Обобщенная теорема Стокса

Заявление об интегрировании на многообразиях

В векторном исчислении и дифференциальной геометрии обобщенная теорема Стокса (иногда с апострофом как теорема Стокса или теорема Стокса ), также называемая теоремой Стокса–Картана , ^[1] представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях , которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем из векторного исчисления . В частности, основная теорема исчисления является частным случаем, когда многообразие является отрезком прямой , теорема Грина и теорема Стокса являются случаями поверхности в или , а теорема о дивергенции является случаем объема в ^[2] Поэтому теорему иногда называют основной теоремой многомерного исчисления . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Теорема Стокса утверждает, что интеграл дифференциальной формы по границе некоторого ориентируемого многообразия равен интегралу ее внешней производной по всему , т.е. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\operatorname {d} \omega \,.}$$

Теорема Стокса была сформулирована в ее современной форме Эли Картаном в 1945 году ^[4] после более ранних работ по обобщению теорем векторного исчисления Вито Вольтерры , Эдуарда Гурса и Анри Пуанкаре . ^{[5] [6]}

Эта современная форма теоремы Стокса является обширным обобщением классического результата , который лорд Кельвин сообщил Джорджу Стоксу в письме от 2 июля 1850 года. ^{[7] [8] [9]} Стокс сформулировал теорему как вопрос на экзамене на премию Смита 1854 года , что привело к получению результата, носящего его имя. Впервые она была опубликована Германом Ганкелем в 1861 году. ^{[9] [10]} Этот классический случай связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля по поверхности (то есть поток ) в евклидовом трехмерном пространстве с линейным интегралом векторного поля по границе поверхности. ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$

Введение

Вторая основная теорема исчисления гласит, что интеграл функции по интервалу можно вычислить , найдя первообразную : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

Теорема Стокса является обширным обобщением этой теоремы в следующем смысле.

• По выбору , . На языке дифференциальных форм это означает, что является внешней производной 0-формы, т.е. функции, : другими словами, что . Общая теорема Стокса применима к дифференциальным формам более высокой степени , а не только к 0-формам, таким как . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)\,dx}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF=f\,dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle F}$
• Замкнутый интервал — это простой пример одномерного многообразия с границей . Его границей является множество, состоящее из двух точек и . Интегрирование по интервалу может быть обобщено до интегрирования форм на многообразии более высокой размерности. Необходимы два технических условия: многообразие должно быть ориентируемым , а форма должна иметь компактный носитель , чтобы дать хорошо определенный интеграл. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$
• Две точки и образуют границу замкнутого интервала. В более общем смысле теорема Стокса применима к ориентированным многообразиям с границей. Граница сама по себе является многообразием и наследует естественную ориентацию от границы . Например, естественная ориентация интервала дает ориентацию двух граничных точек. Интуитивно, наследует противоположную ориентацию как , поскольку они находятся на противоположных концах интервала. Таким образом, «интегрирование» по двум граничным точкам , заключается в том, чтобы взять разность . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$

Еще проще говоря, можно рассматривать точки как границы кривых, то есть как 0-мерные границы 1-мерных многообразий. Таким образом, так же, как можно найти значение интеграла ( ) по 1-мерному многообразию ( ), рассматривая первообразную ( ) на 0-мерных границах ( ), можно обобщить основную теорему исчисления, с несколькими дополнительными оговорками, чтобы иметь дело со значением интегралов ( ) по -мерным многообразиям ( ), рассматривая первообразную ( ) на -мерных границах ( ) многообразия. ${\displaystyle f\,dx=dF}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Итак, основная теорема гласит: $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

Формулировка для гладких многообразий с краем

Пусть будет ориентированным гладким многообразием размерности с границей и пусть будет гладкой дифференциальной формой , которая компактно носит на . Сначала предположим, что компактно носит в области одной ориентированной координатной карты . В этом случае мы определяем интеграл по как т.е. через обратный путь к . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{U,\varphi \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В более общем смысле интеграл по определяется следующим образом: пусть будет разбиением единицы, связанным с локально конечным покрытием (согласованно ориентированных) координатных карт, затем определите интеграл , где каждый член в сумме оценивается путем подтягивания назад к , как описано выше. Эта величина хорошо определена; то есть она не зависит ни от выбора координатных карт, ни от разбиения единицы. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ ${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обобщенная теорема Стокса гласит:

