Кольцо полиномов

В математике , особенно в области алгебры , кольцо многочленов или алгебра многочленов — это кольцо, образованное из множества многочленов от одного или нескольких неизвестных (традиционно также называемых переменными ) с коэффициентами в другом кольце , часто поле . ^[1]

Часто термин «полиномиальное кольцо» неявно относится к особому случаю полиномиального кольца с одной неопределенной над полем. Важность таких полиномиальных колец зависит от большого количества свойств, которые они имеют совместно с кольцом целых чисел . ^[2]

Кольца полиномов встречаются и часто являются фундаментальными во многих разделах математики, таких как теория чисел , коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия . В теории колец были введены многие классы колец, такие как области уникальной факторизации , регулярные кольца , групповые кольца , кольца формальных степенных рядов , многочлены Оре , градуированные кольца для обобщения некоторых свойств колец полиномов. ^[3]

Тесно связанным понятием является понятие кольца полиномиальных функций на векторном пространстве и, в более общем смысле, кольцо регулярных функций на алгебраическом многообразии . ^[2]

Определение (одномерный случай)

Пусть $K$ — поле или (в более общем случае) коммутативное кольцо .

Кольцо полиномов в $X$ над $K$ , которое обозначается $K [X]$ , можно определить несколькими эквивалентными способами. Один из них — определить $K [X]$ как множество выражений, называемых полиномами в $X$ , вида ^[4]

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

где $p 0, p 1, \dots, p m$ , коэффициенты p $,$ являются элементами $K$ , $p m \neq 0 ,$ если $m > 0$ , а $X, X 2, \dots,$ являются символами, которые рассматриваются как «степени» $X$ , и следуют обычным правилам возведения в степень : $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ , и для любых неотрицательных целых чисел $k$ и $l$ . Символ $X$ называется неопределенным ^[5] или переменной. ^[6] (Термин «переменная» происходит из терминологии полиномиальных функций . Однако здесь $X$ не имеет никакого значения (кроме самого себя) и не может изменяться, будучи константой в кольце полиномов.) $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$

Два многочлена равны, если соответствующие коэффициенты каждого $X k$ равны.

Можно думать о кольце $K [X]$ как о возникшем из $K$ путем добавления одного нового элемента $X$ , который является внешним по отношению к $K$ , коммутирует со всеми элементами $K$ и не имеет других специфических свойств. Это можно использовать для эквивалентного определения полиномиальных колец.

Кольцо многочленов в $X$ над $K$ снабжено сложением, умножением и скалярным умножением , которые делают его коммутативной алгеброй . Эти операции определяются в соответствии с обычными правилами манипулирования алгебраическими выражениями. В частности, если

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},

затем

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

где $k = max(m, n), l = m + n$ ,

r_{i}=p_{i}+q_{i}

s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

В этих формулах полиномы $p$ и $q$ расширяются путем добавления «фиктивных членов» с нулевыми коэффициентами, так что все $p i$ и $q i$ , которые появляются в формулах, определены. В частности, если $m < n$ , то $p i = 0$ для $m < i \leq n$ .

Скалярное умножение является частным случаем умножения, где $p = p 0$ сводится к своему постоянному члену (члену, который не зависит от $X$ ); то есть

p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

Легко проверить, что эти три операции удовлетворяют аксиомам коммутативной алгебры над $K.$ Поэтому полиномиальные кольца также называются полиномиальными алгебрами .

Другое эквивалентное определение часто предпочитают, хотя и менее интуитивно, потому что его легче сделать полностью строгим, которое состоит в определении многочлена как бесконечной последовательности $(p 0, p 1, p 2, \dots)$ элементов $K$ , обладающей тем свойством, что только конечное число элементов ненулевое, или, что эквивалентно, последовательности, для которой существует некоторое $m$ такое, что p _n = 0 для $n > m$ . В этом случае $p 0$ и $X$ рассматриваются как альтернативные обозначения для последовательностей $(p 0, 0, 0, \dots)$ и $(0, 1, 0, 0, \dots)$ , соответственно. Прямое использование правил операции показывает, что выражение

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

тогда это альтернативная запись для последовательности

(п 0, п 1, п 2, \dots, п м, 0, 0, \dots)

Терминология

Позволять

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

быть ненулевым многочленом с $p_{m}\neq 0$

Постоянный член p равен нулю $в$ случае нулевого полинома. $p_{0}.$

Степень p $,$ обозначаемая как deg $($ $p$ $),$ — это наибольшее $k$ , при котором коэффициент при $X$ $k$ не равен нулю. ^[7] $m,$

Старший коэффициент p $равен$ [ 8 ^] $p_{m}.$

В частном случае нулевого многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, старший коэффициент не определен, а степень по-разному оставлялась неопределенной, ^[9] определяемой как $-1$ , ^[10] или определяемой как $-\infty$ . ^[11]

Постоянный многочлен — это либо нулевой многочлен, либо многочлен нулевой степени.

