Формальное групповое право

В математике формальный групповой закон — это (грубо говоря) формальный степенной ряд , ведущий себя так, как если бы он был произведением группы Ли . Они были введены С. Бохнером  (1946). Термин формальная группа иногда означает то же самое, что и формальный групповой закон, а иногда означает одно из нескольких обобщений. Формальные группы занимают промежуточное положение между группами Ли (или алгебраическими группами ) и алгебрами Ли . Они используются в алгебраической теории чисел и алгебраической топологии .

Определения

Одномерный формальный групповой закон над коммутативным кольцом R — это степенной ряд F ( x , y ) с коэффициентами в R , такой что

1. F ( x , y ) = x + y + члены более высокой степени
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z ) ( ассоциативность ).

Простейшим примером является аддитивный формальный групповой закон F ( x , y ) = x + y . Идея определения заключается в том, что F должен быть чем-то вроде формального степенного разложения произведения группы Ли, где мы выбираем координаты так, чтобы тождество группы Ли было началом координат.

В более общем смысле, n -мерный формальный групповой закон представляет собой набор из n степенных рядов F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) по 2 n переменным, такой что

1. F ( x , y ) = x + y + члены более высокой степени
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z )

где мы пишем F вместо ( F ₁ , ..., F _n ), x вместо ( x ₁ , ..., x _n ) и так далее.

Формальный групповой закон называется коммутативным, если F ( x , y ) = F ( y , x ). Если R не имеет кручения , то можно вложить R в Q -алгебру и использовать экспоненту и логарифм, чтобы записать любой одномерный формальный групповой закон F как F ( x , y ) = exp(log( x ) + log( y )), поэтому F обязательно коммутативен. ^[1] В более общем случае, мы имеем:

Теорема . Каждый одномерный формальный групповой закон над R является коммутативным тогда и только тогда, когда R не имеет ненулевых торсионных нильпотентов (т.е. не имеет ненулевых элементов, которые являются и торсионными, и нильпотентными). ^[2]

Нет необходимости в аксиоме, аналогичной существованию обратных элементов для групп , поскольку это, как оказывается, автоматически следует из определения формального группового закона. Другими словами, мы всегда можем найти (единственный) степенной ряд G такой, что F ( x , G ( x )) = 0.

Гомоморфизм из формального группового закона F размерности m в формальный групповой закон G размерности n — это набор f из n степенных рядов от m переменных, такой что

G ( f ( x ), f ( y )) = f ( F ( x , y )).

Гомоморфизм с обратным называется изоморфизмом , и называется строгим изоморфизмом, если в дополнение f ( x ) = x + члены более высокой степени. Два формальных групповых закона с изоморфизмом между ними по сути одинаковы; они отличаются только «изменением координат».

Примеры

• Аддитивный формальный групповой закон задается формулой

${\displaystyle F(x,y)=x+y.\ }$

• Мультипликативный формальный групповой закон задается формулой

${\displaystyle F(x,y)=x+y+xy.\ }$

Это правило можно понять следующим образом. Произведение G в (мультипликативной группе) кольца R задается как G ( a , b ) = ab . Если мы «изменим координаты», чтобы сделать 0 тождественным, положив a = 1 +  x , b = 1 +  y и G = 1 +  F , то мы обнаружим, что F ( x , y ) = x  +  y  +  xy .

Над рациональными числами существует изоморфизм из аддитивного формального группового закона в мультипликативный, заданный формулой exp( x ) − 1. Над общими коммутативными кольцами R такого гомоморфизма нет, так как для его определения требуются нецелые рациональные числа, а аддитивные и мультипликативные формальные группы обычно неизоморфны.

• В более общем смысле, мы можем построить формальный групповой закон размерности n из любой алгебраической группы или группы Ли размерности n , взяв координаты в тождестве и записав формальное разложение в степенной ряд отображения произведения. Аддитивные и мультипликативные формальные групповые законы получаются таким образом из аддитивных и мультипликативных алгебраических групп. Другим важным частным случаем этого является формальная группа (закон) эллиптической кривой (или абелева многообразия ).
• F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) — формальный групповой закон, вытекающий из формулы сложения для функции гиперболического тангенса : tanh( x  +  y ) = F (tanh( x ), tanh( y )), а также формула сложения скоростей в специальной теории относительности (со скоростью света, равной 1).
• ${\textstyle F(x,y)=\left.\left(x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}\right)\right/\!(1+x^{2}y^{2})}$— формальный групповой закон над Z [1/2], найденный Эйлером в виде формулы сложения для эллиптического интеграла (Стрикленд):

${\displaystyle \int _{0}^{x}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}+\int _{0}^{y}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Алгебры Ли

Любой n -мерный формальный групповой закон задает n -мерную алгебру Ли над кольцом R , определяемую в терминах квадратичной части F ₂ формального группового закона.

