Конечно-генерируемый модуль

В алгебре модуль с конечным порождающим множеством

В математике конечно порождённый модуль — это модуль , имеющий конечное порождающее множество . Конечно порождённый модуль над кольцом R может также называться конечным R -модулем , конечным над R , ^[1] или модулем конечного типа .

Связанные концепции включают конечно когенерированные модули , конечно представленные модули , конечно связанные модули и когерентные модули, все из которых определены ниже. Над нётеровым кольцом концепции конечно генерированных, конечно представленных и когерентных модулей совпадают.

Конечно порождённый модуль над полем — это просто конечномерное векторное пространство , а конечно порождённый модуль над целыми числами — это просто конечно порождённая абелева группа .

Определение

Левый R -модуль M конечно порождён, если существуют a ₁ , a ₂ , ..., an в M _такие , что для любого x из M существуют r ₁ , r ₂ , ..., r _n в R такие, что x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

В этом случае набор { a ₁ , a ₂ , ..., a _n } называется порождающим набором M. Конечное порождающее множество не обязательно должно быть базисом, поскольку оно не обязательно должно быть линейно независимым над R . Верно следующее: M конечно порождается тогда и только тогда, когда существует сюръективное R -линейное отображение :

${\displaystyle R^{n}\to M}$

для некоторого n ( M — фактор свободного модуля конечного ранга).

Если множество S порождает модуль, который конечно порождается, то существует конечное порождающее множество, которое включено в S , поскольку для выражения генераторов в любом конечном порождающем множестве требуется только конечное число элементов в S , и это конечное число элементов образует порождающее множество. Однако может случиться так, что S не содержит никакого конечного порождающего множества минимальной мощности . Например, множество простых чисел является порождающим множеством рассматриваемого как -модуль, а порождающее множество, образованное из простых чисел, имеет по крайней мере два элемента, в то время как синглтон {1} также является порождающим множеством. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В случае, когда модуль M является векторным пространством над полем R , а порождающий набор линейно независим , n является корректно определенным и называется размерностью M ( « корректно определенный» означает, что любой линейно независимый порождающий набор имеет n элементов : это теорема о размерности для векторных пространств ).

Любой модуль представляет собой объединение направленного множества своих конечно порождённых подмодулей.

Модуль M конечно порожден тогда и только тогда, когда любая возрастающая цепочка M _i подмодулей с объединением M стабилизируется: т. е. существует некоторое i такое, что M _i = M . Этот факт вместе с леммой Цорна означает, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальные подмодули . Если любая возрастающая цепочка подмодулей стабилизируется (т. е. любой подмодуль конечно порожден), то модуль M называется нётеровым модулем .

Примеры

• Если модуль генерируется одним элементом, он называется циклическим модулем .
• Пусть R — область целостности с K — ее полем дробей. Тогда каждый конечно порождённый R -подмодуль I модуля K является дробным идеалом : то есть существует некоторый ненулевой r в R такой, что rI содержится в R. Действительно, можно взять r как произведение знаменателей генераторов I. Если R — нётерово, то каждый дробный идеал возникает таким образом.
• Конечно-порожденные модули над кольцом целых чисел Z совпадают с конечно-порожденными абелевыми группами . Они полностью классифицируются структурной теоремой , принимая Z за область главных идеалов.
• Конечно-порожденные (скажем, левые) модули над телом — это в точности конечномерные векторные пространства (над телом).

Некоторые факты

Каждый гомоморфный образ конечно порождённого модуля конечно порождён. В общем случае подмодули конечно порождённых модулей не обязаны быть конечно порождёнными. В качестве примера рассмотрим кольцо R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] всех многочленов от счётного числа переменных. Сам R является конечно порождённым R -модулем (с {1} в качестве порождающего множества). Рассмотрим подмодуль K, состоящий из всех тех многочленов с нулевым постоянным членом. Поскольку каждый многочлен содержит только конечное число членов, коэффициенты которых не равны нулю, R -модуль K не является конечно порождённым.

