Групповая скорость

Частотная дисперсия в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. красный квадрат движется с фазовой скоростью , а зеленые круги распространяются с групповой скоростью. В этом случае на большой глубине фазовая скорость в два раза больше групповой скорости . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо по рисунку.

Новые волны, по-видимому, возникают в конце группы волн, увеличиваются в амплитуде, пока не оказываются в центре группы, и исчезают в ее передней части.

Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.

Групповая скорость волны — это скорость , с которой общая огибающая амплитуд волны , известная как модуляция или огибающая волны, распространяется в пространстве.

Например, если бросить камень в середину очень спокойного пруда, в воде появится круговой рисунок волн с неподвижным центром, также известный как капиллярная волна . Расширяющееся кольцо волн — это волновая группа или волновой пакет , внутри которого можно различить отдельные волны, которые движутся быстрее, чем вся группа в целом. Амплитуды отдельных волн растут по мере того, как они выходят из заднего края группы, и уменьшаются по мере приближения к переднему краю группы.

История

Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было дано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году. ^[2]

Определение и толкование

Групповая скорость $v g$ определяется уравнением: ^[3]^[4]^[5]^[6]

v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,

где $ω$ — угловая частота волны (обычно выражается в радианах в секунду ), а $k$ — угловое волновое число (обычно выражается в радианах на метр). Фазовая скорость равна: $v p = ω / k$ .

Функция ω $($ $k$ $)$ , которая определяет $ω$ как функцию $k$ $,$ известна как дисперсионное соотношение .

Если $ω$ прямо пропорционально k , то групповая скорость в точности равна фазовой скорости. Волна любой формы будет распространяться неискаженной с этой скоростью $.$
Если ω является линейной функцией k , но не прямо пропорциональной $(ω = ak + b)$ , то групповая скорость и фазовая скорость различны. Огибающая волнового пакета (см. рисунок справа) будет перемещаться с групповой скоростью, в то время как отдельные пики и впадины внутри огибающей будут перемещаться с фазовой скоростью.
Если $ω$ не является линейной функцией $k$ , огибающая волнового пакета будет искажаться по мере его перемещения. Поскольку волновой пакет содержит диапазон различных частот (и, следовательно, различных значений $k$ ), групповая скорость $\partialω/\partialk$ будет различной для различных значений $k$ . Следовательно, огибающая не движется с единой скоростью, но ее компоненты волнового числа ( $k$ ) движутся с разными скоростями, искажая огибающую. Если волновой пакет имеет узкий диапазон частот, а $ω (k)$ приблизительно линейна в этом узком диапазоне, искажение импульса будет небольшим по сравнению с небольшой нелинейностью. См. дальнейшее обсуждение ниже. Например, для глубоководных гравитационных волн , , и, следовательно, $v$ $g$ $=$ $v$ $p$ $/2$ . ${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$
Это лежит в основе модели следа Кельвина для носовой волны всех кораблей и плавающих объектов. Независимо от того, насколько быстро они движутся, пока их скорость постоянна, с каждой стороны след образует угол 19,47° = arcsin(1/3) с линией движения. ^[7]

Вывод

Один из выводов формулы для групповой скорости выглядит следующим образом. ^[8]^[9]

Рассмотрим волновой пакет как функцию положения $x$ и времени $t : α (x, t)$ .

Пусть $A (k)$ — его преобразование Фурье в момент времени $t = 0$ ,

\alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.

По принципу суперпозиции волновой пакет в любой момент времени $t$ равен

\alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},

где $ω$ неявно является функцией $k$ .

Предположим , что волновой пакет $α$ почти монохроматичен , так что $A (k)$ имеет острый пик около центрального волнового числа $k0 .$

Тогда линеаризация дает

\omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}

где

\omega _{0}=\omega (k_{0})

\omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}

(см. следующий раздел для обсуждения этого шага). Затем, после некоторой алгебры,

\alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.

