Схема (математика)

Обобщение алгебраического многообразия

В математике , в частности в алгебраической геометрии , схема — это структура , которая расширяет понятие алгебраического многообразия несколькими способами, например, принимая во внимание кратности (уравнения x = 0 и x ² = 0 определяют одно и то же алгебраическое многообразие, но разные схемы) и допуская «многообразия», определенные над любым коммутативным кольцом (например, кривые Ферма определены над целыми числами ).

Теория схем была введена Александром Гротендиком в 1960 году в его трактате «Элементы алгебраической геометрии» (EGA); одной из его целей была разработка формализма, необходимого для решения глубоких проблем алгебраической геометрии , таких как гипотезы Вейля (последняя из которых была доказана Пьером Делинем ). ^[1] Теория схем, прочно основанная на коммутативной алгебре , позволяет систематически использовать методы топологии и гомологической алгебры . Теория схем также объединяет алгебраическую геометрию с большей частью теории чисел , что в конечном итоге привело к доказательству Уайлсом Великой теоремы Ферма .

Схемы развивают фундаментальную идею о том, что алгебраическое многообразие лучше всего анализируется через координатное кольцо регулярных алгебраических функций, определенных на нем (или на его подмножествах), и каждое подмногообразие соответствует идеалу функций , которые обращаются в нуль на подмногообразии. Интуитивно схема представляет собой топологическое пространство, состоящее из замкнутых точек, которые соответствуют геометрическим точкам, вместе с незамкнутыми точками, которые являются общими точками неприводимых подмногообразий. Пространство покрыто атласом открытых множеств, каждое из которых снабжено координатным кольцом регулярных функций, с указанными изменениями координат между функциями над пересекающимися открытыми множествами. Такая структура называется окольцованным пространством или пучком колец. Основной интерес представляют случаи нётеровых схем , в которых координатные кольца являются нётеровыми кольцами .

Формально схема — это окольцованное пространство, покрытое аффинными схемами. Аффинная схема — это спектр коммутативного кольца; ее точки — это простые идеалы кольца, а ее замкнутые точки — максимальные идеалы . Координатное кольцо аффинной схемы — это само кольцо, а координатные кольца открытых подмножеств — это кольца дробей .

Относительная точка зрения заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма X → Y схем (называемого схемой X над базой Y ), а не для отдельной схемы. Например, при изучении алгебраических поверхностей может быть полезно рассматривать семейства алгебраических поверхностей над любой схемой Y . Во многих случаях семейство всех многообразий данного типа само может рассматриваться как многообразие или схема, известная как пространство модулей .

Некоторые подробные определения теории схем см. в глоссарии теории схем .

Разработка

Истоки алгебраической геометрии в основном лежат в изучении полиномиальных уравнений над действительными числами . К 19 веку стало ясно (особенно в работах Жана-Виктора Понселе и Бернхарда Римана ), что алгебраическая геометрия над действительными числами упрощается при работе над полем комплексных чисел , которое имеет то преимущество, что оно алгебраически замкнуто . ^[2] В начале 20 века появились аналогии между алгебраической геометрией и теорией чисел, что наводит на мысль о следующем: может ли алгебраическая геометрия развиваться над другими областями, такими как области с положительной характеристикой , и, в более общем плане, над числовыми кольцами , такими как целые числа, где инструменты топологии и комплексного анализа, используемые для изучения комплексных многообразий, по-видимому, неприменимы.

Nullstellensatz Гильберта предлагает подход к алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем k : максимальные идеалы в кольце многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ] находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством k ⁿ из n -кортежей элементов k , а простые идеалы соответствуют неприводимым алгебраическим множествам в k ⁿ , известным как аффинные многообразия. Мотивированные этими идеями, Эмми Нётер и Вольфганг Крулль разработали коммутативную алгебру в 1920-х и 1930-х годах. ^[3] Их работа обобщает алгебраическую геометрию в чисто алгебраическом направлении, обобщая изучение точек (максимальных идеалов в кольце многочленов) на изучение простых идеалов в любом коммутативном кольце. Например, Крулль определил размерность коммутативного кольца в терминах простых идеалов и, по крайней мере, когда кольцо является нётеровым , он доказал, что это определение удовлетворяет многим интуитивным свойствам геометрической размерности.

