Эпиграф (математика)

Область над графиком

Эпиграф функции

Функция (черный цвет) является выпуклой тогда и только тогда, когда область над ее графиком (зеленый цвет) представляет собой выпуклое множество . Эта область является эпиграфом функции.

В математике эпиграф или суперграф ^[1] функции, оцениваемой в расширенных действительных числах, представляет собой набор , состоящий из всех точек декартова произведения , лежащих на графике функции или над ним . ^[2] Аналогично, строгий эпиграф — это множество точек, лежащих строго над его графиком. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

Важно отметить, что в отличие от графа эпиграф всегда полностью состоит из точек (это справедливо для графа только тогда, когда он действительнозначен). Если функция принимает значение, то она не будет подмножеством своего надграфика Например, если тогда точка будет принадлежать , но не принадлежать Эти два множества, тем не менее, тесно связаны, поскольку график всегда можно восстановить по надграфику, и наоборот . ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ ${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$

Изучение непрерывных вещественных функций в реальном анализе традиционно было тесно связано с изучением их графиков , которые представляют собой множества, предоставляющие геометрическую информацию (и интуицию) об этих функциях. ^[2] Эпиграфы служат той же цели в областях выпуклого анализа и вариационного анализа , в которых основное внимание уделяется выпуклым функциям со значениями вместо непрерывных функций со значениями в векторном пространстве (таких как или ). ^[2] Это связано с тем, что в целом для таких функций геометрическую интуицию легче получить из надграфика функции, чем из ее графика. ^[2] Подобно тому, как графики используются в реальном анализе, эпиграф часто может использоваться для геометрической интерпретации свойств выпуклой функции , для помощи в формулировке или доказательстве гипотез или для помощи в построении контрпримеров . ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Определение

Определение эпиграфа было вдохновлено определением графика функции , гдеграфик определяетсякак множество ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.}$$

The эпиграф илиСуперграфом функции , имеющей значение врасширенных действительных числах,является множество^[2], в котором все множества, объединяемые в последней строке, попарно не пересекаются. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}}$$

В объединении over , которое появляется выше в правой части последней строки, набор можно интерпретировать как «вертикальный луч», состоящий из всех точек «непосредственно над ним». Аналогично, множество точек на графике функции или под ней — это ее ${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$гипограф .

The строгий эпиграф — это эпиграф с удаленным графом: где все множества, объединяемые в последней строке, попарно не пересекаются, а некоторые могут быть пустыми. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}}$$

Отношения с другими наборами

Несмотря на то, что в качестве значения может приниматься одно (или оба) из (в этом случае его график не будет подмножеством ), эпиграф, тем не менее, определяется как подмножество, а не из. Это сделано намеренно, потому что когда является векторное пространство тогда таковым является, но никогда не является векторным пространством ^[2] (поскольку расширенная линия действительных чисел не является векторным пространством). Этот недостаток сохраняется, даже если он не является векторным пространством, а является просто непустым подмножеством некоторого векторного пространства. Эпиграф, являющийся подмножеством векторного пространства, позволяет более легко применять инструменты, связанные с реальным анализом и функциональным анализом (и другими областями). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X}$

Область определения (а не кодомен ) функции не особенно важна для этого определения; это может быть любое линейное пространство ^[1] или даже произвольное множество ^[3] вместо . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Строгий эпиграф и график всегда не пересекаются. ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$

Надграфик функции связан с ее графиком и строгим надграфиком тем, что равенство множеств выполняется тогда и только тогда, когда оно действительно. Однако всегда держится. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]}$$

Реконструкция функций по эпиграфам

Эпиграф пуст тогда и только тогда, когда функция тождественно равна бесконечности.

Как любую функцию можно восстановить по ее графику, так и любую расширенную вещественную функцию можно восстановить по ее надграфику (даже если она принимает значение). Данное значение можно восстановить по пересечению с проходящей «вертикальной линией» следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• случай 1: тогда и только тогда, когда ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing }$ ${\displaystyle f(x)=\infty ,}$
• случай 2: тогда и только тогда, когда ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=-\infty ,}$
• случай 3: в противном случае обязательно имеет форму , из которой значение можно получить, взяв нижнюю границу интервала. ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$ ${\displaystyle f(x)}$

Приведенные выше наблюдения можно объединить, чтобы дать единую формулу для В частности, для любого места, где по определению. Эту же формулу можно также использовать для восстановления на основе строгого эпиграфа. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}}$$ ${\displaystyle \inf _{}\varnothing :=\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} _{S}f.}$

Связь между свойствами функций и их надграфиками

Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда ее надграфик является выпуклым множеством . Эпиграфом вещественной аффинной функции является полупространство в ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ее надграфик замкнут .

Смотрите также

• Эффективный домен
• Гипограф (математика)  - Область под графиком.
• Правильная выпуклая функция

Цитаты

1. Пекка Нейттаанмяки; Сергей Репин (2004). Надежные методы компьютерного моделирования: контроль ошибок и апостериорные оценки. Эльзевир. п. 81. ИСБН 978-0-08-054050-4.
2. Rockafellar & Wets 2009, стр. 1–37.
3. Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2007). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для путешественника (3-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 8. ISBN 978-3-540-32696-0.

Рекомендации

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. ОСЛК  883392544.
• Рокафеллар, Ральф Тайрелл (1996), Выпуклый анализ , Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси. ISBN 0-691-01586-4 .