Ненулевой многочлен является моническим, если его старший коэффициент равен $1.$

Даны два многочлена $p$ и $q$ , если степень нулевого многочлена определена как единица, то $-\infty ,$

\deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),

и, над полем , или, в более общем смысле, над областью целостности , ^[12]

\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).

Отсюда немедленно следует, что если $K$ — область целостности, то таковой является и $K [X]$ . ^[13]

Отсюда также следует, что если $K$ — область целостности, то многочлен является единицей ( то есть имеет мультипликативный обратный элемент ) тогда и только тогда, когда он постоянен и является единицей в $K.$

Два многочлена связаны , если один из них является произведением другого на единицу.

Над полем каждому ненулевому многочлену сопоставлен уникальный монический многочлен.

$Если$ даны два многочлена, $p$ и $q$ , то говорят, что $p$ делит $q$ , $p$ является делителем q или $q$ кратно $p$ , если существует многочлен $r$ такой, что $q$ $=$ $pr$ .

Многочлен неприводим , если он не является произведением двух непостоянных многочленов или, что эквивалентно, если его делители являются либо постоянными многочленами, либо имеют одинаковую степень.

Полиномиальная оценка

Пусть $K$ — поле или, в более общем смысле, коммутативное кольцо , а $R$ — кольцо, содержащее $K.$ Для любого многочлена $P$ в $K [X]$ и любого элемента $a$ в $R$ замена $X$ на $a$ в $P$ определяет элемент $R$ , который обозначается $P (a)$ $.$ Этот элемент получается путем продолжения в $R$ после замены операций, указанных выражением многочлена. Это вычисление называется оценкой P в a $.$ Например, если мы имеем

P=X^{2}-1,

у нас есть

{\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}

(в первом примере $R = K$ , а во втором $R = K [X]$ ). Подстановка $X$ вместо самого себя приводит к

P=P(X),

объясняя, почему предложения «Пусть $P$ будет многочленом» и «Пусть $P (X)$ будет многочленом» эквивалентны.

Полиномиальная функция, определяемая полиномом $P$ , — это функция из $K$ в $K$ , определяемая следующим образом: Если $K$ — бесконечное поле, два различных полинома определяют различные полиномиальные функции, но это свойство ложно для конечных полей. Например, если $K$ — поле с $q$ элементами, то полиномы $0$ и $X$ $q$ $-$ $X$ оба определяют нулевую функцию. $x\mapsto P(x).$

Для каждого $a$ в $R$ оценка в $a$ , то есть отображение, определяет гомоморфизм алгебры из $K$ $[$ $X$ $]$ в $R$ , который является единственным гомоморфизмом из $K$ $[$ $X$ $]$ в $R ,$ который фиксирует $K$ и отображает $X$ в $a$ . Другими словами, $K$ $[$ $X$ $]$ обладает следующим универсальным свойством : $P\mapsto P(a)$

Для каждого кольца

R,

содержащего

K

, и каждого элемента

a

из

R

существует единственный гомоморфизм алгебр из

K [X]

R

, который фиксирует

K

и отображает

X

a

Что касается всех универсальных свойств, это определяет пару $(K [X], X)$ с точностью до единственного изоморфизма и, следовательно, может быть принято в качестве определения $K [X]$ .

Образ карты , то есть подмножество $R$ $,$ полученное путем замены $a$ на $X$ в элементах K $[$ $X$ $]$ , обозначается $K$ $[$ $a$ $]$ . ^[14] Например, и правила упрощения для степеней квадратного корня подразумевают $P\mapsto P(a)$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.$

Одномерные многочлены над полем

Если $K$ — поле , то кольцо многочленов $K [X]$ обладает многими свойствами, аналогичными свойствам кольца целых чисел . Большинство этих сходств вытекает из сходства между делением целых чисел в столбик и делением многочленов в столбик . $\mathbb {Z} .$

Большинство свойств $K [X],$ перечисленных в этом разделе, не остаются верными, если $K$ не является полем или если рассматривать многочлены от нескольких неизвестных.

Как и для целых чисел, евклидово деление многочленов имеет свойство уникальности. То есть, если заданы два многочлена $a$ и $b \neq 0$ в $K [X]$ , то существует уникальная пара $(q, r)$ многочленов, такая что $a = bq + r$ , и либо $r = 0$ , либо $deg(r) < deg(b)$ . Это делает $K [X]$ евклидовой областью . Однако большинство других евклидовых областей (за исключением целых чисел) не имеют ни свойства уникальности для деления, ни простого алгоритма (такого как деление в столбик) для вычисления евклидова деления.

Евклидово деление является основой алгоритма Евклида для многочленов , который вычисляет наибольший общий делитель двух многочленов. Здесь «наибольший» означает «имеющий максимальную степень» или, что то же самое, являющийся максимальным для предпорядка, определяемого степенью. Если задан наибольший общий делитель двух многочленов, другие наибольшие общие делители получаются путем умножения на ненулевую константу (то есть все наибольшие общие делители $a$ и $b$ связаны). В частности, два многочлена, которые не являются оба нулем, имеют единственный наибольший общий делитель, который является моническим (старший коэффициент равен1 ).

