Высокоструктурированный кольцевой спектр

Класс когомологий

В математике высокоструктурированный кольцевой спектр или -кольцо является объектом в теории гомотопий, кодирующим уточнение мультипликативной структуры в теории когомологий . Коммутативная версия -кольца называется -кольцом . Хотя изначально они были мотивированы вопросами геометрической топологии и теории расслоений , сегодня они чаще всего используются в стабильной теории гомотопий . ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Фон

Высокоструктурированные кольцевые спектры обладают лучшими формальными свойствами, чем мультипликативные теории когомологий — точка, используемая, например, при построении топологических модулярных форм , и которая также позволила построить новые конструкции более классических объектов, таких как Морава K-теория . Помимо своих формальных свойств, -структуры также важны в вычислениях, поскольку они допускают операции в базовой теории когомологий, аналогичные (и обобщающие) хорошо известные операции Стинрода в обычных когомологиях. Поскольку не каждая теория когомологий допускает такие операции, не каждая мультипликативная структура может быть уточнена до -структуры , и даже в случаях, когда это возможно, доказать это может быть сложной задачей. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Грубая идея высокоструктурированных кольцевых спектров такова: если умножение в теории когомологий (аналогично умножению в сингулярных когомологиях, индуцирующих произведение чашек ) удовлетворяет ассоциативности (и коммутативности) только с точностью до гомотопии, это слишком слабо для многих конструкций (например, для пределов и копределов в смысле теории категорий). С другой стороны, требование строгой ассоциативности (или коммутативности) наивным способом слишком ограничительно для многих желаемых примеров. Основная идея заключается в том, что отношения должны соблюдаться только до гомотопии, но эти гомотопии должны снова удовлетворять некоторым гомотопическим отношениям, чьи гомотопии снова удовлетворяют некоторым дополнительным гомотопическим условиям; и так далее. Классический подход организует эту структуру с помощью операд , в то время как недавний подход Якоба Лурье имеет дело с ней, используя -операды в -категориях. Наиболее широко используемые сегодня подходы используют язык категорий моделей . ^{[ требуется цитата ]} ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Все эти подходы основаны на тщательном построении базовой категории спектров .

Подходы к определению

Операции

Теория операд мотивирована изучением пространств петель . Пространство петель ΩX имеет умножение

${\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

композициями циклов. Здесь два цикла ускоряются в 2 раза, и первый занимает интервал [0,1/2], а второй — [1/2,1]. Это произведение не ассоциативно, поскольку масштабирования несовместимы, но оно ассоциативно с точностью до гомотопии, а гомотопии когерентны с точностью до более высоких гомотопий и так далее. Эту ситуацию можно уточнить, сказав, что ΩX — это алгебра над малым интервалом operad . Это пример -операды , т. е. операды топологических пространств, которая гомотопически эквивалентна ассоциативной операде , но которая имеет соответствующую «свободу», чтобы позволить вещам выдерживать только гомотопию (кратко: любая кофибрантная замена ассоциативной операды). Спектр -кольца теперь можно представить как алгебру над -операдой в подходящей категории спектров и подходящих условиях совместимости (см. May, 1977). ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Для определения -кольцевых спектров по сути работает тот же подход, где заменяется -операда на -операда , т. е. операда стягиваемых топологических пространств с аналогичными условиями "свободы". Пример такой операды может быть снова мотивирован изучением пространств петель. Произведение двойного пространства петель уже коммутативно с точностью до гомотопии, но эта гомотопия не удовлетворяет никаким более высоким условиям. Чтобы получить полную согласованность высших гомотопий, нужно предположить, что пространство является (эквивалентным) n -кратному пространству петель для всех  n . Это приводит к in -кубной операде бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве, которая является примером -операды . ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Вышеуказанный подход был впервые предложен Дж. Питером Мэем . Вместе с Элмендорфом, Крицем и Манделлом он разработал в 90-х годах вариант своего старого определения спектров, так называемые S-модули (см. Elmendorf et al., 2007). S-модули обладают модельной структурой , гомотопическая категория которой является стабильной гомотопической категорией . В S-модулях категория модулей над -операдой и категория моноидов эквивалентны по Квиллену , а также категория модулей над -операдой и категория коммутативных моноидов. Следовательно, возможно ли определить -кольцевые спектры и -кольцевые спектры как (коммутативные) моноиды в категории S-модулей, так называемые (коммутативные) S-алгебры . Поскольку с (коммутативными) моноидами проще иметь дело, чем с алгебрами над сложными операдами, этот новый подход для многих целей более удобен. Однако следует отметить, что фактическое построение категории S-модулей технически довольно сложно. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Диаграмма спектров