Коммутативную алгебру Нётер и Крулля можно рассматривать как алгебраический подход к аффинным алгебраическим многообразиям. Однако многие аргументы в алгебраической геометрии лучше работают для проективных многообразий , в основном потому, что они компактны . С 1920-х по 1940-е годы Б. Л. ван дер Варден , Андре Вейль и Оскар Зарисский применяли коммутативную алгебру в качестве новой основы для алгебраической геометрии в более богатой обстановке проективных (или квазипроективных ) многообразий. ^[4] В частности, топология Зарисского является полезной топологией на многообразии над любым алгебраически замкнутым полем, заменяя в некоторой степени классическую топологию на комплексном многообразии (основанную на метрической топологии комплексных чисел).

Для приложений к теории чисел ван дер Варден и Вейль сформулировали алгебраическую геометрию над любым полем, не обязательно алгебраически замкнутым. Вейль был первым, кто определил абстрактное многообразие (не вложенное в проективное пространство ), склеивая аффинные многообразия вдоль открытых подмножеств, по модели абстрактных многообразий в топологии. Эта общность была ему нужна для построения многообразия Якоби кривой над любым полем. (Позже Вейль, Чоу и Мацусака показали, что якобианы являются проективными многообразиями .)

Алгебраические геометры итальянской школы часто использовали несколько туманное понятие общей точки алгебраического многообразия. То, что верно для общей точки, верно и для «большинства» точек многообразия. В « Основах алгебраической геометрии» Вейля (1946) общие точки строятся путем взятия точек в очень большом алгебраически замкнутом поле, называемом универсальной областью . ^[4] Это работало неловко: для одного и того же многообразия было много различных общих точек. (В более поздней теории схем каждое алгебраическое многообразие имеет одну общую точку.)

В 1950-х годах Клод Шевалле , Масаёси Нагата и Жан-Пьер Серр , мотивированные отчасти гипотезами Вейля, связывающими теорию чисел и алгебраическую геометрию, еще больше расширили объекты алгебраической геометрии, например, обобщив допустимые базовые кольца. Слово схема впервые было использовано на семинаре Шевалле 1956 года, на котором Шевалле развивал идеи Зарисского. ^[5] По словам Пьера Картье , именно Андре Мартино подсказал Серру возможность использования спектра произвольного коммутативного кольца в качестве основы для алгебраической геометрии. ^[6]

Происхождение схем

Теория приняла свою окончательную форму в «Элементах алгебры геометрии» (EGA) Гротендика и более позднем «Семинаре алгебры геометрии» (SGA), положив конец поколению экспериментальных предположений и частичных разработок. ^[7] Гротендик определил спектр X коммутативного кольца R как пространство простых идеалов R с естественной топологией (известной как топология Зарисского), но дополнил его пучком колец : каждому открытому подмножеству U он назначил коммутативное кольцо O _X ( U ), которое можно рассматривать как координатное кольцо регулярных функций на U . Эти объекты Spec( R ) являются аффинными схемами; общая схема затем получается путем «склеивания» аффинных схем.

Большая часть алгебраической геометрии фокусируется на проективных или квазипроективных многообразиях над полем k, чаще всего над комплексными числами. Гротендик разработал большой корпус теории для произвольных схем, расширяющий большую часть геометрической интуиции для многообразий. Например, обычно сначала строят модульное пространство как схему, и только потом изучают, является ли оно более конкретным объектом, таким как проективное многообразие. Применение теории Гротендика к схемам над целыми числами и другими числовыми полями привело к мощным новым перспективам в теории чисел.

Определение

Аффинная схема — это локально окольцованное пространство, изоморфное спектру Spec ( R ) коммутативного кольца R . Схема — это локально окольцованное пространство X , допускающее покрытие открытыми множествами U _i , такое, что каждое U _i (как локально окольцованное пространство) является аффинной схемой. ^[8] В частности, X поставляется с пучком O _X , который назначает каждому открытому подмножеству U коммутативное кольцо O _X ( U ), называемое кольцом регулярных функций на U . Можно думать о схеме как о покрытой «координатными картами», которые являются аффинными схемами. Определение означает в точности, что схемы получаются путем склеивания аффинных схем с использованием топологии Зарисского.