Расширенный алгоритм Евклида позволяет вычислить (и доказать) тождество Безу . В случае $K [X]$ это можно сформулировать следующим образом. Даны два многочлена $p$ и $q$ соответствующих степеней $m$ и $n$ , если их наибольший общий делитель $g$ имеет степень $d$ , то существует уникальная пара $(a, b)$ многочленов такая, что

ap+bq=g,

\deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.

(Чтобы сделать это верным в предельном случае, когда $m = d$ или $n = d$ , нужно определить как отрицательную степень нулевого многочлена. Более того, равенство может иметь место только в том случае, если $p$ и $q$ связаны.) Свойство уникальности довольно специфично для $K$ $[$ $X$ $]$ . В случае целых чисел то же свойство верно, если степени заменить абсолютными значениями, но для уникальности нужно потребовать $a$ $> 0$ . $\deg(a)=n-d$

Лемма Евклида применима к $K [X]$ . То есть, если $a$ делит $bc$ и является взаимно простым с $b$ , то $a$ делит $c$ . Здесь взаимно простое означает, что наибольший общий делитель равен1. Доказательство: По гипотезе и тождеству Безу существуют $e$ , $p$ и $q$ такие, что $ae = bc$ и $1 = ap + bq$ . Итак $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$

Свойство уникальной факторизации следует из леммы Евклида. В случае целых чисел это фундаментальная теорема арифметики . В случае $K [X]$ это можно сформулировать так: каждый непостоянный многочлен может быть выражен единственным образом как произведение константы и одного или нескольких неприводимых монических многочленов; это разложение единственно с точностью до порядка множителей. Другими словами, $K [X]$ является областью уникальной факторизации . Если $K$ — поле комплексных чисел, фундаментальная теорема алгебры утверждает, что одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. В этом случае свойство уникальной факторизации можно переформулировать так: каждый непостоянный одномерный многочлен над комплексными числами может быть выражен единственным образом как произведение константы и одного или нескольких многочленов вида $X - r$ ; это разложение единственно с точностью до порядка множителей. Для каждого фактора $r$ является корнем многочлена, а число появлений фактора является кратностью соответствующего корня.

Вывод

(Формальная) производная многочлена

a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

это многочлен

a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.

В случае полиномов с действительными или комплексными коэффициентами это стандартная производная . Приведенная выше формула определяет производную полинома, даже если коэффициенты принадлежат кольцу, на котором не определено понятие предела . Производная делает полиномиальное кольцо дифференциальной алгеброй .

Существование производной является одним из основных свойств кольца многочленов, которое не является общим для целых чисел, и упрощает некоторые вычисления над кольцом многочленов, чем над целыми числами.

Факторизация без квадратов

Интерполяция Лагранжа

Полиномиальное разложение

Факторизация

За исключением факторизации, все предыдущие свойства $K [X]$ эффективны , поскольку их доказательства, как описано выше, связаны с алгоритмами проверки свойства и вычисления полиномов, существование которых утверждается. Более того, эти алгоритмы эффективны, поскольку их вычислительная сложность является квадратичной функцией размера входных данных.

Ситуация совершенно иная для факторизации: доказательство уникальной факторизации не дает никаких намеков на метод факторизации. Уже для целых чисел нет известного алгоритма, работающего на классическом (неквантовом) компьютере для факторизации их за полиномиальное время . Это основа криптосистемы RSA , широко используемой для защищенных интернет-коммуникаций.

В случае $K [X]$ множители и методы их вычисления сильно зависят от $K$ . Над комплексными числами неприводимые множители (те, которые не могут быть факторизованы далее) имеют степень один, тогда как над действительными числами существуют неприводимые многочлены степени 2, а над рациональными числами существуют неприводимые многочлены любой степени. Например, многочлен неприводим над рациональными числами, факторизуется как над действительными числами и , и как над комплексными числами. $X^{4}-2$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$

Существование алгоритма факторизации также зависит от основного поля. В случае действительных или комплексных чисел теорема Абеля–Руффини показывает, что корни некоторых многочленов, а значит, и неприводимые множители, не могут быть вычислены точно. Поэтому алгоритм факторизации может вычислять только приближения множителей. Для вычисления таких приближений были разработаны различные алгоритмы, см. Поиск корней многочленов .

Существует пример поля $K,$ такого, что существуют точные алгоритмы для арифметических операций $K$ , но не может существовать никакого алгоритма для определения того, является ли многочлен формы неприводимым или является произведением многочленов более низкой степени. ^[15] $X^{p}-a$

С другой стороны, над рациональными числами и над конечными полями ситуация лучше, чем для целочисленной факторизации , поскольку существуют алгоритмы факторизации , имеющие полиномиальную сложность . Они реализованы в большинстве систем компьютерной алгебры общего назначения .