Теорема  ( Стокса–Картана )  —  Пусть — гладкая форма с компактным носителем на ориентированном -мерном многообразии с краем , где задана индуцированная ориентация. Тогда ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega .}$$

Вот внешняя производная , которая определяется только с использованием структуры многообразия. Правая часть иногда записывается как , чтобы подчеркнуть тот факт, что -многообразие не имеет границы. ^{[примечание 1]} (Этот факт также является следствием теоремы Стокса, поскольку для заданного гладкого -мерного многообразия применение теоремы дважды дает для любой -формы , что подразумевает, что .) Правая часть уравнения часто используется для формулировки интегральных законов; левая часть затем приводит к эквивалентным дифференциальным формулировкам (см. ниже). ${\displaystyle d}$ ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle (n-2)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$

Теорема часто применяется в ситуациях, когда является вложенным ориентированным подмногообразием некоторого большего многообразия, часто , на котором определена форма . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \omega }$

Топологические предварительные сведения; интегрирование по цепям

Пусть M — гладкое многообразие . (Гладкий) сингулярный k -симплекс в M определяется как гладкое отображение из стандартного симплекса в R k в M . Группа C k ( M , Z ) сингулярных k -цепей на ^M определяется как свободная абелева _группа на множестве сингулярных k -симплексов в M . Эти группы вместе с граничным отображением ∂ определяют цепной комплекс . Соответствующая группа гомологий (соответственно, когомологий) изоморфна обычной сингулярной группе гомологий H _k ( M , Z ) (соответственно, сингулярной группе когомологий H ^k ( M , Z ) ), определенной с использованием непрерывных, а не гладких симплексов в M .

С другой стороны, дифференциальные формы с внешней производной d в качестве связующего отображения образуют коцепной комплекс, который определяет группы когомологий де Рама . ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$

Дифференциальные k -формы могут быть интегрированы по k -симплексу естественным образом, путем оттягивания назад к R ^k . Расширение по линейности позволяет интегрировать по цепям. Это дает линейное отображение из пространства k -форм в k -ю группу сингулярных коцепей, C ^k ( M , Z ) , линейных функционалов на C _k ( M , Z ) . Другими словами, k -форма ω определяет функционал на k -цепях. Теорема Стокса гласит, что это цепное отображение из когомологий де Рама в сингулярные когомологии с действительными коэффициентами; внешняя производная, d , ведет себя как двойственная к ∂ на формах. Это дает гомоморфизм из когомологий де Рама в сингулярные когомологии. На уровне форм это означает: $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$

1. замкнутые формы, т.е. dω = 0 , имеют нулевой интеграл по границам , т.е. по многообразиям, которые можно записать как ∂Σ _c M _c , и
2. Точные формы, т. е. ω = dσ , имеют нулевой интеграл по циклам , т. е. если границы в сумме дают пустое множество: ∂Σ _c M _c = ∅ .

Теорема де Рама показывает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом . Поэтому обратные к 1 и 2 выше утверждения верны. Другими словами, если { c _i } — циклы, порождающие k -ю группу гомологий, то для любых соответствующих действительных чисел { a _i } существует замкнутая форма ω такая, что и эта форма единственна с точностью до точных форм. $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$

Теорема Стокса о гладких многообразиях может быть выведена из теоремы Стокса для цепей в гладких многообразиях, и наоборот. ^[11] Формально последняя формулируется так: ^[12]

Теорема  ( теорема Стокса для цепей )  —  Если c — гладкая k -цепь в гладком многообразии M , а ω — гладкая ( k − 1) -форма на M , то $${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}d\omega .}$$

Основной принцип

Чтобы упростить эти топологические аргументы, стоит рассмотреть базовый принцип, рассмотрев пример для d = 2 измерений. Основная идея может быть понята по диаграмме слева, которая показывает, что в ориентированной мозаике многообразия внутренние пути проходятся в противоположных направлениях; их вклады в интеграл по путям, таким образом, попарно отменяют друг друга. Как следствие, остается только вклад от границы. Таким образом, достаточно доказать теорему Стокса для достаточно тонких мозаик (или, что то же самое, симплексов ), что обычно несложно.