В ранние дни это называлось предсхемой , а схема определялась как отделенная предсхема. Термин предсхема вышел из употребления, но его все еще можно найти в старых книгах, таких как «Элементы алгебраической геометрии» Гротендика и «Красная книга» Мамфорда. [ ^9] Свойства пучка O _X ( U ) означают, что его элементы , которые не обязательно являются функциями, тем не менее не могут быть склеены из их ограничений таким же образом, как функции.

Базовым примером аффинной схемы является аффинное n -пространство над полем k для натурального числа n . По определению, A^н
_к— спектр кольца многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ]. В духе теории схем аффинное n -пространство на самом деле может быть определено над любым коммутативным кольцом R , что означает Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]).

Категория схем

Схемы образуют категорию , морфизмы которой определяются как морфизмы локально окольцованных пространств. (См. также: морфизм схем .) Для схемы Y схема X над Y (или Y - схема ) означает морфизм X → Y схем. Схема X над коммутативным кольцом R означает морфизм X → Spec( R ).

Алгебраическое многообразие над полем k можно определить как схему над k с определенными свойствами. Существуют различные соглашения о том, какие именно схемы следует называть многообразиями. Один стандартный выбор заключается в том, что многообразие над k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k . ^[10]

Морфизм f : X → Y схем определяет гомоморфизм обратного протягивания на кольцах регулярных функций, f *: O ( Y ) → O ( X ). В случае аффинных схем эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между морфизмами Spec( A ) → Spec( B ) схем и гомоморфизмами колец B → A . ^[11] В этом смысле теория схем полностью включает в себя теорию коммутативных колец.

Поскольку Z является начальным объектом в категории коммутативных колец , категория схем имеет Spec( Z ) в качестве конечного объекта .

Для схемы X над коммутативным кольцом R R - точка X означает сечение морфизма X → Spec( R ). Записывают X ( R ) для множества R -точек X . В примерах это определение восстанавливает старое понятие множества решений определяющих уравнений X со значениями в R . Когда R — поле k , X ( k ) также называется множеством k - рациональных точек X .

В более общем смысле, для схемы X над коммутативным кольцом R и любой коммутативной R - алгебры S , S - точка X означает морфизм Spec( S ) → X над R . Записывают X ( S ) для множества S -точек X . (Это обобщает старое наблюдение, что если даны некоторые уравнения над полем k , можно рассмотреть множество решений уравнений в любом расширении поля E поля k .) Для схемы X над R назначение S ↦ X ( S ) является функтором из коммутативных R -алгебр в множества. Важным наблюдением является то, что схема X над R определяется этим функтором точек . ^[12]

Послойное произведение схем всегда существует. То есть, для любых схем X и Z с морфизмами в схему Y категориальное послойное произведение существует в категории схем. Если X и Z являются схемами над полем k , их послойное произведение над Spec( k ) можно назвать произведением X × Z в категории k -схем. Например, произведение аффинных пространств и над k является аффинным пространством над k . ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}$

Поскольку категория схем имеет волоконные продукты, а также конечный объект Spec( Z ), она имеет все конечные пределы .

Примеры

Здесь и далее все рассматриваемые кольца коммутативны.

Аффинное пространство

Пусть — алгебраически замкнутое поле. Аффинное пространство — это алгебраическое многообразие всех точек с координатами в ; его координатное кольцо — это кольцо многочленов . Соответствующая схема — это топологическое пространство с топологией Зарисского, замкнутые точки которого — это максимальные идеалы , множество многочленов, обращающихся в нуль в . Схема также содержит незамкнутую точку для каждого немаксимального простого идеала , обращение в нуль которого определяет неприводимое подмногообразие ; топологическое замыкание точки схемы — это подсхема , включающая все замкнутые точки подмногообразия, т. е. с , или, что эквивалентно . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\bar {X}}=\mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ${\displaystyle {\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subset {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle a\in {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}_{a}}$

Схема имеет основу из открытых подмножеств, заданных дополнениями гиперповерхностей, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{f}=X\smallsetminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}}$

для неприводимых многочленов . Этот набор наделен своим координатным кольцом регулярных функций ${\displaystyle f\in R}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{for}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}}$.

