Полуцелое число

В математике полуцелое число — это число в форме , где — целое число. Например, все полуцелые числа . Название «полуцелое число», возможно, вводит в заблуждение, поскольку каждое целое число само по себе является половиной целого числа . Такое название, как «целое число плюс половина», может быть более точным, но, хотя это и не совсем так, «полуцелое число» — общепринятый термин. ^[^{необходима цитата}^] Полуцелые числа встречаются в математике и квантовой механике достаточно часто, поэтому отдельный термин удобен. $n+{\tfrac {1}{2}},$ $n$ $4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8,5$ $n$ $2n$

Обратите внимание, что деление целого числа пополам не всегда дает полуцелое число; это верно только для нечетных целых чисел . По этой причине полуцелые числа иногда называют полунечетными целыми числами . Полуцелые числа являются подмножеством двоичных рациональных чисел (чисел, полученных путем деления целого числа на степень двойки ). ^[1]

Нотация и алгебраическая структура

Множество всех полуцелых чисел часто обозначается . Целые числа и полуцелые числа вместе образуют группу относительно операции сложения, которую можно обозначить ^[2]. Однако эти числа не образуют кольца , поскольку произведение двух полуцелых чисел не является полуцелым числом; например, ^[3] Наименьшее кольцо, содержащее их , — это кольцо двоично-рациональных чисел . $\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.$ ${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$ $~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1} 2}}\mathbb {Z} ~.$ $\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]$

Характеристики

Сумма полуцелых чисел является полуцелым числом тогда и только тогда, когда нечетно. Это включает в себя, поскольку пустая сумма 0 не является полуцелым числом. $n$ $n$ $n=0$
Отрицательное значение полуцелого числа равно полуцелому числу.
Мощность множества полуцелых чисел равна мощности целых чисел. Это обусловлено существованием биекции от целых чисел к полуцелым числам: , где — целое число $f:x\to x+0.5$ $x$

Использует

Упаковка сфер

Самая плотная решетчатая упаковка единичных сфер в четырех измерениях (называемая _{решеткой}D4 ) помещает сферу в каждую точку, координаты которой являются либо всеми целыми числами, либо всеми полуцелыми числами. Эта упаковка тесно связана с целыми числами Гурвица : кватернионами , действительные коэффициенты которых являются либо всеми целыми числами, либо всеми полуцелыми числами. ^[4]

Физика

В физике принцип исключения Паули вытекает из определения фермионов как частиц, имеющих спин , являющийся полуцелым числом. ^[5]

Уровни энергии квантового гармонического осциллятора находятся в полуцелых числах, и поэтому его самая низкая энергия не равна нулю. ^[6]

Объем сферы

Хотя функция факториала определена только для целых аргументов, ее можно расширить на дробные аргументы с помощью гамма-функции . Гамма-функция для полуцелых чисел является важной частью формулы для объема $n$ -мерного шара радиуса , ^[7] Значения гамма-функции для полуцелых чисел являются целыми кратными квадратного корня из пи : где обозначает двойной факториал . $R$ $V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.$ $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~ {\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}} \,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}} ~$ $н!!$

Ссылки

^ Сабин, Малкольм (2010). Анализ и проектирование одномерных схем подразделения. Геометрия и вычисления. Т. 6. Springer. С. 51. ISBN 9783642136481.
^ Тураев, Владимир Г. (2010). Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . De Gruyter Studies in Mathematics. Т. 18 (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. С. 390. ISBN 9783110221848.
^ Булос, Джордж; Берджесс, Джон П.; Джеффри, Ричард К. (2002). Вычислимость и логика. Cambridge University Press. стр. 105. ISBN 9780521007580.
^ Баез, Джон К. (2005). «Обзор кватернионов и октонионов: их геометрия, арифметика и симметрия Джона Х. Конвея и Дерека А. Смита». Бюллетень Американского математического общества (рецензия на книгу). 42 : 229–243. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01043-8 .
^ Месарош, Питер (2010). Вселенная высоких энергий: события сверхвысоких энергий в астрофизике и космологии. Издательство Кембриджского университета. п. 13. ISBN 9781139490726.
^ Фокс, Марк (2006). Квантовая оптика: Введение. Oxford Master Series in Physics. Том 6. Oxford University Press. С. 131. ISBN 9780191524257.
^ "Уравнение 5.19.4". Цифровая библиотека математических функций NIST . Национальный институт стандартов и технологий США . 6 мая 2013 г. Выпуск 1.0.6.