Орбита (динамика)

В математике , в частности, при изучении динамических систем , орбита — это набор точек, связанных функцией эволюции динамической системы. Ее можно понимать как подмножество фазового пространства, охватываемое траекторией динамической системы при определенном наборе начальных условий по мере развития системы. Поскольку траектория фазового пространства однозначно определена для любого заданного набора координат фазового пространства, различные орбиты не могут пересекаться в фазовом пространстве, поэтому множество всех орбит динамической системы является разбиением фазового пространства. Понимание свойств орбит с помощью топологических методов является одной из целей современной теории динамических систем.

Для дискретных по времени динамических систем орбиты являются последовательностями ; для реальных динамических систем орбиты являются кривыми ; а для голоморфных динамических систем орбиты являются римановыми поверхностями .

Определение

Диаграмма, показывающая периодическую орбиту системы масса-пружина в простом гармоническом движении . (Здесь оси скорости и положения были перевернуты относительно стандартного соглашения, чтобы выровнять две диаграммы)

Дана динамическая система ( T , M , Φ), где T — группа , M — множество и Φ — функция эволюции.

${\displaystyle \Phi :U\to M}$где с ${\displaystyle U\subset T\times M}$ ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

мы определяем

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}$

затем набор

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

называется орбитой через x . Орбита, состоящая из одной точки, называется постоянной орбитой . Непостоянная орбита называется замкнутой или периодической, если существует в такой, что ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$.

Реальная динамическая система

Для данной реальной динамической системы ( R , M , Φ) I ( x ) является открытым интервалом в действительных числах , то есть . Для любого x из M ${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

называется положительной полуорбитой через x и

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

называется отрицательной полуорбитой через x .

Дискретная динамическая система времени

Для дискретной по времени динамической системы с функцией эволюции, не зависящей от времени : ${\displaystyle f}$

Прямая орбита x — это набор:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}$

Если функция обратима, то обратная орбита x представляет собой набор:

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}}$

а орбита x — это множество:

${\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

где :

• ${\displaystyle f}$это функция эволюции ${\displaystyle f:X\to X}$
• множество - это динамическое пространство , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle t}$это номер итерации, который является натуральным числом и ${\displaystyle t\in T}$
• ${\displaystyle x}$является начальным состоянием системы и ${\displaystyle x\in X}$

Общая динамическая система

Для общей динамической системы, особенно в однородной динамике, когда имеется «хорошая» группа, действующая на вероятностном пространстве с сохранением меры, орбита будет называться периодической (или, что эквивалентно, замкнутой), если стабилизатор представляет собой решетку внутри . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.x\subset X}$ ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ ${\displaystyle G}$

Кроме того, родственным термином является ограниченная орбита, когда множество является предкомпактным внутри . ${\displaystyle G.x}$ ${\displaystyle X}$

Классификация орбит может привести к интересным вопросам, связанным с другими областями математики, например, гипотеза Оппенгейма (доказанная Маргулисом) и гипотеза Литтлвуда (частично доказанная Линденштрауссом) имеют дело с вопросом, является ли каждая ограниченная орбита некоторого естественного действия на однородном пространстве действительно периодической, это наблюдение принадлежит Рагхунатану и на другом языке принадлежит Касселсу и Суиннертону-Дайеру. Такие вопросы тесно связаны с теоремами о глубокой классификации мер. ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

Примечания

Часто бывает так, что функцию эволюции можно понимать как совокупность элементов группы , и в этом случае теоретико-групповые орбиты группового действия совпадают с динамическими орбитами.

Примеры

• 
  Критическая орбита дискретной динамической системы на основе комплексного квадратичного полинома . Она стремится к слабо притягивающей неподвижной точке с множителем = 0,99993612384259
• 
  Критическая орбита стремится к слабо притягивающей точке. Видна спираль от притягивающей неподвижной точки к отталкивающей неподвижной точке (z= 0), которая является местом с высокой плотностью кривых уровня.

• Орбита точки равновесия является постоянной орбитой.

Устойчивость орбит

Основная классификация орбит такова:

• постоянные орбиты или неподвижные точки
• периодические орбиты
• непостоянные и непериодические орбиты

Орбита может не быть замкнутой двумя способами. Она может быть асимптотически периодической орбитой, если она сходится к периодической орбите. Такие орбиты не замкнуты, потому что они никогда по-настоящему не повторяются, но они становятся произвольно близкими к повторяющейся орбите. Орбита также может быть хаотичной . Эти орбиты подходят произвольно близко к начальной точке, но никогда не сходятся к периодической орбите. Они демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий , что означает, что небольшие различия в начальном значении приведут к большим различиям в будущих точках орбиты.

Существуют и другие свойства орбит, которые допускают различные классификации. Орбита может быть гиперболической, если близлежащие точки приближаются или расходятся с орбитой экспоненциально быстро.

Смотрите также

• Блуждающий набор
• Метод фазового пространства
• Сюжет паутины или диаграмма Ферхюльста
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений и множитель орбиты
• Портрет на орбите

Ссылки

• Хейл, Джек К.; Кочак, Хусейн (1991). «Периодические орбиты». Динамика и бифуркации . Нью-Йорк: Springer. С. 365–388. ISBN 0-387-97141-6.
• Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1996). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж. ISBN 0-521-57557-5.
• Перко, Лоуренс (2001). «Периодические орбиты, предельные циклы и сепаратрисные циклы». Дифференциальные уравнения и динамические системы (третье изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.