Это индуцирует уникальный пучок , который дает обычное кольцо рациональных функций, регулярных на данном открытом множестве . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U}$

Каждый элемент кольца , полиномиальная функция на , также определяет функцию на точках схемы , значение которой в лежит в фактор-кольце , кольце вычетов . Мы определяем как образ под естественным отображением . Максимальный идеал дает поле вычетов , с естественным изоморфизмом , так что соответствует исходному значению . ${\displaystyle r=r(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R\to R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k}$ ${\displaystyle x_{i}\mapsto a_{i}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}}_{a})}$ ${\displaystyle r(a)}$

Исчезающее множество многочлена — это подмногообразие гиперповерхности , соответствующее главному идеалу . Соответствующая схема — это замкнутая подсхема аффинного пространства. Например, принимая в качестве комплексных или действительных чисел, уравнение определяет узловую кубическую кривую в аффинной плоскости , соответствующую схеме . ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\bar {V}}(f)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle (f)\subset R}$ ${\textstyle V(f)=\operatorname {Spec} (R/(f))}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x^{2}=y^{2}(y+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))}$

Спецификация целых чисел

Кольцо целых чисел можно рассматривать как координатное кольцо схемы . Топология Зарисского имеет замкнутые точки , главные идеалы простых чисел ; а также общую точку , нулевой идеал, замыкание которого является всей схемой . Замкнутые множества являются конечными множествами, а открытые множества являются их дополнениями, коконечными множествами; любое бесконечное множество точек является плотным. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}=(p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}=(0)}$

Базисное открытое множество, соответствующее неприводимому элементу, есть , с координатным кольцом . Для открытого множества это индуцирует . ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}}$ ${\displaystyle U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]}$

Число соответствует функции на схеме , функции, значение которой в лежит в поле вычетов , конечном поле целых чисел по модулю : функция определяется как , а также в общем кольце вычетов . Функция определяется своими значениями только в точках , поэтому мы можем рассматривать ее как своего рода «регулярную функцию» в замкнутых точках, очень специальный тип среди произвольных функций с . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p}$ ${\displaystyle n({\mathfrak {p}}_{0})=n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}}$

Обратите внимание, что точка является локусом сходимости функции , точкой, где значение равно нулю в поле вычетов. Поле "рациональных функций" на является полем дробей общего кольца вычетов, . Дробь имеет "полюса" в точках, соответствующих простым делителям знаменателя. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle n=p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$

Это также дает геометрическую интерпретацию леммы Безу, утверждающей, что если целые числа не имеют общего простого множителя, то существуют целые числа с . Геометрически это версия слабого предложения Гильберта о нулях для схемы : если функции не имеют общих точек схода в , то они порождают единичный идеал в координатном кольце . Действительно, мы можем рассматривать члены как образующие своего рода разбиение единицы, подчиненное покрытию открытыми множествами . ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$ ${\displaystyle a_{1}n_{1}+\cdots +a_{r}n_{r}=1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (n_{1},\ldots ,n_{r})=(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}n_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U_{i}=Z\smallsetminus V(n_{i})}$

Аффинная прямая над целыми числами

Аффинное пространство — это многообразие с координатным кольцом , многочлены с целыми коэффициентами. Соответствующая схема — , точками которой являются все простые идеалы . Замкнутые точки — это максимальные идеалы вида , где — простое число, а — непостоянный многочлен без целого множителя, неприводимый по модулю . Таким образом, мы можем представить как двумерное, с «характеристическим направлением», измеряемым координатой , и «пространственным направлением» с координатой . ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{for}}\ a\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

Заданное простое число определяет "вертикальную линию", подсхему простого идеала : она содержит для всех , "характеристические точки" схемы. Фиксируя -координату, мы имеем "горизонтальную линию" , подсхему простого идеала . Мы также имеем линию, соответствующую рациональной координате , которая не пересекается для тех, которые делят . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle V(x-a)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x-a)}$ ${\displaystyle V(bx-a)}$ ${\displaystyle x=a/b}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