Минимальный многочлен

Если $θ$ является элементом ассоциативной K $-алгебры$ L $,$ то полиномиальная оценка в $θ$ является единственным гомоморфизмом алгебры $φ$ из $K [X]$ в $L$ , который отображает $X$ в $θ$ и не влияет на элементы самого $K$ (это тождественное отображение на $K$ ). Оно состоит из замены $X$ на $θ$ в каждом полиноме. То есть,

\varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.

Образ этого гомоморфизма оценки — подалгебра, порождённая $θ$ , которая обязательно коммутативна. Если $φ$ инъективна, подалгебра, порождённая $θ,$ изоморфна $K [X]$ . В этом случае эта подалгебра часто обозначается как $K [θ]$ . Неоднозначность обозначений, как правило, безвредна из-за изоморфизма.

Если гомоморфизм оценки не является инъективным, это означает, что его ядро является ненулевым идеалом , состоящим из всех многочленов, которые становятся нулевыми при $замене$ X на $θ$ $.$ Этот идеал состоит из всех кратных некоторого монического многочлена, который называется минимальным многочленом θ . Термин минимальный мотивирован тем фактом, что его степень минимальна среди степеней элементов идеала.

Существует два основных случая, когда рассматриваются минимальные многочлены.

В теории поля и теории чисел элемент $θ$ поля расширения $L$ поля $K$ является алгебраическим над $K$ , если он является корнем некоторого многочлена с коэффициентами в $K.$ Таким образом, минимальный многочлен над $K$ поля $θ$ — это монический многочлен минимальной степени, имеющий $θ$ в качестве корня. Поскольку $L$ — поле, этот минимальный многочлен обязательно неприводим над $K.$ Например, минимальный многочлен (как над действительными, так и над рациональными числами) комплексного числа $i$ равен . Циклотомические многочлены — это минимальные многочлены корней единицы . $X^{2}+1$

В линейной алгебре квадратные матрицы $n \times n$ над $K$ образуют ассоциативную K -алгебру конечной размерности (как векторное пространство). Поэтому гомоморфизм оценки не может быть инъективным, и каждая матрица имеет минимальный многочлен (не обязательно неприводимый). По теореме Кэли–Гамильтона гомоморфизм оценки отображает в ноль характеристический многочлен матрицы. Из этого следует, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен, и, следовательно, степень минимального многочлена не превышает $n$ .

Кольцо-частное

В случае $K [X]$ фактор -кольцо по идеалу может быть построено, как и в общем случае, как набор классов эквивалентности . Однако, поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно один многочлен минимальной степени, другая конструкция часто оказывается более удобной.

Если задан полином $p$ степени $d$ , фактор -кольцо $K [X]$ по идеалу, порожденному $p,$ можно отождествить с векторным пространством полиномов степеней, меньших $d$ , с "умножением по модулю $p$ " в качестве умножения, причем умножение по модулю $p$ состоит из остатка от деления на $p$ (обычного) произведения полиномов. Это фактор-кольцо по-разному обозначается как или просто $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ $K[X]/p.$

Кольцо является полем тогда и только тогда, когда $p$ является неприводимым многочленом . Фактически, если $p$ является неприводимым, каждый ненулевой многочлен $q$ более низкой степени является взаимно простым с $p$ , и тождество Безу позволяет вычислить $r$ и $s,$ такие что $sp$ $+$ $qr$ $= 1$ ; таким образом, $r$ является мультипликативным обратным к $q$ по модулю $p$ . Обратно, если $p$ является приводимым, то существуют многочлены $a, b$ степеней ниже $deg($ $p$ $),$ такие что $ab$ $=$ $p$ ; таким образом $, a, b$ являются ненулевыми делителями нуля по модулю $p$ и не могут быть обратимыми. $K[X]/(p)$

Например, стандартное определение поля комплексных чисел можно обобщить, сказав, что это фактор-кольцо

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

и что образ $X$ в обозначается через $i$ . Фактически, согласно вышеприведенному описанию, это частное состоит из всех многочленов первой степени от $i$ , которые имеют вид $a$ $+$ $bi$ , где $a$ и $b$ в Остаток евклидова деления, необходимый для умножения двух элементов фактор-кольца, получается заменой $i$ $2$ на $-1$ в их произведении как многочленов (это в точности обычное определение произведения комплексных чисел). $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} .$

Пусть $θ$ — алгебраический элемент в $K$ -алгебре $A.$ Под алгебраическим подразумевается, что $θ$ имеет минимальный многочлен $p$ . Первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что гомоморфизм подстановки индуцирует изоморфизм на образ $K$ $[$ $θ$ $]$ гомоморфизма подстановки. В частности, если $A$ — простое расширение K $,$ порожденное $θ$ , это позволяет идентифицировать $A$ и Это отождествление широко используется в алгебраической теории чисел . $K[X]/(p)$ $K[X]/(p).$

Модули

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов применима к K [ X ], когда K — поле. Это означает, что каждый конечно порожденный модуль над K [ X ] может быть разложен в прямую сумму свободного модуля и конечного числа модулей вида , где P — неприводимый многочлен над K , а k — положительное целое число. $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$

Определение (многомерный случай)

Даны $n$ символов, называемых неопределенностями , одночлен (также называемый степенным произведением ) $X_{1},\dots ,X_{n},$

X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

является формальным произведением этих неопределенностей, возможно, возведенным в неотрицательную степень. Как обычно, показатели, равные единице, и факторы с нулевым показателем могут быть опущены. В частности, $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$

Кортеж показателей $α = (α 1, \dots, α n)$ называется мультистепенным или экспоненциальным вектором монома. Для менее громоздкой записи используется сокращение

X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

часто используется. Степень монома $X α$ , часто обозначаемая $deg α$ или $| α |$ , представляет собой сумму его показателей:

\deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.