В общем случае модуль называется нётеровым, если каждый подмодуль конечно порождён. Конечно порождённый модуль над нётеровым кольцом является нётеровым модулем (и это свойство действительно характеризует нётеровы кольца): Модуль над нётеровым кольцом конечно порождён тогда и только тогда, когда он является нётеровым модулем. Это напоминает, но не является в точности теоремой Гильберта о базисе , которая утверждает, что кольцо многочленов R [ X ] над нётеровым кольцом R является нётеровым. Оба факта подразумевают, что конечно порождённая коммутативная алгебра над нётеровым кольцом снова является нётеровым кольцом.

В более общем смысле, алгебра (например, кольцо), которая является конечно порождённым модулем, является конечно порождённой алгеброй . И наоборот, если конечно порождённая алгебра является целой (над кольцом коэффициентов), то она является конечно порождённым модулем. (Подробнее см. в интегральном элементе .)

Пусть 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 — точная последовательность модулей. Тогда M конечно порожден, если M ′, M ′′ конечно порождены. Существуют некоторые частичные обратные этому утверждения. Если M конечно порожден и M ′′ конечно представлен (что сильнее, чем конечно порожден; см. ниже), то M ′ конечно порожден. Кроме того, M является нётеровым (соответственно артиновым) тогда и только тогда, когда M ′, M ′′ нётеровы (соответственно артиновые).

Пусть B — кольцо, а A — его подкольцо, такое, что B — строго плоский правый A -модуль. Тогда левый A -модуль F конечно порожден (соответственно, конечно представим) тогда и только тогда, когда B -модуль B ⊗ _A F конечно порожден (соответственно, конечно представим). ^[2]

Конечно-порожденные модули над коммутативным кольцом

Для конечно порождённых модулей над коммутативным кольцом R лемма Накаямы является фундаментальной. Иногда лемма позволяет доказать явление конечномерных векторных пространств для конечно порождённых модулей. Например, если f  : M → M является сюръективным R -эндоморфизмом конечно порождённого модуля M , то f также инъективен и, следовательно, является автоморфизмом M . ^[3] Это просто говорит о том, что M является хопфовым модулем . Аналогично, артинов модуль M является кохопфовым : любой инъективный эндоморфизм f также является сюръективным эндоморфизмом. ^[4]

Любой R -модуль является индуктивным пределом конечно порождённых R -подмодулей. Это полезно для ослабления предположения до конечного случая (например, характеризация плоскостности с помощью функтора Tor ).

Пример связи между конечной генерацией и целыми элементами можно найти в коммутативных алгебрах. Сказать, что коммутативная алгебра A является конечно порождённым кольцом над R, означает, что существует набор элементов G = { x ₁ , ..., x _n } из A такой, что наименьшее подкольцо A , содержащее G и R, является самим A. Поскольку кольцевое произведение может использоваться для объединения элементов, генерируется больше, чем просто R -линейные комбинации элементов G. Например, полиномиальное кольцо R [ x ] конечно порождёно {1, x } как кольцо, но не как модуль . Если A является коммутативной алгеброй (с единицей) над R , то следующие два утверждения эквивалентны: ^[5]

• A — конечно порождённый R- модуль.
• A является как конечно порождённым кольцом над R , так и целочисленным расширением R.