Другим подходом к цели рассмотрения высокоструктурированных кольцевых спектров как моноидов в подходящей категории спектров являются категории диаграммных спектров. Вероятно, наиболее известной из них является категория симметричных спектров, впервые предложенная Джеффом Смитом. Ее основная идея заключается в следующем:

В самом наивном смысле спектр — это последовательность (точечных) пространств вместе с картами , где ΣX обозначает подвеску . Другая точка зрения такова: рассматривается категория последовательностей пространств вместе с моноидальной структурой, заданной smash-произведением . Тогда последовательность сфер имеет структуру моноида, а спектры — это просто модули над этим моноидом. Если бы этот моноид был коммутативным, то возникла бы моноидальная структура в категории модулей над ним (как в алгебре модули над коммутативным кольцом имеют тензорное произведение). Но моноидная структура последовательности сфер не коммутативна из-за разного порядка координат. ${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}$ ${\displaystyle (S^{0},S^{1},\dots )}$

Идея теперь заключается в том, что можно встроить изменения координат в определение последовательности: симметричная последовательность — это последовательность пространств вместе с действием n -й симметрической группы на . Если снабдить это подходящим моноидальным произведением, то получится, что сферическая последовательность — это коммутативный моноид. Теперь симметричные спектры — это модули над сферической последовательностью, т. е. последовательность пространств вместе с действием n -й симметрической группы на и отображениями, удовлетворяющими подходящим условиям эквивариантности. Категория симметричных спектров имеет моноидальное произведение, обозначаемое как . Сильно структурированный (коммутативный) кольцевой спектр теперь определяется как (коммутативный) моноид в симметричных спектрах, называемый (коммутативным) симметрическим кольцевым спектром . Это сводится к заданию отображений ${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}$ ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle X_{n}\wedge X_{m}\to X_{n+m},}$

которые удовлетворяют подходящим условиям эквивариантности, унитальности и ассоциативности (и коммутативности) (см. Schwede 2007).

Существует несколько модельных структур на симметричных спектрах, которые имеют в качестве гомотопии стабильную гомотопическую категорию. Также здесь верно, что категория модулей над -операдой и категория моноидов эквивалентны по Квиллену , а также категория модулей над -операдой и категория коммутативных моноидов. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Вариантом симметричных спектров являются ортогональные спектры , где симметричная группа заменяется ортогональной группой (см. Mandell et al., 2001). Они имеют то преимущество, что наивно определенные гомотопические группы совпадают с группами в стабильной гомотопической категории, что не относится к симметричным спектрам. (Т.е. спектр сферы теперь кофибрантный.) С другой стороны, симметричные спектры имеют то преимущество, что их также можно определить для симплициальных множеств . Симметричные и ортогональные спектры, возможно, являются простейшими способами построения разумной симметричной моноидальной категории спектров.

Бесконечность-категории

Категории бесконечности — это вариант классических категорий, где композиция морфизмов определена не однозначно, а только с точностью до стягиваемого выбора. В общем случае не имеет смысла говорить, что диаграмма строго коммутирует в категории бесконечности, а только то, что она коммутирует с точностью до когерентной гомотопии. Можно определить категорию бесконечности спектров (как это сделал Лурье ). Можно также определить версии бесконечности (коммутативных) моноидов, а затем определить -кольцевые спектры как моноиды в спектрах, а -кольцевые спектры как коммутативные моноиды в спектрах. Это разработано в книге Лурье « Высшая алгебра» . ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Сравнение

Категории S-модулей, симметричных и ортогональных спектров и их категории (коммутативных) моноидов допускают сравнения через эквивалентности Квиллена благодаря работам нескольких математиков (включая Шведе). Несмотря на это, модельная категория S-модулей и модельная категория симметричных спектров ведут себя совершенно по-разному: в S-модулях каждый объект является фибрантным (что неверно в симметричных спектрах), тогда как в симметричных спектрах сферический спектр является кофибрантным (что неверно в S-модулях). По теореме Льюиса невозможно построить одну категорию спектров, которая обладала бы всеми желаемыми свойствами. Сравнение подхода категории бесконечности к спектрам с более классическим подходом категории модели к симметричным спектрам можно найти в Lurie's Higher Algebra 4.4.4.9. ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Примеры