Более высокая степень «горизонтальной» подсхемы, например, соответствует -значениям, которые являются корнями , а именно . Это ведет себя по-разному при разных -координатах. В мы получаем две точки , так как . В мы получаем одну разветвленную двойную точку , так как . И в мы получаем, что является простым идеалом, соответствующим в поле расширения ; поскольку мы не можем различить эти значения (они симметричны относительно группы Галуа ), мы должны изобразить как две слитые точки. В целом, является своего рода слиянием двух Галуа-симметричных горизонтальных линий, кривой степени 2. ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5}$ ${\displaystyle (5,x^{2}+1)=(5,x-2)\cap (5,x+2)}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x=1\ {\text{mod}}\ 2}$ ${\displaystyle (2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle V(3,x^{2}+1)}$ ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$

Поле вычетов в — это , расширение поля присоединения корня из ; это конечное поле с элементами, . Многочлен соответствует функции на схеме со значениями , то есть . Снова каждый определяется своими значениями в замкнутых точках; является локусом сходимости постоянного многочлена ; и содержит точки в каждой характеристике, соответствующие орбитам Галуа корней из в алгебраическом замыкании . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle x=\alpha }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p^{d}}$ ${\displaystyle d=\operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$ ${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle r(x)=p}$ ${\displaystyle V(f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

Схема не является правильной , так что пары кривых могут не пересекаться с ожидаемой кратностью . Это является основным препятствием для анализа диофантовых уравнений с помощью геометрических инструментов . Теория Аракелова преодолевает это препятствие путем компактификации аффинных арифметических схем, добавляя точки на бесконечности, соответствующие оценкам . ${\displaystyle Y}$

Арифметические поверхности

Если мы рассмотрим многочлен , то аффинная схема имеет канонический морфизм в и называется арифметической поверхностью . Тогда волокна являются алгебраическими кривыми над конечными полями . Если — эллиптическая кривая , то волокна над ее дискриминантным локусом , где — все сингулярные схемы. ^[13] Например, если — простое число , то его дискриминант равен . Эта кривая сингулярна над простыми числами . ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}}$$ ${\displaystyle -27p^{2}}$ ${\displaystyle 3,p}$

Неаффинные схемы

• Для любого коммутативного кольца R и натурального числа n проективное пространство может быть построено как схема путем склеивания n + 1 копий аффинного n -пространства над R вдоль открытых подмножеств. Это фундаментальный пример, который мотивирует выход за рамки аффинных схем. Ключевое преимущество проективного пространства над аффинным пространством состоит в том, что оно является собственным над R ; это алгебро-геометрическая версия компактности. Действительно, комплексное проективное пространство является компактным пространством в классической топологии, тогда как не является. ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Однородный многочлен f положительной степени в кольце многочленов R [ x ₀ , ..., x _n ] определяет замкнутую подсхему f = 0 в проективном пространстве , называемую проективной гиперповерхностью . В терминах конструкции Proj эта подсхема может быть записана как Например, замкнутая подсхема x ³ + y ³ = z ³ из является эллиптической кривой над рациональными числами . ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}}$
• Прямая с двумя началами (над полем k ) — это схема, определяемая началом с двумя копиями аффинной прямой над k и склеиванием двух открытых подмножеств A ¹ − 0 с помощью тождественного отображения. Это простой пример неразделенной схемы. В частности, она не является аффинной. ^[14]
• Простая причина выйти за рамки аффинных схем заключается в том, что открытое подмножество аффинной схемы не обязательно должно быть аффинным. Например, пусть , скажем, над комплексными числами ; тогда X не является аффинным для n ≥ 2. (Однако аффинная прямая за вычетом начала координат изоморфна аффинной схеме . Чтобы показать, что X не является аффинным, вычисляют, что каждая регулярная функция на X продолжается до регулярной функции на , когда n ≥ 2: это аналогично лемме Хартогса в комплексном анализе, хотя и проще для доказательства. То есть включение индуцирует изоморфизм из в . Если бы X было аффинным, то из этого следовало бы, что f является изоморфизмом, но f не является сюръективным и, следовательно, не является изоморфизмом. Следовательно, схема X не является аффинной. ^[15] ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {C} [x,x^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle O(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle O(X)}$
• Пусть k — поле. Тогда схема является аффинной схемой, топологическое пространство которой является компактификацией Стоуна–Чеха положительных целых чисел (с дискретной топологией). Фактически, простые идеалы этого кольца находятся во взаимно однозначном соответствии с ультрафильтрами на положительных целых числах, причем идеал соответствует главному ультрафильтру, связанному с положительным целым числом n . ^[16] Это топологическое пространство является нульмерным , и, в частности, каждая точка является неприводимым компонентом . Поскольку аффинные схемы являются квазикомпактными , это пример не-нётеровой квазикомпактной схемы с бесконечным числом неприводимых компонентов. (В отличие от этого, нётерова схема имеет только конечное число неприводимых компонентов.) ${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$