Общий ранг

Пусть M — конечно порождённый модуль над областью целостности A с полем дробей K . Тогда размерность называется общим рангом M над A . Это число совпадает с числом максимальных A -линейно независимых векторов в M или, что эквивалентно, рангом максимального свободного подмодуля M ( ср. Ранг абелевой группы ). Поскольку , — модуль кручения . Когда A — нётеров, в силу общей свободы существует элемент f (зависящий от M ) такой, что — свободный -модуль. Тогда ранг этого свободного модуля — общий ранг M . ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$ ${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$ ${\displaystyle M/F}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]}$ ${\displaystyle A[f^{-1}]}$

Теперь предположим, что область целостности A порождается как алгебра над полем k конечным числом однородных элементов степеней . Предположим, что M также градуировано, и пусть — ряд Пуанкаре M . По теореме Гильберта–Серра существует многочлен F такой, что . Тогда — общий ранг M . ^[6] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$ ${\displaystyle F(1)}$

Конечно порождённый модуль над областью главных идеалов не имеет кручения тогда и только тогда, когда он свободен. Это следствие структурной теоремы для конечно порождённых модулей над областью главных идеалов , основная форма которой гласит, что конечно порождённый модуль над PID является прямой суммой модуля кручения и свободного модуля. Но это можно показать и напрямую следующим образом: пусть M — конечно порождённый модуль без кручения над PID A , а F — максимальный свободный подмодуль. Пусть f лежит в A, такой что . Тогда свободен, поскольку является подмодулем свободного модуля, а A — PID. Но теперь — изоморфизм, поскольку M не имеет кручения. ${\displaystyle fM\subset F}$ ${\displaystyle fM}$ ${\displaystyle f:M\to fM}$

По тому же аргументу, что и выше, конечно порождённый модуль над дедекиндовой областью A (или, в более общем смысле, полунаследственное кольцо ) не имеет кручения тогда и только тогда, когда он проективен ; следовательно, конечно порождённый модуль над A является прямой суммой модуля кручения и проективного модуля. Конечно порождённый проективный модуль над нетеровой областью целостности имеет постоянный ранг, и поэтому общий ранг конечно порождённого модуля над A является рангом его проективной части.

Эквивалентные определения и конечно-когенерируемые модули

Следующие условия эквивалентны тому, что M является конечно порожденным (fg):

• Для любого семейства подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если , то для некоторого конечного подмножества F из I . ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$ ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$
• Для любой цепочки подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если , то N _i = M для некоторого i из I. ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$
• Если является эпиморфизмом , то ограничение является эпиморфизмом для некоторого конечного подмножества F из I. ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$

Из этих условий легко видеть, что конечно порожденность является свойством, сохраняемым эквивалентностью Мориты . Условия также удобны для определения двойственного понятия конечно копорождённого модуля M. Следующие условия эквивалентны конечно копорождённости (f.cog.) модуля:

• Для любого семейства подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если , то для некоторого конечного подмножества F из I . ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$
• Для любой цепочки подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если , то N _i = {0} для некоторого i из I. ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$
• Если — мономорфизм , где каждый — R- модуль , то — мономорфизм для некоторого конечного подмножества F из I. ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$

Оба модуля fg и f.cog. имеют интересные связи с нётеровыми и артиновыми модулями, а также радикалом Джекобсона J ( M ) и цоколем soc( M ) модуля. Следующие факты иллюстрируют двойственность между двумя условиями. Для модуля M :

• M является нётеровым тогда и только тогда, когда каждый подмодуль N модуля M является fg
• M артинов тогда и только тогда, когда каждый фактор-модуль M / N является f.cog.
• M является fg тогда и только тогда, когда J ( M ) является избыточным подмодулем M , а M / J ( M ) является fg
• M является f.cog. тогда и только тогда, когда soc( M ) является существенным подмодулем M , а soc ( M ) является fg
• Если M — полупростой модуль (такой как soc( N ) для любого модуля N ), он является fg тогда и только тогда, когда f.cog.
• Если M есть fg и ненулевое значение, то M имеет максимальный подмодуль и любой фактор-модуль M / N есть fg.
• Если M является f.cog. и не равен нулю, то M имеет минимальный подмодуль, и любой подмодуль N модуля M является f.cog.
• Если N и M / N являются fg, то также является M. То же самое верно, если «fg» заменить на «f.cog».