В этом выражении есть два фактора. Первый фактор, , описывает идеальную монохроматическую волну с волновым вектором $k$ $0$ , с пиками и впадинами, движущимися с фазовой скоростью внутри огибающей волнового пакета. $e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}$ $\omega _{0}/k_{0}$

Другой фактор,

\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}

дает огибающую волнового пакета. Эта огибающая функция зависит от положения и времени только через комбинацию . $(x-\omega '_{0}t)$

Следовательно, огибающая волнового пакета распространяется со скоростью

\omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,

что объясняет формулу групповой скорости.

Другие выражения

Для света показатель преломления $n$ , длина волны в вакууме $λ 0$ и длина волны в среде $λ$ связаны соотношением

\lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},

при $v p = ω / k$ фазовая скорость .

Таким образом, групповую скорость можно рассчитать по любой из следующих формул:

{\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial к}}.\end{выровнено}}

Дисперсия

Искажение групп волн за счет дисперсионных эффектов более высокого порядка для поверхностных гравитационных волн на глубокой воде (при

v g = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ в п

Это показывает суперпозицию трех волновых компонентов — с 22, 25 и 29 длинами волн соответственно, помещающимися в периодическую горизонтальную область длиной 2 км. Амплитуды волн компонентов составляют соответственно 1, 2 и 1 метр.

Частью предыдущего вывода является аппроксимация ряда Тейлора , которая:

\omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})

Если волновой пакет имеет относительно большой разброс частот или если дисперсия $ω(k)$ имеет резкие изменения (например, из-за резонанса ), или если пакет распространяется на очень большие расстояния, это предположение недействительно, и члены более высокого порядка в разложении Тейлора становятся важными.

В результате огибающая волнового пакета не только перемещается, но и искажается, что можно описать дисперсией групповой скорости материала . Грубо говоря, различные частотные компоненты волнового пакета движутся с разной скоростью, причем более быстрые компоненты движутся к передней части волнового пакета, а более медленные — к задней. В конце концов, волновой пакет растягивается. Это важный эффект при распространении сигналов по оптоволокну и при проектировании мощных короткоимпульсных лазеров.

Связь с фазовой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи

Суперпозиция одномерных плоских волн (синего цвета), каждая из которых распространяется с различной фазовой скоростью (обведена синими точками), приводит к образованию гауссовского волнового пакета (красного цвета), который распространяется с групповой скоростью (обведена красной линией).

Групповая скорость совокупности волн определяется как

v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.

Когда несколько синусоидальных волн распространяются вместе, результирующая суперпозиция волн может привести к образованию волны "конверта", а также волны "несущей", которая лежит внутри конверта. Это обычно происходит в беспроводной связи, когда для передачи данных используется модуляция (изменение амплитуды и/или фазы). Чтобы получить некоторое интуитивное представление об этом определении, мы рассмотрим суперпозицию (косинусоидальных) волн $f(x, t)$ с их соответствующими угловыми частотами и волновыми векторами.

{\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}

Итак, мы имеем произведение двух волн: огибающей волны, образованной $f$ $1$ , и несущей волны, образованной $f$ $2$ . Мы называем скорость огибающей волны групповой скоростью. Мы видим, что фазовая скорость $f$ $1$ равна

{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.

В случае непрерывного дифференциала это становится определением групповой скорости.

В контексте электромагнетизма и оптики частота является некоторой функцией $ω (k)$ волнового числа, поэтому в общем случае фазовая скорость и групповая скорость зависят от конкретной среды и частоты. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью v _p известно как показатель преломления , $n = c / v p = ck / ω$ .

Таким образом, мы можем получить другую форму для групповой скорости для электромагнетизма. Записывая $n$ $=$ $n$ $(ω)$ , быстрый способ вывести эту форму — наблюдать

k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .

Затем мы можем переставить вышесказанное, чтобы получить

v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.

Из этой формулы видно, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления не зависит от частоты . В этом случае среда называется недисперсионной, в отличие от дисперсионной , где различные свойства среды зависят от частоты

ω

. Это соотношение известно как дисперсионное соотношение среды.

