Размерность схемы

В алгебраической геометрии размерность схемы является обобщением размерности алгебраического многообразия . Теория схем подчеркивает относительную точку зрения и, соответственно, относительная размерность морфизма схем также важна.

Определение

По определению, размерность схемы X — это размерность базового топологического пространства: супремум длин ℓ цепей неприводимых замкнутых подмножеств:

${\displaystyle \emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}$^[1]

В частности, если — аффинная схема, то такие цепи соответствуют цепям простых идеалов (включение обращено) , и поэтому размерность X — это в точности размерность Крулля A. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$

Если Y — неприводимое замкнутое подмножество схемы X , то коразмерность Y в X является супремумом длин ℓ цепей неприводимых замкнутых подмножеств:

${\displaystyle Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}$^[2]

Неприводимое подмножество X является неприводимым компонентом X тогда и только тогда, когда его коразмерность в X равна нулю. Если является аффинным, то коразмерность Y в X в точности равна высоте простого идеала, определяющего Y в X. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$

Примеры

• Если конечномерное векторное пространство V над полем рассматривать как схему над полем, ^{[примечание 1]} то размерность схемы V совпадает с размерностью векторного пространства V .
• Пусть , k — поле. Тогда оно имеет размерность 2 (так как содержит гиперплоскость как неприводимую компоненту). Если x — замкнутая точка X , то равно 2, если x лежит в H , и равно 1, если она лежит в . Таким образом, для замкнутых точек x может меняться. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,xz)}$ ${\displaystyle H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}$ ${\displaystyle X-H}$ ${\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}$
• Пусть — алгебраическое предмногообразие; т.е. интегральная схема конечного типа над полем . Тогда размерность — это степень трансцендентности поля функций над . ^[3] Кроме того , если — непустое открытое подмножество , то . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim U=\dim X}$
• Пусть R — дискретное нормирующее кольцо и аффинная прямая над ним. Пусть — проекция. состоит из 2 точек, соответствующих максимальному идеалу и замкнутому и нулевому идеалу и открытому. Тогда слои замкнуты и открыты соответственно. Заметим, что имеет размерность один, ^{[примечание 2],} тогда как имеет размерность и плотно в . Таким образом, размерность замыкания открытого подмножества может быть строго больше размерности открытого множества. ${\displaystyle X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$ ${\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2=1+\dim R}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}$ ${\displaystyle X}$
• Продолжая тот же пример, пусть будет максимальным идеалом R и генератором. Заметим, что имеет максимальные идеалы высоты два и высоты один; а именно, и ядро ​​. Первый идеал является максимальным, так как поле дробей R . Также имеет высоту один по теореме Крулля о главном идеале и имеет высоту два, так как . Следовательно, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle \omega _{R}}$ ${\displaystyle R[t]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}=}$ ${\displaystyle R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{1},X)=1,\,\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{2},X)=2,}$

в то время как X неприводим.

Равноразмерная схема

Равноразмерная схема (или чисто размерная схема ) — это схема , все неприводимые компоненты которой имеют одинаковую размерность (подразумевается, что все размерности хорошо определены).

Примеры

Все неприводимые схемы равноразмерны. ^[5]

В аффинном пространстве объединение прямой и точки, не лежащей на прямой, не равноразмерно. В общем случае, если две замкнутые подсхемы некоторой схемы, ни одна из которых не содержит другую, имеют неравные размерности, то их объединение не равноразмерно.

Если схема является гладкой (например, этальной ) над Spec  k для некоторого поля  k , то каждая связная компонента (которая тогда фактически является неприводимой компонентой) является равноразмерной.

Относительное измерение

Пусть будет локально конечным типом морфизма между двумя схемами и . Относительная размерность в точке — это размерность волокна . Если все непустые волокна [ ^{требуется разъяснение ]} имеют чисто одинаковую размерность , то говорят, что имеет относительную размерность . ^[6] ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Теорема Клеймана
• Глоссарий теории схем
• Равноразмерное кольцо

Примечания

1. Спецификация симметричной алгебры двойственного векторного пространства V — это структура схемы на . ${\displaystyle V}$
2. Фактически, по определению, является волокнистым произведением и , следовательно, является спецификацией . ${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}$ ${\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {Spec} (k(\eta ))\to \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]}$

1. Hartshorne 1977, Ch. I, сразу после следствия 1.6.
2. Hartshorne 1977, Ch. II, сразу после примера 3.2.6.
3. Хартсхорн 1977, Гл. II, Упражнение 3.20. (б)
4. Хартсхорн 1977, Гл. II, Упражнение 3.20. (e)
5. Дандас, Бьорн Ян; Ярен, Бьёрн; Левин, Марк; Оствар, Пенсильвания; Рёндигс, Оливер; Воеводский, Владимир (2007), Теория мотивационной гомотопии: лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, август 2002 г., Springer, стр. 101, ISBN 9783540458975.
6. Адиль, Ахмед Кан (март 2013 г.). «Относительное измерение в Ncatlab». Ncatlab . Получено 8 июня 2022 г. .

Ссылки

• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. Фолге. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks. «28 свойств схем/28.10 измерений».
• Авторы проекта Stacks. «29.29 Морфизмы заданной относительной размерности».