[ х , у ] = F ₂ ( х , у ) − F ₂ ( у , х )

Естественный функтор из групп Ли или алгебраических групп в алгебры Ли можно разложить на функтор из групп Ли в формальные групповые законы, а затем взять алгебру Ли формальной группы:

Группы Ли → Формальные групповые законы → Алгебры Ли

Над полями характеристики 0 формальные групповые законы по сути совпадают с конечномерными алгебрами Ли: точнее, функтор из конечномерных формальных групповых законов в конечномерные алгебры Ли является эквивалентностью категорий . ^{[3] Над полями} характеристики , отличной от нулевой, формальные групповые законы не эквивалентны алгебрам Ли. Фактически, в этом случае хорошо известно, что переход от алгебраической группы к ее алгебре Ли часто отбрасывает слишком много информации, но переход вместо этого к формальному групповому закону часто сохраняет достаточно информации. Так что в некотором смысле формальные групповые законы являются «правильной» заменой алгебр Ли в характеристике p  > 0.

Логарифм коммутативного формального группового закона

Если F является коммутативным n -мерным формальным групповым законом над коммутативной Q -алгеброй R , то он строго изоморфен аддитивному формальному групповому закону. ^[4] Другими словами, существует строгий изоморфизм f из аддитивной формальной группы в F , называемый логарифмом F , так что

f ( F ( x , y )) = f ( x ) + f ( y ).

Примеры:

• Логарифм F ( x , y ) = x  +  y равен f ( x ) = x .
• Логарифм F ( x , y ) = x  +  y  +  xy равен f ( x ) = log(1 +  x ), поскольку log(1 +  x  +  y  +  xy ) = log(1 +  x ) + log(1 +  y ).

Если R не содержит рациональных чисел, отображение f может быть построено путем расширения скаляров до R ⊗ Q , но это приведет к тому, что все будет равно нулю, если R имеет положительную характеристику. Формальные групповые законы над кольцом R часто строятся путем записи их логарифма в виде степенного ряда с коэффициентами в R ⊗ Q , а затем доказательства того, что коэффициенты соответствующей формальной группы над R ⊗ Q на самом деле лежат в R . При работе в положительной характеристике обычно заменяют R смешанным характеристическим кольцом, которое имеет сюръекцию к R , например, кольцом W ( R ) векторов Витта , и сводится к R в конце.

Инвариантный дифференциал

Когда F одномерна, можно записать ее логарифм в терминах инвариантного дифференциала ω(t). ^[5] Пусть где — свободный -модуль ранга 1 на символе dt . Тогда ω инвариантно относительно трансляции в том смысле, что где если мы напишем , то по определению получим Если затем рассмотреть разложение , формула определяет логарифм F . $${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial F}{\partial x}}(0,t)^{-1}dt\in R[[t]]dt,}$$ ${\textstyle R[[t]]dt}$ ${\textstyle R[[t]]}$ $${\displaystyle F^{*}\omega =\omega ,}$$ ${\textstyle \omega (t)=p(t)dt}$ $${\displaystyle F^{*}\omega :=p(F(t,s)){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,s)dt.}$$ ${\textstyle \omega (t)=(1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots )dt}$ $${\displaystyle f(t)=\int \omega (t)=t+{\frac {c_{1}}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\dots }$$

Формальное групповое кольцо формального группового закона

Формальное групповое кольцо формального группового закона является кокоммутативной алгеброй Хопфа, аналогичной групповому кольцу группы и универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли, обе из которых также являются кокоммутативными алгебрами Хопфа. В общем случае кокоммутативные алгебры Хопфа ведут себя очень похоже на группы.