Пример классического векторного анализа

Пусть будет кусочно- гладкой жордановой плоской кривой . Теорема о жордановой кривой подразумевает, что делится на две компоненты, компактную и некомпактную. Пусть обозначает компактную часть, которая ограничена и предположим, что является гладкой, причем . Если - пространственная кривая, определяемая ^{[примечание 2]} и - гладкое векторное поле на , то: ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S=\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

Это классическое утверждение является частным случаем общей формулировки после отождествления векторного поля с 1-формой и его ротора с 2-формой посредством $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

Обобщение до грубых множеств

Область (здесь называемая D вместо Ω ) с кусочно-гладкой границей. Это многообразие с углами , поэтому его граница не является гладким многообразием.

Формулировка выше, в которой есть гладкое многообразие с границей, недостаточна во многих приложениях. Например, если область интегрирования определяется как плоская область между двумя -координатами и графиками двух функций, часто будет случаться, что область имеет углы. В таком случае угловые точки означают, что не есть гладкое многообразие с границей, и поэтому приведенное выше утверждение теоремы Стокса неприменимо. Тем не менее, можно проверить, что заключение теоремы Стокса по-прежнему верно. Это потому, что и его граница хорошо ведут себя вдали от небольшого набора точек ( множества меры нуль ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Версия теоремы Стокса, которая допускает грубость, была доказана Уитни. ^[16] Предположим, что — связное ограниченное открытое подмножество . Назовем стандартной областью , если она удовлетворяет следующему свойству: существует подмножество , открытое в , дополнение которого в имеет нулевую меру Хаусдорфа ; и такое, что каждая точка имеет обобщенный нормальный вектор . Это вектор такой, что если выбрана система координат так, что — первый базисный вектор, то в открытой окрестности вокруг существует гладкая функция такая, что — график , а — область . Уитни замечает, что граница стандартной области — это объединение множества нулевой меры Хаусдорфа и конечного или счетного объединения гладких -многообразий, каждое из которых имеет область только с одной стороны. Затем он доказывает, что если — стандартная область в , — -форма, которая определена, непрерывна и ограничена на , гладка на , интегрируема на и такая, что интегрируема на , то теорема Стокса верна, то есть ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D\cup P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

Изучение свойств мерной теории грубых множеств приводит к геометрической теории меры . Еще более общие версии теоремы Стокса были доказаны Федерером и Харрисоном. ^[17]

Особые случаи

Общая форма теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм более мощна и проста в использовании, чем частные случаи. Традиционные версии могут быть сформулированы с использованием декартовых координат без использования техники дифференциальной геометрии, и, таким образом, более доступны. Кроме того, они старше, и их названия в результате более знакомы. Традиционные формы часто считаются более удобными практикующими учеными и инженерами, но неестественность традиционной формулировки становится очевидной при использовании других систем координат, даже таких знакомых, как сферические или цилиндрические координаты. Существует потенциальная возможность путаницы в способе применения названий и использовании двойственных формулировок.

Классический (векторное исчисление) случай

Иллюстрация теоремы Стокса векторного исчисления с поверхностью , ее границей и «нормальным» вектором n . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Это (дуализированный) (1 + 1)-мерный случай для 1-формы (дуализированный, потому что это утверждение о векторных полях ). Этот особый случай часто называют просто теоремой Стокса во многих вводных университетских курсах векторного исчисления, и он используется в физике и технике. Иногда его также называют теоремой о локонах .