Примеры морфизмов

Также плодотворно рассматривать примеры морфизмов в качестве примеров схем, поскольку они демонстрируют свою техническую эффективность для инкапсуляции многих объектов изучения в алгебраической и арифметической геометрии.

Мотивация схем

Вот некоторые из способов, которыми схемы выходят за рамки старых представлений об алгебраических многообразиях, и их значение.

• Расширения полей. Дано несколько полиномиальных уравнений от n переменных над полем k , можно изучить множество X ( k ) решений уравнений в произведении множеств k ⁿ . Если поле k алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), то можно основать алгебраическую геометрию на множествах, таких как X ( k ): определить топологию Зарисского на X ( k ), рассмотреть полиномиальные отображения между различными множествами этого типа и т. д. Но если k не алгебраически замкнуто, то множество X ( k ) недостаточно богато. Действительно, можно изучить решения X ( E ) заданных уравнений в любом расширении поля E поля k , но эти множества не определяются X ( k ) в каком-либо разумном смысле. Например, плоская кривая X над действительными числами, определенными как x ² + y ² = −1, имеет X ( R ) пустым, но X ( C ) не пустым. (На самом деле, X ( C ) можно отождествить с C − 0.) Напротив, схема X над полем k имеет достаточно информации, чтобы определить множество X ( E ) E -рациональных точек для каждого поля расширения E поля k . (В частности, замкнутая подсхема A²
  _Р(Определенное соотношением x ² + y ² = −1, является непустым топологическим пространством.)
• Общая точка. Точки аффинной прямой A¹
  _С, как схема, являются ее комплексными точками (по одной для каждого комплексного числа) вместе с одной общей точкой (замыкание которой является всей схемой). Общая точка является образом естественного морфизма Spec( C ( x )) → A¹
  _С, где C ( x ) — поле рациональных функций от одной переменной. Чтобы понять, почему полезно иметь фактическую «общую точку» в схеме, рассмотрим следующий пример.
• Пусть X — плоская кривая y ² = x ( x −1)( x −5) над комплексными числами. Это замкнутая подсхема A²
  _С. Его можно рассматривать как разветвленное двойное покрытие аффинной прямой A¹
  _Спроецируя на x -координату. Слой морфизма X → A ¹ над общей точкой A ¹ является в точности общей точкой X , что дает морфизм Это, в свою очередь, эквивалентно расширению полей степени -2 Таким образом, наличие фактической общей точки многообразия дает геометрическое соотношение между морфизмом степени 2 алгебраических многообразий и соответствующим расширением степени 2 функциональных полей . Это обобщается до соотношения между фундаментальной группой (которая классифицирует накрывающие пространства в топологии) и группой Галуа (которая классифицирует определенные расширения полей ). Действительно, теория Гротендика об этальной фундаментальной группе рассматривает фундаментальную группу и группу Галуа на одной и той же основе. $${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$$