Для простоты мы опишем одномерный случай; многомерный случай аналогичен, за исключением того, что обозначения становятся более сложными.

Предположим, что F — (1-мерный) формальный групповой закон над R. Его формальное групповое кольцо (также называемое его гипералгеброй или его ковариантной биалгеброй ) — это кокоммутативная алгебра Хопфа H, построенная следующим образом.

• Как R - модуль , H свободен с базисом 1 = D ⁽⁰⁾ , D ( ¹⁾ , D ⁽²⁾ , ...
• Копроизведение Δ задается формулой Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )}  ⊗  D ^{( n − i )} (поэтому двойственной к этой коалгебре является просто кольцо формальных степенных рядов).
• Единица η определяется коэффициентом D ⁽⁰⁾ .
• Тождество имеет вид 1 = D ⁽⁰⁾ .
• Антипод S переводит D ^{( n )} в (−1) ⁿ D ^{( n )} .
• Коэффициент при D ⁽¹⁾ в произведении D ^{( i )} D ^{( j )} является коэффициентом при x ⁱ y ^j в F ( x , y ).

Наоборот, если задана алгебра Хопфа, структура коалгебры которой приведена выше, мы можем восстановить из нее формальный групповой закон F. Таким образом, одномерные формальные групповые законы по сути совпадают с законами алгебр Хопфа, структура коалгебры которых приведена выше.

Формальные групповые законы как функторы

Учитывая n -мерный формальный групповой закон F над R и коммутативную R -алгебру S , мы можем образовать группу F ( S ), базовым множеством которой является N ^{n ,} где N - множество нильпотентных элементов S . Произведение получается путем использования F для умножения элементов N ⁿ ; суть в том, что все формальные степенные ряды теперь сходятся, поскольку они применяются к нильпотентным элементам, поэтому имеется только конечное число ненулевых членов. Это превращает F в функтор из коммутативных R -алгебр S в группы.

Мы можем расширить определение F ( S ) на некоторые топологические R -алгебры . В частности, если S является обратным пределом дискретных R -алгебр, мы можем определить F ( S ) как обратный предел соответствующих групп. Например, это позволяет нам определить F ( Z _p ) со значениями в p -адических числах .

Группозначный функтор F также может быть описан с помощью формального группового кольца H группы F . Для простоты мы будем предполагать, что F одномерно; общий случай аналогичен. Для любой кокоммутативной алгебры Хопфа элемент g называется группоподобным, если Δ g = g ⊗ g и ε g = 1, и группоподобные элементы образуют группу относительно умножения. В случае алгебры Хопфа формального группового закона над кольцом группоподобные элементы — это в точности элементы вида

Д ⁽⁰⁾  +  Д ⁽¹⁾ х  +  Д ⁽²⁾ х ²  + ...

для нильпотентных элементов x . В частности, мы можем отождествить групповые элементы H ⊗ S с нильпотентными элементами S , и тогда групповая структура на групповых элементах H ⊗ S отождествляется с групповой структурой на F ( S ).

Высота

Предположим, что f — гомоморфизм между одномерными формальными групповыми законами над полем характеристики p  > 0. Тогда f либо равен нулю, либо первый ненулевой член в его разложении в степенной ряд равен некоторому неотрицательному целому числу h , называемому высотой гомоморфизма f . Высота нулевого гомоморфизма определяется как ∞. ${\displaystyle ax^{p^{h}}}$

Высота одномерного формального группового закона над полем характеристики p  > 0 определяется как высота его умножения на отображение p .

Два одномерных формальных групповых закона над алгебраически замкнутым полем характеристики p  > 0 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую высоту, причем высота может быть любым положительным целым числом или ∞.