Классическая теорема Стокса связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля по поверхности в евклидовом трехмерном пространстве с линейным интегралом векторного поля по его границе. Это частный случай общей теоремы Стокса (с ), как только мы отождествляем векторное поле с 1-формой, используя метрику в евклидовом трехмерном пространстве. Кривая линейного интеграла, , должна иметь положительную ориентацию , то есть направлена ​​против часовой стрелки, когда нормаль к поверхности , , направлена ​​к наблюдателю. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle n}$

Одним из следствий этой теоремы является то, что линии поля векторного поля с нулевым ротором не могут быть замкнутыми контурами. Формулу можно переписать как:

Теорема  —  Предположим, что определено в области с гладкой поверхностью и имеет непрерывные частные производные первого порядка . Тогда где и являются компонентами , а является границей области . ${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Теорема Грина

Теорема Грина сразу же узнаваема как третья подынтегральная функция обеих частей интеграла в терминах P , Q и R, приведенного выше.

В электромагнетизме

Два из четырех уравнений Максвелла включают в себя вихри 3-мерных векторных полей, а их дифференциальные и интегральные формы связаны специальным 3-мерным (векторное исчисление) случаем теоремы Стокса . Необходимо соблюдать осторожность, чтобы избежать случаев с движущимися границами: частичные производные по времени предназначены для исключения таких случаев. Если включены движущиеся границы, то перестановка интегрирования и дифференцирования вводит термины, связанные с движением границы, не включенные в результаты ниже (см. Дифференцирование под знаком интеграла ):

Вышеперечисленное подмножество уравнений Максвелла справедливо для электромагнитных полей, выраженных в единицах СИ . В других системах единиц, таких как СГС или гауссовы единицы , масштабные коэффициенты для членов отличаются. Например, в гауссовых единицах закон индукции Фарадея и закон Ампера принимают формы: ^{[18] [19]} соответственно, где c — скорость света в вакууме. $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$

Теорема о дивергенции

Аналогично, теорема о расходимости является частным случаем, если мы отождествляем векторное поле с -формой , полученной путем сжатия векторного поля с евклидовой формой объема. Применение этого случая - случай, когда - произвольный постоянный вектор. Вычисление расходимости произведения дает Поскольку это справедливо для всех, мы находим $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}=f{\vec {c}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\vec {c}}\cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }={\vec {c}}\cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$

Объемный интеграл градиента скалярного поля

Пусть — скалярное поле . Тогда где — вектор нормали к поверхности в данной точке. ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f=\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Доказательство: Пусть будет вектором. Тогда Поскольку это справедливо для любого (в частности, для любого базисного вектора ), результат следует. ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {c}}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}\cdot {\vec {c}}f&{\text{by the divergence theorem}}\\&=\int _{\Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-{\vec {c}}\cdot \int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \left(\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Лемма Чандрасекара–Вентцеля

Сноски

1. Для математиков этот факт известен, поэтому окружность излишняя и часто опускается. Однако здесь следует иметь в виду, что в термодинамике , где часто появляются выражения типа (где полную производную, см. ниже, не следует путать с внешней), путь интегрирования представляет собой одномерную замкнутую линию на многообразии гораздо большей размерности. То есть, в термодинамическом приложении, где является функцией температуры , объема и электрической поляризации образца, имеем и окружность действительно необходима, например, если рассматривать дифференциальные следствия интегрального постулата ${\displaystyle \oint _{W}\{{\text{d}}_{\text{total}}U\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=T}$ ${\displaystyle \alpha _{2}=V}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=P}$ $${\displaystyle \{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,}$$ $${\displaystyle \oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.}$$
2. и обе являются петлями, однако не обязательно являются кривой Жордана ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Ссылки