{\textstyle \partial n/\partial \omega =0}

\omega (k)

В трех измерениях

Для волн, распространяющихся в трех измерениях, таких как световые волны, звуковые волны и волны материи, формулы для фазовой и групповой скорости обобщаются простым образом: ^[10]

Одно измерение: $v_{\rm {p}}=\omega /k,\quad v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,$
Три измерения: $(v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,$

где означает градиент угловой частоты $ω$ как функцию волнового вектора , а — единичный вектор в направлении k . ${\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega$ $\mathbf {k}$ ${\hat {\mathbf {k} }}$

Если волны распространяются через анизотропную (т.е. не имеющую вращательной симметрии) среду, например кристалл , то вектор фазовой скорости и вектор групповой скорости могут быть направлены в разные стороны.

В потерях или выгодах

Групповая скорость часто рассматривается как скорость, с которой энергия или информация передаются вдоль волны. В большинстве случаев это верно, и групповую скорость можно рассматривать как скорость сигнала формы волны . Однако, если волна распространяется через поглощающую или усиливающую среду, это не всегда выполняется. В этих случаях групповая скорость может не быть четко определенной величиной или не быть значимой величиной.

В своем тексте «Распространение волн в периодических структурах» ^[11] Бриллюэн утверждал, что в среде с потерями групповая скорость перестает иметь ясный физический смысл. Пример, касающийся передачи электромагнитных волн через атомарный газ, приводит Лаудон. ^[12] Другой пример — механические волны в солнечной фотосфере : волны затухают (потоком лучистого тепла от пиков к впадинам), и в связи с этим скорость энергии часто существенно ниже групповой скорости волн. ^[13]

Несмотря на эту неоднозначность, распространенный способ расширить концепцию групповой скорости на комплексные среды состоит в том, чтобы рассмотреть пространственно затухающие плоские волновые решения внутри среды, которые характеризуются комплексным волновым вектором. Затем мнимая часть волнового вектора произвольно отбрасывается, и обычная формула для групповой скорости применяется к действительной части волнового вектора, т. е.

v_{\rm {g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.

Или, что эквивалентно, в терминах действительной части комплексного показателя преломления , $n = n + iκ$ , имеем ^[14]

{\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.

Можно показать, что это обобщение групповой скорости продолжает быть связанным с кажущейся скоростью пика волнового пакета. ^[15] Однако приведенное выше определение не является универсальным: в качестве альтернативы можно рассмотреть затухание стоячих волн во времени (действительное $k$ , комплексное $ω$ ) или позволить групповой скорости быть комплексной величиной. ^[16]^[17] Различные соображения дают различные скорости, однако все определения согласуются для случая среды без потерь и усиления.

Вышеуказанное обобщение групповой скорости для сложных сред может вести себя странно, и пример аномальной дисперсии служит хорошей иллюстрацией. На краях области аномальной дисперсии становится бесконечной (превосходя даже скорость света в вакууме) и может легко стать отрицательной (ее знак противоположен Re $k$ ) внутри полосы аномальной дисперсии. ^[18]^[19]^[20] $v_{\rm {g}}$ $v_{\rm {g}}$

Сверхсветовые групповые скорости

Начиная с 1980-х годов, различные эксперименты подтвердили, что групповая скорость (определенная выше) лазерных световых импульсов, посылаемых через материалы с потерями или материалы с усилением, может значительно превышать скорость света в вакууме $c$ . Также было замечено, что пики волновых пакетов движутся быстрее $c$ .

