В математике поле F называется алгебраически замкнутым , если каждый непостоянный многочлен из F [ x ] (кольцо одномерных многочленов с коэффициентами из F ) имеет корень в F .
Например, поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, поскольку полиномиальное уравнение не имеет решения в действительных числах, хотя все его коэффициенты (1 и 0) действительны. Тот же аргумент доказывает, что ни одно подполе действительного поля не является алгебраически замкнутым; в частности, поле рациональных чисел не является алгебраически замкнутым. Напротив, основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Другим примером алгебраически замкнутого поля является поле (комплексных) алгебраических чисел .
Никакое конечное поле F не является алгебраически замкнутым, поскольку если a 1 , a 2 , ..., an являются элементами F , то многочлен ( x − a 1 )( x − a 2 ) ⋯ ( x − a n ) + 1 не имеет нуля в F . Однако объединение всех конечных полей фиксированной характеристики p является алгебраически замкнутым полем, которое, по сути, является алгебраическим замыканием поля с p элементами.
Для поля F утверждение « F алгебраически замкнуто» эквивалентно другим утверждениям:
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственными неприводимыми многочленами в кольце многочленов F [ x ] являются многочлены первой степени.
Утверждение «многочлены первой степени неприводимы» тривиально верно для любого поля. Если F алгебраически замкнуто и p ( x ) — неприводимый многочлен из F [ x ], то он имеет некоторый корень a и, следовательно, p ( x ) кратен x − a . Поскольку p ( x ) неприводимо, это означает, что p ( x ) = k ( x − a ) для некоторого k ∈ F \ {0} . С другой стороны, если F не алгебраически замкнуто, то существует некоторый непостоянный многочлен p ( x ) в F [ x ] без корней в F . Пусть q ( x ) — некоторый неприводимый множитель p ( x ). Поскольку p ( x ) не имеет корней в F , q ( x ) также не имеет корней в F . Следовательно, q ( x ) имеет степень больше единицы, поскольку каждый многочлен первой степени имеет один корень в F .
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен p ( x ) степени n ≥ 1 с коэффициентами в F разлагается на линейные множители . Другими словами, существуют элементы k , x 1 , x 2 , ..., x n поля F такие, что p ( x ) = k ( x − x 1 )( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ).
Если F обладает этим свойством, то ясно, что любой непостоянный многочлен из F [ x ] имеет некоторый корень в F ; другими словами, F алгебраически замкнуто. С другой стороны, то, что указанное здесь свойство справедливо для F, если F алгебраически замкнуто, следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K любой многочлен из K [ x ] может быть записан как произведение неприводимых многочленов.
Если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F , то каждый непостоянный многочлен имеет корень в F . [1] Отсюда следует, что поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F .
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраического расширения .
Если F не имеет собственного алгебраического расширения, пусть p ( x ) — некоторый неприводимый многочлен в F [ x ]. Тогда частное от деления F [ x ] по модулю идеала , порожденного p ( x ), является алгебраическим расширением F , степень которого равна степени p ( x ). Поскольку это не собственное расширение, его степень равна 1, и, следовательно, степень p ( x ) равна 1.
С другой стороны, если F имеет некоторое собственное алгебраическое расширение K , то минимальный многочлен элемента из K \ F неприводим и его степень больше 1.
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного конечного расширения , поскольку если в предыдущем доказательстве термин «алгебраическое расширение» заменить термином «конечное расширение», то доказательство останется верным. (Конечные расширения обязательно являются алгебраическими.)
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа n каждое линейное отображение из F n в себя имеет некоторый собственный вектор .
Эндоморфизм F n имеет собственный вектор тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен имеет некоторый корень. Следовательно, когда F алгебраически замкнут, каждый эндоморфизм F n имеет некоторый собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм F n имеет собственный вектор, пусть p ( x ) будет элементом F [ x ]. Разделив на его старший коэффициент, мы получим другой многочлен q ( x ), который имеет корни тогда и только тогда, когда p ( x ) имеет корни. Но если q ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 , то q ( x ) является характеристическим многочленом сопутствующей матрицы n×n
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждая рациональная функция от одной переменной x с коэффициентами в F может быть записана в виде суммы полиномиальной функции с рациональными функциями вида a /( x − b ) n , где n — натуральное число, а a и b — элементы F .
Если F алгебраически замкнуто, то, поскольку все неприводимые многочлены в F [ x ] имеют степень 1, указанное выше свойство выполняется по теореме о разложении на простейшие дроби .
С другой стороны, предположим, что указанное выше свойство выполняется для поля F . Пусть p ( x ) — неприводимый элемент в F [ x ]. Тогда рациональную функцию 1/ p можно записать в виде суммы полиномиальной функции q с рациональными функциями вида a /( x – b ) n . Следовательно, рациональное выражение
можно записать как частное двух многочленов, в котором знаменатель является произведением многочленов первой степени. Поскольку p ( x ) неприводимо, оно должно делить это произведение и, следовательно, оно также должно быть многочленом первой степени.
Для любого поля F , если два многочлена p ( x ), q ( x ) ∈ F [ x ] являются взаимно простыми , то они не имеют общего корня, поскольку если бы a ∈ F был общим корнем, то p ( x ) и q ( x ) оба были бы кратны x − a и, следовательно, они не были бы взаимно простыми. Поля, для которых имеет место обратная импликация (то есть поля, такие, что всякий раз, когда два многочлена не имеют общего корня, они являются взаимно простыми), являются в точности алгебраически замкнутыми полями.
Если поле F алгебраически замкнуто, пусть p ( x ) и q ( x ) — два многочлена, которые не являются взаимно простыми, и пусть r ( x ) — их наибольший общий делитель . Тогда, поскольку r ( x ) не является константой, он будет иметь некоторый корень a , который будет общим корнем p ( x ) и q ( x ).
Если F не является алгебраически замкнутым, пусть p ( x ) — многочлен, степень которого не менее 1 без корней. Тогда p ( x ) и p ( x ) не являются взаимно простыми, но они не имеют общих корней (так как ни один из них не имеет корней).
Если F — алгебраически замкнутое поле, а n — натуральное число, то F содержит все корни n-й степени из единицы, поскольку они (по определению) являются n (не обязательно различными) нулями многочлена x n − 1. Расширение поля, которое содержится в расширении, порожденном корнями из единицы, является циклотомическим расширением , а расширение поля, порожденного всеми корнями из единицы, иногда называется его циклотомическим замыканием . Таким образом, алгебраически замкнутые поля являются циклотомически замкнутыми. Обратное неверно. Даже предположения, что каждый многочлен вида x n − a разлагается на линейные множители, недостаточно для того, чтобы гарантировать, что поле алгебраически замкнуто.
Если предложение, которое может быть выражено на языке логики первого порядка , истинно для алгебраически замкнутого поля, то оно истинно для любого алгебраически замкнутого поля с той же характеристикой . Более того, если такое предложение справедливо для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то оно не только справедливо для всех других алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но существует некоторое натуральное число N такое, что предложение справедливо для любого алгебраически замкнутого поля с характеристикой p при p > N . [2]
Каждое поле F имеет некоторое расширение, которое алгебраически замкнуто. Такое расширение называется алгебраически замкнутым расширением . Среди всех таких расширений есть одно и только одно ( с точностью до изоморфизма , но не единственного изоморфизма ) , которое является алгебраическим расширением F ; [ 3] оно называется алгебраическим замыканием F.
Теория алгебраически замкнутых полей имеет свойство исключения кванторов .