Многочлен от этих неизвестных с коэффициентами в поле $K$ или, в более общем случае, в кольце , представляет собой конечную линейную комбинацию мономов

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }

с коэффициентами в $K.$ Степень ненулевого многочлена — это максимальная из степеней его одночленов с ненулевыми коэффициентами.

Таким образом, множество полиномов в обозначено как векторное пространство (или свободный модуль , если $K$ — кольцо), базисом которого являются мономы. $X_{1},\dots ,X_{n},$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$

$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ естественно снабжено (см. ниже) умножением, которое образует кольцо , и ассоциативной алгеброй над $K$ , называемой кольцом многочленов от $n$ неизвестных над $K$ (определенный артикль the отражает, что оно однозначно определено с точностью до имени и порядка неизвестных. Если кольцо $K$ коммутативно , то также является коммутативным кольцом. $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$

Операции вК [ Х 1 , ..., Х n ]

Сложение и скалярное умножение многочленов являются операциями векторного пространства или свободного модуля, снабженного определенным базисом (здесь базисом мономов). Явно, пусть где $I$ и $J$ — конечные наборы векторов экспонент. $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$

Скалярное умножение $p$ и скаляра равно $c\in K$

cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.

Сложение $p$ и $q$ равно

p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },

где если и если Более того, если для некоторого имеется соответствующий нулевой член, то из результата удаляется. $p_{\alpha }=0$ $\alpha \not \in I,$ $q_{\beta }=0$ $\beta \not \in J.$ $p_{\alpha }+q_{\alpha }=0$ $\alpha \in I\cap J,$

Умножение равно

pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },

где — множество сумм одного вектора показателей в $I$ и одного другого в $J$ (обычная сумма векторов). В частности, произведение двух одночленов — это одночлен, вектор показателей которого является суммой векторов показателей множителей. $I+J$

Проверка аксиом ассоциативной алгебры проста.

Полиномиальное выражение

Полиномиальное выражение — это выражение, построенное с помощью скаляров (элементов $K$ ), неопределенных чисел и операторов сложения, умножения и возведения в степень неотрицательных целых чисел.

Поскольку все эти операции определены в полиномиальном выражении, представляющем полином, который является элементом Определение полинома как линейной комбинации одночленов является частным полиномиальным выражением, которое часто называют канонической формой , нормальной формой или развернутой формой многочлена. Имея полиномиальное выражение, можно вычислить развернутую форму представленного многочлена, расширив по дистрибутивному закону все произведения, имеющие сумму среди своих множителей, а затем используя коммутативность (за исключением произведения двух скаляров) и ассоциативность для преобразования членов результирующей суммы в произведения скаляра и одночлена; затем можно получить каноническую форму, перегруппировав подобные члены . $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$

Различие между полиномиальным выражением и полиномом, который оно представляет, возникло сравнительно недавно и в основном обусловлено развитием компьютерной алгебры , где, например, проверка того, представляют ли два полиномиальных выражения один и тот же полином, может быть нетривиальным вычислением.

Категориальная характеристика

Если $K$ — коммутативное кольцо, то кольцо многочленов $K [X 1, \dots, X n]$ обладает следующим универсальным свойством : для каждой коммутативной $K$ -алгебры $A$ и каждого набора из $n$ $($ $x$ $1$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ элементов $A$ существует единственный гомоморфизм алгебры из $K$ $[$ $X$ $1$ $, \dots,$ $X$ $n$ $]$ в $A$ , который отображает каждую в соответствующую Этот гомоморфизм является гомоморфизмом оценки , который состоит в замене на в каждом многочлене. $X_{i}$ $x_{i}.$ $X_{i}$ $x_{i}$

Как и в случае любого универсального свойства, это характеризует пару с точностью до уникального изоморфизма . $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$

Это также можно интерпретировать в терминах сопряженных функторов . Точнее, пусть $SET$ и $ALG$ будут категориями множеств и коммутативных $K$ -алгебр соответственно (здесь и далее морфизмы определяются тривиально). Существует забывающий функтор , который отображает алгебры в их базовые множества. С другой стороны, отображение определяет функтор в другом направлении. (Если $X$ бесконечно, $K$ $[$ $X$ $]$ является множеством всех многочленов от конечного числа элементов $X$ .) $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $X\mapsto K[X]$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$

Универсальное свойство кольца многочленов означает, что $F$ и $POL$ являются сопряженными функторами . То есть, существует биекция

\operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).

