В алгебраической топологии фундаментальный группоид — это определенный топологический инвариант топологического пространства . Его можно рассматривать как расширение более широко известной фундаментальной группы ; как таковой, он фиксирует информацию о гомотопическом типе топологического пространства. В терминах теории категорий фундаментальный группоид — это определенный функтор из категории топологических пространств в категорию группоидов .
[...] люди все еще упорно продолжают при вычислениях с фундаментальными группами фиксировать одну базовую точку, вместо того чтобы искусно выбрать целый пакет точек, инвариантный относительно симметрий ситуации, которые таким образом теряются по пути. В определенных ситуациях (таких как теоремы о спуске для фундаментальных групп а-ля Ван Кампен) гораздо более элегантно, даже необходимо для понимания чего-либо, работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек, [,,,]
- Александр Гротендик , Программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод)
Пусть X — топологическое пространство . Рассмотрим отношение эквивалентности непрерывных путей в X , в котором два непрерывных пути эквивалентны, если они гомотопны с фиксированными конечными точками. Фундаментальный группоид Π( X ) или Π 1 ( X ) назначает каждой упорядоченной паре точек ( p , q ) в X набор классов эквивалентности непрерывных путей от p до q . В более общем смысле, фундаментальный группоид X на множестве S ограничивает фундаментальный группоид точками, которые лежат как в X, так и в S . Это позволяет обобщить теорему Ван Кампена, используя две базовые точки для вычисления фундаментальной группы окружности. [1]
Как следует из его названия, фундаментальный группоид X естественным образом имеет структуру группоида . В частности, он образует категорию; объекты берутся как точки X , а набор морфизмов от p до q — это набор классов эквивалентности, приведенных выше. Тот факт, что это удовлетворяет определению категории, сводится к стандартному факту , что класс эквивалентности конкатенации двух путей зависит только от классов эквивалентности отдельных путей. [2] Аналогично, тот факт, что эта категория является группоидом, который утверждает, что каждый морфизм обратим, сводится к стандартному факту, что можно изменить ориентацию пути, и класс эквивалентности полученной конкатенации содержит постоянный путь. [3]
Обратите внимание , что фундаментальный группоид назначает упорядоченной паре ( p , p ) фундаментальную группу X , основанную на p .
Если задано топологическое пространство X , то компоненты путевой связности X естественным образом кодируются в его фундаментальном группоиде; наблюдение состоит в том, что p и q находятся в одном и том же компоненте путевой связности X тогда и только тогда, когда набор классов эквивалентности непрерывных путей от p до q непуст. В категориальных терминах утверждение состоит в том, что объекты p и q находятся в одном и том же компоненте группоида тогда и только тогда, когда набор морфизмов от p до q непуст. [4]
Предположим, что X является путе-связным, и зафиксируем элемент p из X. Можно рассматривать фундаментальную группу π 1 ( X , p ) как категорию; есть один объект, и морфизмы из него в себя являются элементами π 1 ( X , p ) . Выбор для каждого q в M непрерывного пути от p до q позволяет использовать конкатенацию для рассмотрения любого пути в X как цикла, основанного на p . Это определяет эквивалентность категорий между π 1 ( X , p ) и фундаментальным группоидом X . Точнее, это показывает π 1 ( X , p ) как скелет фундаментального группоида X . [5]
Фундаментальный группоид (линейно связного) дифференцируемого многообразия X на самом деле является группоидом Ли , возникающим как калибровочный группоид универсального покрытия X. [6 ]
Для топологического пространства X локальная система является функтором из фундаментального группоида X в категорию. [7] Как важный частный случай, связка (абелевых) групп на X является локальной системой, оцененной в категории (абелевых) групп. Это означает, что связка групп на X сопоставляет группу G p каждому элементу p из X и сопоставляет групповой гомоморфизм G p → G q каждому непрерывному пути от p до q . Для того чтобы быть функтором, эти групповые гомоморфизмы должны быть совместимы с топологической структурой, так что гомотопические пути с фиксированными конечными точками определяют тот же гомоморфизм; кроме того, групповые гомоморфизмы должны составляться в соответствии с конкатенацией и инверсией путей. [8] Можно определить гомологии с коэффициентами в связке абелевых групп. [9]
Когда X удовлетворяет определенным условиям, локальную систему можно эквивалентно описать как локально постоянный пучок .
Гипотеза гомотопии , известная гипотеза в теории гомотопии, сформулированная Александром Гротендиком , утверждает, что подходящее обобщение фундаментального группоида, известное как фундаментальный ∞-группоид , охватывает всю информацию о топологическом пространстве с точностью до слабой гомотопической эквивалентности .