1. Мишель Муазан; Жак Пеллетье. Физика столкновительной плазмы – Введение в. Springer.
2. «Человек, который решил рынок», Грегори Цукерман, Портфолио ноябрь 2019, ASIN: B07P1NNTSD
3. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления . Нью-Йорк: Avalon Publishing. ISBN 0-8053-9021-9. OCLC  187146.
4. Картан, Эли (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques . Париж: Германн.
5. Кац, Виктор Дж. (1979-01-01). «История теоремы Стокса». Mathematics Magazine . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
6. Katz, Victor J. (1999). "5. Дифференциальные формы". В James, IM (ред.). История топологии . Амстердам: Elsevier. стр. 111–122. ISBN 9780444823755.
7. См.:
   • Katz, Victor J. (май 1979). «История теоремы Стокса». Mathematics Magazine . 52 (3): 146–156. doi :10.1080/0025570x.1979.11976770.
   • Письмо Томсона Стоуксу появляется в: Томсон, Уильям ; Стоукс, Джордж Габриэль (1990). Уилсон, Дэвид Б. (ред.). Переписка между сэром Джорджем Габриэлем Стоуксом и сэром Уильямом Томсоном, бароном Кельвином из Ларгса, том 1: 1846–1869. Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 96–97. ISBN 9780521328319.
   • Ни Томсон, ни Стоукс не опубликовали доказательство теоремы. Первое опубликованное доказательство появилось в 1861 г. в: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [ К общей теории движения жидкостей ]. Геттинген, Германия: Дитеришский университет Бухдрукерай. стр. 34–37.Ганкель не упоминает автора теоремы.
   • В сноске Лармор упоминает более ранних исследователей, которые интегрировали по поверхности ротор векторного поля. См.: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William (ред.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, England: University of Cambridge Press. pp. 320–321.
8. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, Англия: OUP Oxford. стр. 146. ISBN 0198505930.
9. Спивак (1965), стр. vii, Предисловие.
10. См.:
    • Экзамен на премию Смита 1854 года доступен онлайн по адресу: Clerk Maxwell Foundation. Максвелл сдал этот экзамен и разделил первое место с Эдвардом Джоном Раутом . См.: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ред.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 237, сноска 2. ISBN 9780521256254.См. также премию Смита или Фонд Клерка Максвелла.
    • Клерк Максвелл, Джеймс (1873). Трактат об электричестве и магнетизме. Т. 1. Оксфорд, Англия: Clarendon Press. С. 25–27.В сноске на странице 27 Максвелл упоминает, что Стокс использовал эту теорему в качестве вопроса 8 на экзамене на премию Смита 1854 года. Эта сноска, по-видимому, стала причиной того, что теорема стала известна как «теорема Стокса».
11. Рентельн, Пол (2014). Многообразия, тензоры и формы . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. С. 158–175. ISBN 9781107324893.
12. Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Нью-Йорк: Springer. стр. 481. ISBN 9781441999818.
13. Стюарт, Джеймс (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Коул.
14. Это доказательство основано на заметках лекций профессора Роберта Шейхла ( Университет Бата , Великобритания) [1], см. [2]
15. «Это доказательство также совпадает с доказательством, показанным в».
16. Уитни, Геометрическая теория интегрирования, III.14.
17. Харрисон, Дж. (октябрь 1993 г.). «Теорема Стокса для негладких цепей». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 29 (2): 235–243. arXiv : math/9310231 . Bibcode :1993math.....10231H. doi :10.1090/S0273-0979-1993-00429-4. S2CID  17436511.
18. Джексон, Дж. Д. (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9780471431329.
19. Борн, М.; Вольф, Э. (1980). Принципы оптики (6-е изд.). Кембридж, Англия: Cambridge University Press.

Дальнейшее чтение

• Грунский, Хельмут (1983). Общая теорема Стокса . Бостон: Pitman. ISBN 0-273-08510-7.
• Katz, Victor J. (май 1979). «История теоремы Стокса». Mathematics Magazine . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
• Лумис, Линн Гарольд ; Стернберг, Шломо (2014). Advanced Calculus. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib ; Tornehave, Jørgen (1997). От исчисления к когомологиям: когомологии Де Рама и характеристические классы. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58956-8.
• Марсден, Джерролд Э .; Энтони, Тромба (2003). Векторные исчисления (5-е изд.). W. H. Freeman.
• Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления . Сан-Франциско: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
• Стюарт, Джеймс (2009). Исчисление: концепции и контексты. Cengage Learning. стр. 960–967. ISBN 978-0-495-55742-5.
• Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление: Ранние трансцендентные функции (5-е изд.). Брукс/Коул.
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Внешние ссылки

• «Формула Стокса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы о дивергенции и теоремы Стокса
• Исчисление 3 – Теорема Стокса от lamar.edu – пояснительное объяснение