Это можно выразить также, сказав, что кольца многочленов являются свободными коммутативными алгебрами , поскольку они являются свободными объектами в категории коммутативных алгебр. Аналогично, кольцо многочленов с целыми коэффициентами является свободным коммутативным кольцом над своим множеством переменных, поскольку коммутативные кольца и коммутативные алгебры над целыми числами — это одно и то же.

Градуированная структура

Одномерный по кольцу против многомерного

Многочлен от можно рассматривать как одномерный многочлен от неопределенности над кольцом, перегруппировав члены, содержащие одну и ту же степень , то есть, используя тождество $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $X_{n}$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}],$ $X_{n},$

\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},

что является результатом дистрибутивности и ассоциативности кольцевых операций.

Это означает, что существует изоморфизм алгебр

K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]

который отображает каждую неопределенность в себя. (Этот изоморфизм часто записывается как равенство, что оправдывается тем фактом, что полиномиальные кольца определены с точностью до единственного изоморфизма.)

Другими словами, многомерное полиномиальное кольцо можно рассматривать как одномерный полином над меньшим многомерным кольцом. Это обычно используется для доказательства свойств многомерных полиномиальных колец индукцией по числу неопределенностей.

Основные такие объекты перечислены ниже.

Свойства, которые переходят отРкР [ Х ]

В этом разделе $R$ — коммутативное кольцо, $K$ — поле, $X$ обозначает единичную неопределенность, и, как обычно, — кольцо целых чисел. Вот список основных свойств кольца, которые остаются верными при переходе от $R$ к $R$ $[$ $X$ $]$ . $\mathbb {Z}$

Если R — область целостности , то то же самое справедливо и для R [ X ] (поскольку старший коэффициент произведения многочленов равен, если не равен нулю, произведению старших коэффициентов множителей).
- В частности, и являются целостными областями. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Если R — область уникальной факторизации , то то же самое справедливо для R [ X ] . Это следует из леммы Гаусса и свойства уникальной факторизации, где L — поле дробей R . $L[X],$
- В частности, и являются уникальными областями факторизации. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Если R — нётерово кольцо , то то же самое справедливо для R [ X ] .
- В частности, и являются нётеровыми кольцами; это базисная теорема Гильберта . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Если R — нётерово кольцо, то где « » обозначает размерность Крулля . $\dim R[X]=1+\dim R,$ $\dim$
- В частности, и $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$
Если R — регулярное кольцо , то то же самое справедливо для R [ X ] ; в этом случае имеем где « » обозначает глобальную размерность . $\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$ $\operatorname {gl} \,\dim$
- В частности, и являются регулярными кольцами, а Последнее равенство представляет собой теорему Гильберта о сизигиях . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,$ $\operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.$

Несколько неопределенных по полю

Кольца полиномов от нескольких переменных над полем являются фундаментальными в теории инвариантов и алгебраической геометрии . Некоторые из их свойств, такие как описанные выше, могут быть сведены к случаю одного неопределенного, но это не всегда так. В частности, из-за геометрических приложений многие интересные свойства должны быть инвариантными относительно аффинных или проективных преобразований неопределенных. Это часто подразумевает, что нельзя выбрать один из неопределенных для рекуррентного отношения к неопределенным.

Теорема Безу , теорема Гильберта о нулевых числах и гипотеза Якобиана являются одними из самых известных свойств, специфичных для многомерных полиномов над полем.

Nullstellensatz Гильберта

Nullstellensatz (нем. «теорема о нулевом локусе») — теорема, впервые доказанная Давидом Гильбертом , которая распространяет на многомерный случай некоторые аспекты фундаментальной теоремы алгебры . Она является основополагающей для алгебраической геометрии , поскольку устанавливает сильную связь между алгебраическими свойствами и геометрическими свойствами алгебраических многообразий , которые (грубо говоря) являются множеством точек, определяемых неявными полиномиальными уравнениями . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

Nullstellensatz имеет три основные версии, каждая из которых является следствием любой другой. Две из этих версий приведены ниже. Для третьей версии читатель отсылается к основной статье о Nullstellensatz.

Первая версия обобщает тот факт, что ненулевой одномерный многочлен имеет комплексный ноль тогда и только тогда, когда он не является константой. Утверждение таково: множество многочленов $S$ в имеет общий ноль в алгебраически замкнутом поле, содержащем $K$ , тогда и только тогда, когда $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $1$ не принадлежит идеалу , порожденному $S$ , то есть, если $1$ не является линейной комбинацией элементов $S$ с полиномиальными коэффициентами .

Вторая версия обобщает тот факт, что неприводимые одномерные многочлены над комплексными числами ассоциированы с многочленом вида Утверждение таково: если $K$ алгебраически замкнуто, то максимальные идеалы имеют вид $X-\alpha .$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .$

Теорема Безу

Теорему Безу можно рассматривать как многомерное обобщение версии основной теоремы алгебры , утверждающей, что одномерный многочлен степени $n$ имеет $n$ комплексных корней, если их посчитать с учетом их кратностей.