Однако во всех этих случаях нет возможности, что сигналы могли бы передаваться быстрее скорости света в вакууме , поскольку высокое значение $v$ _$g$ не помогает ускорить истинное движение острого волнового фронта, которое возникло бы в начале любого реального сигнала. По сути, кажущаяся сверхсветовой передача является артефактом узкополосного приближения, использованного выше для определения групповой скорости, и происходит из-за резонансных явлений в промежуточной среде. При анализе широкой полосы видно, что кажущаяся парадоксальной скорость распространения огибающей сигнала на самом деле является результатом локальной интерференции более широкой полосы частот в течение многих циклов, все из которых распространяются идеально причинно и с фазовой скоростью. Результат сродни тому факту, что тени могут перемещаться быстрее света, даже если вызывающий их свет всегда распространяется со скоростью света; поскольку измеряемое явление лишь слабо связано с причинностью, оно не обязательно соблюдает правила причинного распространения, даже если при нормальных обстоятельствах это так, и приводит к общей интуиции. ^[14]^[18]^[19]^[21]^[22]

Смотрите также

Ссылки

Примечания

^ Немировски, Джонатан; Рехтсман, Микаэль С; Сегев, Мордехай (9 апреля 2012 г.). «Отрицательное давление излучения и отрицательный эффективный показатель преломления через диэлектрическое двулучепреломление». Optics Express . 20 (8): 8907–8914. Bibcode : 2012OExpr..20.8907N. doi : 10.1364/OE.20.008907 . PMID 22513601.
^ Бриллюэн, Леон (1960), Распространение волн и групповая скорость , Нью-Йорк: Academic Press Inc., OCLC 537250
^ Бриллюэн, Леон (2003) [1946], Распространение волн в периодических структурах: электрические фильтры и кристаллические решетки , Довер, стр. 75, ISBN 978-0-486-49556-9
^ Лайтхилл, Джеймс (2001) [1978], Волны в жидкостях , Cambridge University Press, стр. 242, ISBN 978-0-521-01045-0
^ Лайтхилл (1965)
^ Хейс (1973)
^ GB Whitham (1974). Линейные и нелинейные волны (John Wiley & Sons Inc., 1974) стр. 409–410 Онлайн сканирование
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Prentice Hall . стр. 48. ISBN 9780131244054.
^ Дэвид К. Ферри (2001). Квантовая механика: Введение для физиков-приборов и инженеров-электриков (2-е изд.). CRC Press. стр. 18–19. Bibcode :2001qmid.book.....F. ISBN 978-0-7503-0725-3.
^ Динамика атмосферных и океанических жидкостей: основы и крупномасштабная циркуляция, Джеффри К. Валлис, стр. 239
^ Бриллюэн, Л. (1946). Распространение волн в периодических структурах. Нью-Йорк: McGraw Hill. стр. 75.
^ Лаудон, Р. (1973). Квантовая теория света . Оксфорд.
^ Уорралл, Г. (2012). «О влиянии радиационной релаксации на поток энергии механических волн в солнечной атмосфере». Solar Physics . 279 (1): 43–52. Bibcode : 2012SoPh..279...43W. doi : 10.1007/s11207-012-9982-z. S2CID 119595058.
^ ab Boyd, RW; Gauthier, DJ (2009). «Управление скоростью световых импульсов» (PDF) . Science . 326 (5956): 1074–7. Bibcode :2009Sci...326.1074B. CiteSeerX 10.1.1.630.2223 . doi :10.1126/science.1170885. PMID 19965419. S2CID 2370109.
^ Морин, Дэвид (2009). "Дисперсия" (PDF) . people.fas.harvard.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 2012-05-21 . Получено 2019-07-11 .
^ Muschietti, L.; Dum, CT (1993). "Действительная групповая скорость в среде с диссипацией". Physics of Fluids B: Plasma Physics . 5 (5): 1383. Bibcode :1993PhFlB...5.1383M. doi :10.1063/1.860877.
^ Герасик, Владимир; Штастна, Марек (2010). «Комплексная групповая скорость и перенос энергии в поглощающих средах». Physical Review E. 81 ( 5): 056602. Bibcode : 2010PhRvE..81e6602G. doi : 10.1103/PhysRevE.81.056602. PMID 20866345.
^ ab Dolling, Gunnar; Enkrich, Christian; Wegener, Martin; Soukoulis, Costas M.; Linden, Stefan (2006), "Одновременная отрицательная фаза и групповая скорость света в метаматериале", Science , 312 (5775): 892–894, Bibcode : 2006Sci...312..892D, doi : 10.1126/science.1126021, PMID 16690860, S2CID 29012046
^ ab Bigelow, Matthew S.; Lepeshkin, Nick N.; Shin, Heedeuk; Boyd, Robert W. (2006), «Распространение гладких и прерывистых импульсов через материалы с очень большими или очень малыми групповыми скоростями», Journal of Physics: Condensed Matter , 18 (11): 3117–3126, Bibcode : 2006JPCM...18.3117B, doi : 10.1088/0953-8984/18/11/017, S2CID 38556364
^ Withayachumnankul, W.; Fischer, BM; Ferguson, B.; Davis, BR; Abbott, D. (2010), «Систематический взгляд на распространение сверхсветовых волн», Труды IEEE , 98 (10): 1775–1786, doi :10.1109/JPROC.2010.2052910, S2CID 15100571
^ Gehring, George M.; Schweinsberg, Aaron; Barsi, Christopher; Kostinski, Natalie; Boyd, Robert W. (2006), «Наблюдение распространения обратного импульса через среду с отрицательной групповой скоростью», Science , 312 (5775): 895–897, Bibcode : 2006Sci...312..895G, doi : 10.1126/science.1124524, PMID 16690861, S2CID 28800603
^ Швайнсберг, А.; Лепешкин, Н. Н.; Бигелоу, М. С.; Бойд, Р. В.; Джарабо, С. (2005), «Наблюдение сверхсветового и медленного распространения света в оптоволокне, легированном эрбием» (PDF) , Europhysics Letters , 73 (2): 218–224, Bibcode : 2006EL.....73..218S, CiteSeerX 10.1.1.205.5564 , doi : 10.1209/epl/i2005-10371-0, S2CID 250852270 ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

