n-вектор

Представление n -вектора (также называемое геодезической нормалью или вектором нормали эллипсоида ) — это трехпараметрическое неособое представление, хорошо подходящее для замены геодезических координат ( широты и долготы ) для представления горизонтального положения в математических расчетах и ​​компьютерных алгоритмах.

Геометрически n -вектор для данной позиции на эллипсоиде - это направленный наружу единичный вектор , который в этом положении нормален к эллипсоиду. Для представления горизонтальных положений на Земле эллипсоид является эталонным эллипсоидом , а вектор разлагается в геоцентрической фиксированной на Земле системе координат . Он ведет себя плавно во всех положениях Земли и сохраняет свойство математической взаимно однозначности .

В более общем смысле, эта концепция может применяться для представления позиций на границе строго выпуклого ограниченного подмножества k -мерного евклидова пространства при условии, что эта граница является дифференцируемым многообразием . В этом общем случае n -вектор состоит из k параметров.

Общие свойства

Вектор нормали к строго выпуклой поверхности можно использовать для однозначного определения положения поверхности. n -вектор — это направленный наружу нормальный вектор с единичной длиной, используемый в качестве представления положения. ^[1]

Для большинства приложений поверхность является эталонным эллипсоидом Земли, и поэтому n -вектор используется для представления горизонтального положения. Следовательно, угол между n -вектором и плоскостью экватора соответствует геодезической широте , как показано на рисунке.

Направление n -вектора соответствует геодезической широте.

Положение поверхности имеет две степени свободы , поэтому двух параметров достаточно для представления любого положения на поверхности. На эталонном эллипсоиде общими параметрами для этой цели являются широта и долгота , но, как и все двухпараметрические представления , они имеют особенности . Это похоже на ориентацию , которая имеет три степени свободы, но все трехпараметрические представления имеют особенности. ^[2] В обоих случаях сингулярностей можно избежать, добавляя дополнительный параметр, т.е. используя n -вектор (три параметра) для представления горизонтального положения и единичный кватернион (четыре параметра) для представления ориентации .

n -вектор представляет собой представление «один к одному» , что означает, что любая позиция на поверхности соответствует одному уникальному n- вектору, а любой n -вектор соответствует одной уникальной позиции на поверхности.

В качестве евклидова 3D-вектора для вычислений положения можно использовать стандартную 3D- векторную алгебру , и это делает n -вектор хорошо подходящим для большинства вычислений горизонтального положения.

Преобразование широты/долготы вн-вектор

Основываясь на определении системы координат ECEF , называемой e , становится ясно, что переход от широты/долготы к n -вектору достигается путем:

${\displaystyle \mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{matrix}\cos(\mathrm {latitude} )\cos(\mathrm {longitude} )\\\cos(\mathrm {latitude} )\sin(\mathrm {longitude} )\\\sin(\mathrm {latitude} )\\\end{matrix}}\right]}$

Верхний индекс e означает, что n -вектор разложен в системе координат e (т.е. первая компонента представляет собой скалярную проекцию n - вектора на ось x e , вторая на ось y e и т. д.). Обратите внимание, что уравнение является точным как для сферической, так и для эллипсоидной модели Земли.

Преобразованиен-вектор к широте/долготе

Из трех компонентов n -вектора, , и широту можно найти с помощью: ${\displaystyle n_{x}^{e}}$ ${\displaystyle n_{y}^{e}}$ ${\displaystyle n_{z}^{e}}$

${\displaystyle \mathrm {latitude} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)}$

Крайнее правое выражение лучше всего подходит для реализации компьютерной программы. ^[1]

Долготу можно найти с помощью:

${\displaystyle \mathrm {longitude} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)}$

В этих выражениях следует реализовать вызов atan2 ( y , x ). Полюсная особенность долготы очевидна, поскольку atan2 ( 0,0) не определен. Отметим, что уравнения точны как для сферической, так и для эллипсоидной модели Земли. ${\displaystyle \arctan(y/x)}$

Пример: расстояние по большому кругу.

Нахождение расстояния по большому кругу между двумя горизонтальными положениями (при условии, что Земля имеет сферическую форму) обычно выполняется с помощью широты и долготы. Распространены три разных выражения для этого расстояния; первый основан на arccos , второй — на arcsin , а последний — на arctan . Выражения, которые последовательно усложняются, чтобы избежать числовой нестабильности , найти непросто, и, поскольку они основаны на широте и долготе, особенности полюсов могут стать проблемой. Они также содержат дельты широты и долготы, которые обычно следует использовать с осторожностью вблизи меридиана ± 180 ° и полюсов.

Решение той же задачи с помощью n -вектора проще благодаря возможности использования векторной алгебры . Выражение arccos получается из скалярного произведения , а величина векторного произведения дает выражение arcsin. Объединение этих двух значений дает выражение арктанса: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}}$

где и — n -векторы, представляющие две позиции a и b . - это угловая разность, и, таким образом, расстояние по большому кругу достигается путем умножения на радиус Земли. Это выражение также работает на полюсах и на меридиане ±180°. ${\displaystyle \mathbf {n} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{b}}$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$

Есть еще несколько примеров, когда использование векторной алгебры упрощает стандартные задачи. ^[1] Для общего сравнения различных представлений см. страницу с изображениями горизонтального положения .

Смотрите также

• Пути секции земли
• Представление горизонтального положения
• Широта
• Долгота
• Универсальная поперечная система координат Меркатора
• Кватернион

Рекомендации

1. Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Издательство Кембриджского университета: 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G. дои : 10.1017/S0373463309990415.
2. Стуэльпнагель, Джон (1964). «О параметризации группы трехмерного вращения». Обзор СИАМ . 6 (4). Общество промышленной и прикладной математики: 422–430. Бибкод : 1964SIAMR...6..422S. дои : 10.1137/1006093. JSTOR  2027966.

Внешние ссылки

• Решение 10 задач с помощью n-вектора