В случае двумерных многочленов он утверждает, что два многочлена степеней $d$ и $e$ от двух переменных, не имеющие общих множителей положительной степени, имеют ровно $de$ общих нулей в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты, если нули подсчитываются с их кратностью и включают нули на бесконечности .

Для формулировки общего случая и не рассматривая «ноль на бесконечности» как особые нули, удобно работать с однородными многочленами и рассматривать нули в проективном пространстве . В этом контексте проективный ноль однородного многочлена — это, с точностью до масштабирования, $($ $n$ $+ 1)$ - набор элементов $K$ , отличный от $(0, \dots, 0)$ , и такой, что . Здесь «с точностью до масштабирования» означает, что и считаются одним и тем же нулем для любого ненулевого Другими словами, ноль — это набор однородных координат точки в проективном пространстве размерности $n$ . $P(X_{0},\ldots ,X_{n})$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda \in K.$

Тогда теорема Безу гласит: для заданных $n$ $однородных$ многочленов степеней от $n$ $+ 1$ неизвестных, имеющих только конечное число общих проективных нулей в алгебраически замкнутом расширении K , сумма кратностей этих нулей равна произведению $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1}\cdots d_{n}.$

гипотеза Якобиана

Обобщения

Кольца полиномов можно обобщить множеством способов, включая кольца полиномов с обобщенными показателями, кольца степенных рядов, некоммутативные кольца полиномов , кольца косых полиномов и полиномиальные оснастки .

Бесконечно много переменных

Одно небольшое обобщение колец многочленов заключается в том, чтобы разрешить бесконечно много неизвестных. Каждый моном по-прежнему включает только конечное число неизвестных (так что его степень остается конечной), и каждый многочлен по-прежнему является (конечной) линейной комбинацией мономов. Таким образом, любой отдельный многочлен включает только конечное число неизвестных, и любое конечное вычисление, включающее многочлены, остается внутри некоторого подкольца многочленов с конечным числом неизвестных. Это обобщение имеет то же свойство обычных колец многочленов, будучи свободной коммутативной алгеброй , единственное отличие состоит в том, что это свободный объект над бесконечным множеством.

Можно также рассмотреть строго большее кольцо, определив как обобщенный многочлен бесконечную (или конечную) формальную сумму мономов с ограниченной степенью. Это кольцо больше обычного кольца многочленов, так как включает бесконечные суммы переменных. Однако оно меньше кольца степенных рядов от бесконечного числа переменных . Такое кольцо используется для построения кольца симметрических функций над бесконечным множеством.

Обобщенные показатели

Простое обобщение изменяет только набор, из которого берутся показатели степеней переменной. Формулы для сложения и умножения имеют смысл, пока можно складывать показатели степеней: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Набор, для которого сложение имеет смысл (замкнут и ассоциативен), называется моноидом . Набору функций из моноида N в кольцо R , которые отличны от нуля только в конечном числе мест, можно задать структуру кольца, известного как R [ N ], моноидного кольца N с коэффициентами в R . Сложение определяется покомпонентно, так что если c = a + b , то c _n = a _n + b _n для каждого n из N . Умножение определяется как произведение Коши, так что если c = a ⋅ b , то для каждого n из N , c _n является суммой всех a _i b _{j ,} где i , j пробегают все пары элементов N , которые в сумме дают n .

Когда N коммутативно, удобно обозначать функцию a в R [ N ] как формальную сумму:

\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}

и тогда формулы сложения и умножения будут знакомыми:

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}

где последняя сумма берется по всем i , j из N, сумма которых равна n .

Некоторые авторы, такие как (Lang 2002, II,§3) заходят так далеко, что берут это определение моноида в качестве отправной точки, а регулярные многочлены с одной переменной являются особым случаем, где N является моноидом неотрицательных целых чисел. Многочлены с несколькими переменными просто принимают N как прямое произведение нескольких копий моноида неотрицательных целых чисел.

Несколько интересных примеров колец и групп образуются, если взять N как аддитивный моноид неотрицательных рациональных чисел (Osbourne 2000, §4.4) . См. также ряды Пюизё .

Ряд мощности

Степенные ряды обобщают выбор показателя в другом направлении, допуская бесконечно много ненулевых членов. Это требует различных гипотез относительно моноида N, используемого для показателей, чтобы гарантировать, что суммы в произведении Коши являются конечными суммами. В качестве альтернативы топология может быть помещена на кольцо, а затем можно ограничиться сходящимися бесконечными суммами. Для стандартного выбора N , неотрицательных целых чисел, нет никаких проблем, и кольцо формальных степенных рядов определяется как множество функций из N в кольцо R с покомпонентным сложением и умножением, заданным произведением Коши. Кольцо степенных рядов также можно рассматривать как кольцевое пополнение кольца многочленов относительно идеала, порожденного $x$ .