Дальнейшее чтение

Crawford jr., Frank S. (1968). Волны (курс физики в Беркли, том 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Бесплатная онлайн-версия
Типлер, Пол А.; Ллевеллин, Ральф А. (2003), Современная физика (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
Биот, MA (1957), «Общие теоремы об эквивалентности групповой скорости и переноса энергии», Physical Review , 105 (4): 1129–1137, Bibcode : 1957PhRv..105.1129B, doi : 10.1103/PhysRev.105.1129
Whitham, GB (1961), «Групповая скорость и распространение энергии для трехмерных волн», Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 675–691, CiteSeerX 10.1.1.205.7999 , doi :10.1002/cpa.3160140337
Лайтхилл, М.Дж. (1965), «Групповая скорость», Журнал прикладной математики IMA , 1 (1): 1–28, doi :10.1093/imamat/1.1.1
Бретертон, Ф. П.; Гарретт, К. Дж. Р. (1968), «Волновые поезда в неоднородных движущихся средах», Труды Лондонского королевского общества , Серия A, Математические и физические науки, 302 (1471): 529–554, Bibcode : 1968RSPSA.302..529B, doi : 10.1098/rspa.1968.0034, S2CID 202575349
Хейс, У. Д. (1973), «Групповая скорость и нелинейное дисперсионное распространение волн», Труды Лондонского королевского общества , Серия A, Математические и физические науки, 332 (1589): 199–221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H, doi : 10.1098/rspa.1973.0021, S2CID 121521673
Whitham, GB (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley, ISBN 978-0471940906

Внешние ссылки

У Грега Эгана на сайте есть превосходный Java-апплет, иллюстрирующий очевидную разницу между групповой и фазовой скоростью .
У Мартена Амбаума есть веб-страница с фильмом, заархивированным 04.05.2019 на Wayback Machine, демонстрирующим важность групповой скорости для последующего развития погодных систем.
Фазовая и групповая скорости – различные соотношения фазовой и групповой скорости (анимация)