Примеры:

• Аддитивный формальный групповой закон F ( x , y ) = x  +  y имеет высоту ∞, так как его отображение p -й степени равно 0.
• Мультипликативный формальный групповой закон F ( x , y ) = x  +  y  +  xy имеет высоту 1, так как его отображение p- й степени равно (1 +  x ) ^p  − 1 = x ^p .
• Формальный групповой закон эллиптической кривой имеет высоту один или два, в зависимости от того, является ли кривая обычной или суперсингулярной . Суперсингулярность может быть обнаружена по исчезновению ряда Эйзенштейна . ${\displaystyle E_{p-1}}$

Кольцо Лазара

Существует универсальный коммутативный одномерный формальный групповой закон над универсальным коммутативным кольцом, определяемый следующим образом. Пусть

Ф ( х , у )

быть

x + y + Σ c _{i , j} x ⁱ y ^j

для неопределенных

с _{я , дж} ,

и мы определяем универсальное кольцо R как коммутативное кольцо, порожденное элементами c _{i , j} , с отношениями, которые навязываются законами ассоциативности и коммутативности для формальных групповых законов. Более или менее по определению, кольцо R имеет следующее универсальное свойство:

Для любого коммутативного кольца S одномерные формальные групповые законы над S соответствуют кольцевым гомоморфизмам из R в  S.

Построенное выше коммутативное кольцо R известно как универсальное кольцо Лазара . На первый взгляд оно кажется невероятно сложным: соотношения между его образующими очень запутанны. Однако Лазар доказал, что оно имеет очень простую структуру: это просто кольцо полиномов (над целыми числами) от образующих степеней 2, 4, 6, ... (где c _{i , j} имеет степень 2( i  +  j  − 1)). Дэниел Квиллен доказал, что кольцо коэффициентов комплексного кобордизма естественно изоморфно как градуированное кольцо универсальному кольцу Лазара, объяснив необычную градуировку.

Формальные группы

Формальная группа — групповой объект в категории формальных схем .

• Если — функтор из алгебр Артина в группы, который точен слева , то он представим ( G — функтор точек формальной группы. (точность слева функтора эквивалентна коммутативности с конечными проективными пределами). ${\displaystyle G}$
• Если — групповая схема , то формальное пополнение G в единице имеет структуру формальной группы. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$
• Формальное завершение гладкой групповой схемы изоморфно . Некоторые называют формальную групповую схему гладкой, если верно обратное; другие резервируют термин «формальная группа» для объектов локально этой формы. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {Spf} (R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]])}$
• Формальная гладкость утверждает существование лифтов деформаций и может применяться к формальным схемам, которые больше точек. Гладкая формальная групповая схема является частным случаем формальной групповой схемы.
• Для гладкой формальной группы можно построить формальный групповой закон и поле, выбрав униформизирующий набор сечений.
• (Нестрогие) изоморфизмы между формальными групповыми законами, вызванные изменением параметров, составляют элементы группы изменений координат на формальной группе.

Формальные группы и формальные групповые законы также могут быть определены над произвольными схемами , а не только над коммутативными кольцами или полями, а семейства могут быть классифицированы с помощью отображений из базы в параметризующий объект.

Пространство модулей формальных групповых законов представляет собой несвязное объединение бесконечномерных аффинных пространств, компоненты которых параметризованы размерностью, а точки параметризованы допустимыми коэффициентами степенного ряда F. Соответствующий стек модулей гладких формальных групп представляет собой фактор этого пространства по каноническому действию бесконечномерного группоида изменений координат.

Над алгебраически замкнутым полем подстек одномерных формальных групп представляет собой либо точку (в нулевой характеристике), либо бесконечную цепочку стековых точек, параметризующих высоты. В нулевой характеристике замыкание каждой точки содержит все точки большей высоты. Это различие дает формальным группам богатую геометрическую теорию в положительной и смешанной характеристике со связями с алгеброй Стинрода , p -делимыми группами, теорией Дьедонне и представлениями Галуа . Например, теорема Серра-Тейта подразумевает, что деформации групповой схемы строго контролируются деформациями ее формальной группы, особенно в случае суперсингулярных абелевых многообразий . Для суперсингулярных эллиптических кривых этот контроль является полным, и это сильно отличается от ситуации с нулевой характеристикой, когда формальная группа не имеет деформаций.

Формальная группа иногда определяется как кокоммутативная алгебра Хопфа (обычно с некоторыми дополнительными условиями, такими как пунктированность или связность). ^[7] Это более или менее двойственно понятию выше. В гладком случае выбор координат эквивалентен взятию выделенного базиса формального группового кольца.

Некоторые авторы используют термин «формальная группа» для обозначения формального группового права .