Кольца некоммутативных многочленов

Для колец полиномов более чем одной переменной произведения X ⋅ Y и Y ⋅ X просто определяются как равные. Более общее понятие кольца полиномов получается, когда сохраняется различие между этими двумя формальными произведениями. Формально кольцо полиномов от n некоммутирующих переменных с коэффициентами в кольце R является моноидным кольцом R [ N ], где моноид N является свободным моноидом от n букв, также известным как множество всех строк над алфавитом из n символов, с умножением, заданным конкатенацией. Ни коэффициенты, ни переменные не должны коммутировать между собой, но коэффициенты и переменные коммутируют друг с другом.

Так же, как кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в коммутативном кольце R является свободной коммутативной R -алгеброй ранга n , некоммутативное кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в коммутативном кольце R является свободной ассоциативной унитальной R -алгеброй от n образующих, которая некоммутативна при n > 1.

Дифференциальные и косополиномиальные кольца

Другими обобщениями многочленов являются дифференциальные и косополиномиальные кольца.

Дифференциальное полиномиальное кольцо — это кольцо дифференциальных операторов, образованное из кольца R и вывода δ из R в R . Этот вывод действует на R и будет обозначаться X , если рассматривать его как оператор. Элементы R также действуют на R посредством умножения. Композиция операторов обозначается как обычное умножение. Из этого следует, что соотношение δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b можно переписать как

X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).

Это отношение можно расширить, чтобы определить косое умножение между двумя многочленами от X с коэффициентами в R , что делает их некоммутативным кольцом .

Стандартный пример, называемый алгеброй Вейля , берет R как (обычное) полиномиальное кольцо k [ Y ], а δ как стандартную полиномиальную производную . Взяв a = Y в приведенном выше соотношении, получаем каноническое коммутационное соотношение , X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. Расширение этого соотношения с помощью ассоциативности и дистрибутивности позволяет явно построить алгебру Вейля . (Lam 2001, §1,ex1.9). ${\tfrac {\partial }{\partial Y}}$

Кольцо косых многочленов определяется аналогично для кольца R и эндоморфизма кольца f кольца R путем расширения умножения из соотношения X ⋅ r = f ( r )⋅ X для получения ассоциативного умножения, которое распределяется по стандартному сложению. В более общем случае, если задан гомоморфизм F из моноида N положительных целых чисел в кольцо эндоморфизмов кольца R , формула X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿ позволяет построить кольцо косых многочленов. (Lam 2001, §1,ex 1.11) Кольца косых многочленов тесно связаны с алгебрами скрещенных произведений .

Полиномиальные установки

Определение полиномиального кольца можно обобщить, ослабив требование, чтобы алгебраическая структура R была полем или кольцом , до требования, чтобы R была только полуполем или rig ; полученная полиномиальная структура/расширение R [ X ] является полиномиальным rig . Например, множество всех многомерных полиномов с натуральными коэффициентами является полиномиальным rig.

Смотрите также

Ссылки

^ «Индекс», Искусство решения юридических проблем , Cambridge University Press, стр. 123–126, 2024-03-11, doi :10.1017/9781009457927.012, ISBN 978-1-009-45792-7, получено 2024-09-14
^ ab "полиномиальное кольцо". planetmath.org . Получено 2024-09-14 .
^ "Искусство решения проблем". artofproblemsolving.com . Получено 2024-09-14 .
^ Херштейн 1975, стр. 153
^ Херштейн, Холл стр. 73
^ Ланг 2002, стр. 97
^ Херштейн 1975, стр. 154
^ Ланг 2002, стр. 100
^ Антон, Ховард; Бивенс, Ирл К.; Дэвис, Стивен (2012), Исчисление одной переменной, Wiley, стр. 31, ISBN 9780470647707.
^ Сендра, Дж. Рафаэль; Винклер, Франц; Перес-Диас, Соня (2007), Рациональные алгебраические кривые: подход компьютерной алгебры, Алгоритмы и вычисления в математике, т. 22, Springer, стр. 250, ISBN 9783540737247.
^ Ивс, Говард Уитли (1980), Элементарная теория матриц, Довер, стр. 183, ISBN 9780486150277.
^ Херштейн 1975, стр. 155, 162
^ Херштейн 1975, стр. 162
^ Кнапп, Энтони В. (2006), Основы алгебры , Birkhäuser , стр. 121.
^ Фрелих, А.; Шеферсон, Дж. К. (1955), «О факторизации полиномов за конечное число шагов», Mathematische Zeitschrift , 62 (1): 331–334, doi : 10.1007/BF01180640, ISSN 0025-5874, S2CID 119955899

Холл, Ф. М. (1969). "Раздел 3.6". Введение в абстрактную алгебру . Том 2. Cambridge University Press. ISBN 0521084849.
Herstein, IN (1975). "Раздел 3.9". Темы по алгебре . Wiley. ISBN 0471010901. кольцо многочленов.
Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н 1878556
Осборн, М. Скотт (2000), Основы гомологической алгебры , Graduate Texts in Mathematics, т. 196, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-1278-2, ISBN 978-0-387-98934-1, г-н 1757274