Конечно-порожденные модули должны иметь конечную равномерную размерность . Это легко увидеть, применив характеристику с использованием конечно-порожденного существенного цоколя. Несколько асимметрично, конечно-порожденные модули не обязательно имеют конечную равномерную размерность. Например, бесконечное прямое произведение ненулевых колец является конечно-порожденным (циклическим!) модулем над собой, однако оно, очевидно, содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Конечно-порожденные модули также не обязательно имеют конечную равномерную размерность : любое кольцо R с единицей, такое что R / J ( R ) не является полупростым кольцом, является контрпримером.

Конечно представленные, конечно связанные и связные модули

Другая формулировка такова: конечно порождённый модуль M — это модуль, для которого существует эпиморфизм , отображающий R ^k на M  :

ф : Р ^к → М .

Предположим теперь, что существует эпиморфизм,

φ  : F → M .

для модуля M и свободного модуля F.

• Если ядро ​​φ конечно порождено, то M называется конечно связанным модулем . Поскольку M изоморфен F /ker( φ ), это в основном означает, что M получается путем взятия свободного модуля и введения конечного числа соотношений внутри F (генераторов ker( φ ) ).
• Если ядро ​​φ конечно порождено и F имеет конечный ранг (т.е. F = R ^k ), то говорят, что M является конечно представленным модулем . Здесь M задается с использованием конечного числа образующих (образов k образующих F = R ^k ) и конечного числа отношений (образующих ker( φ )). См. также: свободное представление . Конечно представленные модули можно охарактеризовать абстрактным свойством в категории R -модулей : они являются в точности компактными объектами в этой категории.
• Когерентный модуль M — это конечно порождённый модуль, конечно порождённые подмодули которого конечно представлены.

Над любым кольцом R когерентные модули конечно представимы, а конечно представимые модули являются как конечно порождёнными, так и конечно связанными. Для нётерова кольца R конечно порождённый, конечно представимый и когерентный являются эквивалентными условиями на модуль.

Некоторый кроссовер происходит для проективных или плоских модулей. Конечно порождённый проективный модуль конечно представлен, а конечно связанный плоский модуль проективен.

Верно также, что для кольца R следующие условия эквивалентны :

1. R — правокогерентное кольцо .
2. Модуль R _R является связным модулем.
3. Каждый конечно представленный правый R- модуль когерентен.

Хотя согласованность кажется более громоздким условием, чем конечно порожденная или конечно представленная, она лучше их, поскольку категория согласованных модулей является абелевой категорией , в то время как, в общем случае, ни конечно порожденные, ни конечно представленные модули не образуют абелеву категорию.

Смотрите также

• Неотъемлемый элемент
• Лемма Артина–Риза
• Счетно генерируемый модуль
• Конечная алгебра

Ссылки

1. Например, Мацумура использует эту терминологию.
2. Бурбаки 1998, Глава 1, §3, вып. 6, предложение 11.
3. Мацумура 1989, Теорема 2.4.
4. Атья и Макдональд 1969, Упражнение 6.1.
5. Капланский 1970, стр. 11, Теорема 17.
6. Springer 1977, Теорема 2.5.6.

Учебники

• Атья, М. Ф.; Макдональд, И. Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., Рединг, Массачусетс-Лондон-Дон Миллс, Онтарио, стр. ix+128, MR  0242802
• Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра. Главы 1--7 Перевод с французского. Переиздание английского перевода 1989 года , Elements of Mathematics, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Капланский, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR  0254021
• Лэм, TY (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics № 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Ланг, Серж (1997), Алгебра (3-е изд.), Эддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-55540-0
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Перевод с японского М. Рида (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, стр. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, МР  1011461
• Springer, Tonny A. (1977), Теория инвариантов , Lecture Notes in Mathematics, т. 585, Springer, doi :10.1007/BFb0095644, ISBN 978-3-540-08242-2.