сущностей, имеющих другие сущности в качестве членов. [10]