Проще всего записать конкретные примеры -кольцевых спектров в симметричных/ортогональных спектрах. Наиболее фундаментальным примером является сферический спектр с (канонической) картой умножения . Также несложно записать карты умножения для спектров Эйленберга-Маклейна (представляющих обычные когомологии ) и некоторых спектров Тома (представляющих теории бордизмов ). Топологическая (действительная или комплексная) K-теория также является примером, но ее сложнее получить: в симметричных спектрах используется интерпретация K-теории с помощью C*-алгебры , в подходе операды используется машина теории мультипликативного бесконечного пространства петель . ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}}$

Более поздним подходом к нахождению -уточнений мультипликативных теорий когомологий является теория препятствий Герсса–Хопкинса. Она преуспела в нахождении -кольцевых структур на спектрах Любина–Тейта и на эллиптических спектрах . С помощью похожего (но более старого) метода можно также показать, что K-теория Моравы , а также другие варианты когомологий Брауна–Петерсона обладают -кольцевой структурой (см., например, Baker and Jeanneret, 2002). Бастерра и Манделл показали, что когомологии Брауна–Петерсона имеют даже -кольцевую структуру, где -структура определяется заменой операды бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве на 4-мерные кубы в 4-мерном пространстве в определении -кольцевых спектров. С другой стороны, Тайлер Лоусон показал, что когомологии Брауна–Петерсона не имеют структуры. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Конструкции

Высокоструктурированные кольцевые спектры допускают множество конструкций.

• Они образуют модельную категорию, и поэтому существуют (гомотопические) пределы и копределы.
• Модули над высокоструктурированным кольцевым спектром образуют стабильную модельную категорию . В частности, их гомотопическая категория триангулирована . Если кольцевой спектр имеет -структуру, категория модулей имеет моноидальное smash-произведение ; если оно не менее , то она имеет симметричное моноидальное (smash)-произведение. ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{4}}$
• Можно формировать групповые кольцевые спектры.
• Можно определить алгебраическую К-теорию , топологические гомологии Хохшильда и т. д. для высокоструктурированного кольцевого спектра.
• Можно определить пространство единиц, что имеет решающее значение для некоторых вопросов ориентируемости расслоений.

Смотрите также

• Коммутативный кольцевой спектр
• En-кольцо

Ссылки

Ссылки на E∞-кольцевые спектры

• Элмендорф, АД; Криз, И.; Манделл, МА; Мэй, Дж. П. (2007). Кольца, модули и алгебры в стабильной гомотопической теории . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1.
• May, J. Peter (1977). E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} -кольцевые пространства и E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} -кольцевые спектры. Springer.
• Мэй, Дж. Питер (2009). «Что именно представляют собой кольцевые пространства и кольцевые спектры?». Монографии по геометрии и топологии . 16 : 215–282. arXiv : 0903.2813 . doi :10.2140/gtm.2009.16.215. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Ссылки о структуре E∞-кольцевые спектры

• Бастерра, М.; Манделл, МА (2005). "Гомологии и когомологии спектров колец E-infinity" (PDF)
• Лоусон, Т. (2017). «Вычисление групп препятствий для -кольцевых спектров». arXiv : 1709.09629 [math.AT]. ${\displaystyle E_{\infty }}$

Ссылки на конкретные примеры

• Бейкер, А.; Жаннере, А. (2002). «Смелые новые алгеброиды Хопфа и расширения MU-алгебр». Гомология, гомотопия и приложения . 4 (1): 163–173. doi : 10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9 .
• Basterra, M.; Mandell, MA (июнь 2013 г.). "Умножение на BP" (PDF) . Journal of Topology . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . doi :10.1112/jtopol/jts032. S2CID  119652118. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-02-06.

Общие ссылки на соответствующие спектры

• Лурье, Дж. "Высшая алгебра" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2015-02-06.
• Mandell, MA; May, JP; Schwede, S.; Shipley, B. (2001). "Модельные категории спектров диаграмм" (PDF) . Proc. London Math. Soc . 82 (2): 441–512. doi :10.1112/S0024611501012692. S2CID  551246.
• Рихтер, Б. (2017). «Коммутативные кольцевые спектры». arXiv : 1710.02328 [math.AT].
• Шведе, С. (2001). "S-модули и симметричные спектры" (PDF) . Math. Ann . 319 (3): 517–532. doi :10.1007/PL00004446. S2CID  6866612.
• Шведе С. Шведе, С. (2007). «Проект книги без названия о симметричных спектрах» (PDF) .