• Нильпотентные элементы . Пусть X — замкнутая подсхема аффинной прямой A¹
  _Сопределяется как x ² = 0, иногда называемое жирной точкой . Кольцо регулярных функций на X есть C [ x ]/( x ² ); в частности, регулярная функция x на X нильпотентна , но не равна нулю. Чтобы указать значение этой схемы: две регулярные функции на аффинной прямой имеют одинаковое ограничение на X тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое значение и первую производную в начале координат. Разрешение таких нередуцированных схем привносит идеи исчисления и бесконечно малых в алгебраическую геометрию.
• Нильпотентные элементы естественным образом возникают в теории пересечений . Например, в плоскости над полем с координатным кольцом рассмотрим ось x , которая является многообразием , и параболу , которая является . Их схемно-теоретическое пересечение определяется идеалом . Поскольку пересечение не является трансверсальным , это не просто точка, определяемая идеалом , а скорее жирная точка, содержащая направление касательной к оси x (общую касательную двух кривых) и имеющая координатное кольцо: Кратность пересечения 2 определяется как длина этого -модуля, т.е. его размерность как -векторного пространства. ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle V(y)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle V(x^{2}-y)}$ ${\displaystyle (y)+(x^{2}-y)=(x^{2},\,y)}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)\subset k[x,y]}$ $${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(x^{2},\,y)}}\cong {\frac {k[x]}{(x^{2})}}.}$$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$
• Для более сложного примера можно описать все нульмерные замкнутые подсхемы степени 2 в гладком комплексном многообразии Y . Такая подсхема состоит либо из двух различных комплексных точек Y , либо из подсхемы, изоморфной X = Spec C [ x ]/( x ² ) , как в предыдущем абзаце. Подсхемы последнего типа определяются комплексной точкой y из Y вместе с прямой в касательном пространстве T _y Y . ^[17] Это снова указывает на то, что нередуцированные подсхемы имеют геометрический смысл, связанный с производными и касательными векторами.

Когерентные пучки

Центральная часть теории схем — понятие когерентных пучков , обобщающее понятие (алгебраических) векторных расслоений . Для схемы X начинают с рассмотрения абелевой категории O X _{-модулей} , которые являются пучками абелевых групп на X , образующими модуль над пучком регулярных функций O _X . В частности, модуль M над коммутативным кольцом R определяет ассоциированный O _X -модуль~Мна X = Spec( R ). Квазикогерентный пучок на схеме X означает O _X -модуль, который является пучком, связанным с модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X . Наконец, когерентный пучок (скажем, на нётеровой схеме X ) — это O _X -модуль, который является пучком, связанным с конечно порождённым модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X .

Когерентные пучки включают важный класс векторных расслоений , которые являются пучками, которые локально происходят из конечно порождённых свободных модулей . Примером является касательное расслоение гладкого многообразия над полем. Однако когерентные пучки богаче; например, векторное расслоение на замкнутой подсхеме Y схемы X можно рассматривать как когерентный пучок на X , который равен нулю вне Y (по прямой конструкции образа ). Таким образом, когерентные пучки на схеме X включают информацию обо всех замкнутых подсхемах X. Более того, когомологии пучков обладают хорошими свойствами для когерентных (и квазикогерентных) пучков. Полученная теория когерентных когомологий пучков , возможно, является основным техническим инструментом в алгебраической геометрии. ^{[18] [19]}

Обобщения

Рассматриваемая как функтор точек, схема — это функтор, который является пучком множеств для топологии Зариского в категории коммутативных колец, и который локально в топологии Зариского является аффинной схемой. Это можно обобщить несколькими способами. Один из них — использовать этальную топологию . Майкл Артин определил алгебраическое пространство как функтор, который является пучком в этальной топологии и который локально в этальной топологии является аффинной схемой. Эквивалентно, алгебраическое пространство является фактором схемы по отношению этальной эквивалентности. Мощный результат, теорема Артина о представимости, дает простые условия для функтора, который будет представлен алгебраическим пространством. ^[20]

Дальнейшим обобщением является идея стека . Грубо говоря, алгебраические стеки обобщают алгебраические пространства, имея алгебраическую группу, прикрепленную к каждой точке, которая рассматривается как группа автоморфизмов этой точки. Например, любое действие алгебраической группы G на алгебраическом многообразии X определяет фактор-стек [ X / G ], который запоминает подгруппы стабилизаторов для действия G. В более общем смысле, пространства модулей в алгебраической геометрии часто лучше всего рассматривать как стеки, тем самым отслеживая группы автоморфизмов классифицируемых объектов.