Законы формальных групп Любина–Тейта

Пусть Z _p будет кольцом целых p -адических чисел . Формальный групповой закон Любина–Тейта — это единственный (1-мерный) формальный групповой закон F, такой что e ( x ) = px  +  x ^p является эндоморфизмом F , другими словами

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

В более общем случае мы можем разрешить e быть любым степенным рядом таким образом, что e ( x ) = px  + члены более высокой степени и e ( x ) = x ^p  mod  p . Все групповые законы для различных выборов e, удовлетворяющих этим условиям, строго изоморфны. ^[8]

Для каждого элемента a в Z _p существует единственный эндоморфизм f формального группового закона Любина–Тейта такой, что f ( x ) = ax  + члены более высокой степени. Это дает действие кольца Z _p на формальный групповой закон Любина–Тейта.

Существует похожая конструкция, в которой Z _p заменено любым полным дискретным кольцом нормирования с конечным полем классов вычетов . ^[9]

Эта конструкция была введена Любиным и Тейтом (1965) в успешной попытке изолировать часть локального поля классической теории комплексного умножения эллиптических функций . Она также является основным ингредиентом в некоторых подходах к локальной теории полей классов ^[10] и существенным компонентом в построении E-теории Моравы в хроматической гомотопической теории . ^[11]

Смотрите также

• Вектор Витта
• Экспоненциальный Артин-Хассе
• Групповой функтор
• Теорема сложения

Ссылки

1. Обратите внимание, что формула для логарифма в терминах инвариантного дифференциала, заданная в размерности один, не предполагает, что F является коммутативным.
2. Хазевинкель, Мишель. Формальные группы и приложения . §6.1.
3. Хазевинкель, Мишель. Формальные группы и приложения . §14.2.3.
4. Хазевинкель, Мишель. Формальные группы и приложения . §11.1.6.
5. Мавраки, Ники Мирто. "Формальные группы" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-09-12.
6. Вайнштейн, Джаред. «Геометрия пространств Любина-Тейта» (PDF) .
7. Андервуд, Роберт Г. (2011). Введение в алгебры Хопфа . Берлин: Springer-Verlag . стр. 121. ISBN 978-0-387-72765-3. Збл  1234.16022.
8. Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). С. 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
9. Кох, Хельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag . стр. 62–63. ISBN 3-540-63003-1. Збл  0819.11044.
10. например, Серр, Жан-Пьер (1967). «Локальная теория полей классов». В Касселс, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Academic Press. стр. 128–161. Zbl  0153.07403.Хазевинкель, Михиль (1975). «Локальная теория полей классов проста». Успехи математики . 18 (2): 148–181. doi : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 . Zbl  0312.12022.Ивасава, Кенкичи (1986). Локальная теория полей классов . Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0-19-504030-2. MR  0863740. Zbl  0604.12014.
11. Лури, Якоб (27 апреля 2010 г.). "Теория Любина-Тейта (лекция 21)" (PDF) . harvard.edu . Получено 23 июня 2023 г. .

• Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология, Издательство Чикагского университета , ISBN 978-0-226-00524-9
• Бохнер, Саломон (1946), «Формальные группы Ли», Annals of Mathematics , вторая серия, 47 (2): 192–201, doi :10.2307/1969242, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969242, MR  0015397
• Демазюр, Мишель (1972), Лекции по p-делимым группам , Lecture Notes in Mathematics, т. 302, doi : 10.1007/BFb0060741 , ISBN 0-387-06092-8
• Фрёлих, А. (1968), Формальные группы , Lecture Notes in Mathematics, т. 74, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0074373 , ISBN 978-3-540-04244-0, МР  0242837
• П. Габриэль, Бесконечный этюд схем в группах SGA 3 Exp. VIIB
• Формальные группы и приложения (чистая и прикладная математика 78) Михиль Хазевинкель Издатель: Academic Pr (июнь 1978 г.) ISBN 0-12-335150-2 
• Лазар, Мишель (1975), Коммутативные формальные группы , Lecture Notes in Mathematics, т. 443, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0070554, ISBN 978-3-540-07145-7, МР  0393050
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1965), «Формальное комплексное умножение в локальных полях», Annals of Mathematics , вторая серия, 81 (2): 380–387, doi :10.2307/1970622, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970622, MR  0172878, Zbl  0128.26501
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Стрикленд, Н. «Формальные группы» (PDF) .