Гротендик первоначально ввел стеки как инструмент для теории спуска . В этой формулировке стеки являются (неформально говоря) пучками категорий. ^[21] Из этого общего понятия Артин определил более узкий класс алгебраических стеков (или «стеков Артина»), которые можно считать геометрическими объектами. К ним относятся стеки Делиня–Мамфорда (аналогичные орбифолдам в топологии), для которых группы стабилизаторов конечны, и алгебраические пространства, для которых группы стабилизаторов тривиальны. Теорема Киля–Мори утверждает, что алгебраический стек с конечными группами стабилизаторов имеет грубое пространство модулей , которое является алгебраическим пространством.

Другой тип обобщения заключается в обогащении структурного пучка, приближая алгебраическую геометрию к гомотопической теории . В этой установке, известной как производная алгебраическая геометрия или «спектральная алгебраическая геометрия», структурный пучок заменяется гомотопическим аналогом пучка коммутативных колец (например, пучком спектров колец E-бесконечности ). Эти пучки допускают алгебраические операции, которые ассоциативны и коммутативны только с точностью до отношения эквивалентности. Взятие фактора по этому отношению эквивалентности дает структурный пучок обычной схемы. Однако не взятие фактора приводит к теории, которая может запоминать более высокую информацию, таким же образом, как производные функторы в гомологической алгебре дают более высокую информацию об операциях, таких как тензорное произведение и функтор Hom на модулях.

Смотрите также

• Плоский морфизм , Гладкий морфизм , Правильный морфизм , Конечный морфизм , Этальный морфизм
• Стабильная кривая
• Бирациональная геометрия
• Этальные когомологии , Группа Чжоу , Теория Ходжа
• Групповая схема , Абелево многообразие , Линейная алгебраическая группа , Редуктивная группа
• Модули алгебраических кривых
• Схемы склеивания

Цитаты

1. Представление первого издания « Элементов алгебраической геометрии ».
2. Дьедонне 1985, главы IV и V.
3. Дьедонне 1985, разделы VII.2 и VII.5.
4. Dieudonné 1985, раздел VII.4.
5. Шевалле, К. (1955–1956), Les schémas, Séminaire Henri Cartan, vol. 8
6. Картье 2001, примечание 29.
7. Дьедонне 1985, разделы VII.4, VIII.2, VIII.3.
8. Хартсхорн 1997, раздел II.2.
9. Мамфорд 1999, Глава II.
10. Проект Stacks, тег 020D.
11. Хартсхорн 1997, Предложение II.2.3.
12. Эйзенбуд и Харрис 1998, Предложение VI-2.
13. "Эллиптические кривые" (PDF) . стр. 20.
14. Хартшорн 1997, Пример II.4.0.1.
15. Хартсхорн 1997, Упражнения I.3.6 и III.4.3.
16. Арапура 2011, раздел 1.
17. Эйзенбуд и Харрис 1998, Пример II-10.
18. Дьедонне 1985, разделы VIII.2 и VIII.3.
19. Хартсхорн 1997, Глава III.
20. Проект Stacks, тег 07Y1.
21. Вистоли 2005, Определение 4.6.

Ссылки

• Арапура, Дону (2011), «Амплитуда Фробениуса, ультрапроизведения и исчезновение в сингулярных пространствах», Illinois Journal of Mathematics , 55 (4): 1367–1384, arXiv : 0806.1033 , doi : 10.1215/ijm/1373636688 , MR  3082873
• Картье, Пьер (2001), «Безумный рабочий день: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция концепций пространства и симметрии», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 , MR  1848254
• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Уодсворт, ISBN 978-0-534-03723-9, МР  0780183
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998). Геометрия схем. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1. МР  1730819.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартшорн, Робин (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157.
• Игорь Р. Шафаревич (2013). Основы алгебраической геометрии 2: Схемы и комплексные многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-3642380099. МР  0456457.
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850284-5. МР  1917232.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) по кривым и их якобианам . Заметки лекций по математике. Том 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. МР  1748380.
• Вистоли, Анджело (2005), «Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска», Fundamental Algebraic Geometry , Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V, MR  2223406

Внешние ссылки

• Дэвид Мамфорд, Можно ли объяснить схемы биологам?
• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - раздел комментариев содержит интересные обсуждения теории схем (включая посты Теренса Тао ).