В теории колец , разделе математики , идемпотентный элемент или просто идемпотент кольца — это элемент a такой, что a 2 = a . [1] [a] То есть элемент является идемпотентным относительно умножения кольца. Индуктивно тогда можно также заключить, что a = a 2 = a 3 = a 4 = ... = a n для любого положительного целого числа n . Например, идемпотентный элемент матричного кольца — это в точности идемпотентная матрица .
Для общих колец элементы, идемпотентные относительно умножения, участвуют в разложениях модулей и связаны с гомологическими свойствами кольца. В булевой алгебре основными объектами изучения являются кольца, в которых все элементы идемпотентны как относительно сложения, так и относительно умножения.
Можно рассмотреть кольцо целых чисел по модулю n , где n — бесквадратное . По китайской теореме об остатках это кольцо раскладывается в произведение колец целых чисел по модулю p , где p — простое число . Теперь каждый из этих множителей является полем , поэтому ясно, что единственными идемпотентами множителей будут 0 и 1. То есть, каждый множитель имеет два идемпотента. Таким образом, если имеется m множителей, то будет 2 m идемпотентов.
Мы можем проверить это для целых чисел mod 6 , R = Z / 6 Z. Поскольку 6 имеет два простых множителя ( 2 и 3 ), оно должно иметь 2 2 идемпотентов.
Из этих вычислений следует, что 0 , 1 , 3 и 4 являются идемпотентами этого кольца, а 2 и 5 — нет. Это также демонстрирует свойства разложения, описанные ниже: поскольку 3 + 4 ≡ 1 (mod 6) , существует разложение кольца 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z. В 3 Z / 6 Z мультипликативное тождество равно 3 + 6 Z , а в 4 Z / 6 Z мультипликативное тождество равно 4 + 6 Z.
Дано кольцо R и элемент f ∈ R такой, что f 2 ≠ 0 , фактор-кольцо
имеет идемпотент f . Например, это можно применить к x ∈ Z [ x ] или любому многочлену f ∈ k [ x 1 , ..., x n ] .
В кольце расщепленных кватернионов имеется гиперболоид идемпотентов . [ необходима цитата ]
Частичный список важных типов идемпотентов включает в себя:
Любой нетривиальный идемпотент a является делителем нуля (потому что ab = 0, и ни a, ни b не равны нулю, где b = 1 − a ). Это показывает, что области целостности и тела не имеют таких идемпотентов. Локальные кольца также не имеют таких идемпотентов, но по другой причине. Единственный идемпотент, содержащийся в радикале Джекобсона кольца, — это 0 .
Идемпотенты R имеют важную связь с разложением R - модулей . Если M является R -модулем и E = End R ( M ) является его кольцом эндоморфизмов , то A ⊕ B = M тогда и только тогда, когда существует единственный идемпотент e в E такой, что A = eM и B = (1 − e ) M . Тогда ясно, что M непосредственно неразложим тогда и только тогда, когда 0 и 1 являются единственными идемпотентами в E . [2]
В случае, когда M = R (предполагается унитальным), кольцо эндоморфизмов End R ( R ) = R , где каждый эндоморфизм возникает как левое умножение на фиксированный элемент кольца. С этой модификацией обозначений A ⊕ B = R как правые модули тогда и только тогда, когда существует единственный идемпотент e такой, что eR = A и (1 − e ) R = B . Таким образом, каждое прямое слагаемое R порождается идемпотентом.
Если a — центральный идемпотент, то угловое кольцо aRa = Ra — кольцо с мультипликативным тождеством a . Так же, как идемпотенты определяют прямые разложения R как модуля, центральные идемпотенты R определяют разложения R как прямой суммы колец. Если R — прямая сумма колец R 1 , ..., R n , то единичные элементы колец R i являются центральными идемпотентами в R , попарно ортогональными, и их сумма равна 1 . Обратно, если даны центральные идемпотенты a 1 , ..., a n в R , которые попарно ортогональны и имеют сумму 1 , то R является прямой суммой колец Ra 1 , ..., Ra n . Так, в частности, каждый центральный идемпотент a в R порождает разложение R как прямую сумму угловых колец aRa и (1 − a ) R (1 − a ) . В результате кольцо R непосредственно неразложимо как кольцо тогда и только тогда, когда тождество 1 является центрально примитивным.
Работая индуктивно, можно попытаться разложить 1 на сумму центрально примитивных элементов. Если 1 центрально примитивен, то мы закончили. Если нет, то это сумма центрально ортогональных идемпотентов, которые в свою очередь являются примитивными или суммами большего количества центральных идемпотентов и так далее. Проблема, которая может возникнуть, заключается в том, что это может продолжаться без конца, производя бесконечное семейство центрально ортогональных идемпотентов. Условие « R не содержит бесконечных множеств центрально ортогональных идемпотентов » является типом условия конечности на кольце. Его можно достичь многими способами, например, потребовав, чтобы кольцо было право нётеровым . Если существует разложение R = c 1 R ⊕ c 2 R ⊕ ... ⊕ c n R с каждым c i центрально примитивным идемпотентом, то R является прямой суммой угловых колец c i Rc i , каждое из которых является кольцево неприводимым. [3]
Для ассоциативных алгебр или йордановых алгебр над полем разложение Пирса представляет собой разложение алгебры в виде суммы собственных пространств коммутирующих идемпотентных элементов.
Если a — идемпотент кольца эндоморфизмов End R ( M ) , то эндоморфизм f = 1 − 2 a является инволюцией R -модуля M . То есть f является гомоморфизмом R -модуля , таким что f 2 является тождественным эндоморфизмом M .
Идемпотентный элемент a из R и связанная с ним инволюция f порождают две инволюции модуля R в зависимости от того, рассматривается ли R как левый или правый модуль. Если r представляет произвольный элемент R , f можно рассматривать как правый гомоморфизм R -модулей r ↦ fr , так что ffr = r , или f можно также рассматривать как левый гомоморфизм R -модулей r ↦ rf , где rff = r .
Этот процесс можно обратить, если 2 является обратимым элементом R : [b] если b является инволюцией, то 2 −1 ( 1 − b ) и 2 −1 (1 + b ) являются ортогональными идемпотентами, соответствующими a и 1 − a . Таким образом, для кольца, в котором 2 является обратимым, идемпотентные элементы соответствуют инволюциям взаимно-однозначным образом.
Поднятие идемпотентов также имеет важные последствия для категории R -модулей . Все идемпотенты поднимаются по модулю I тогда и только тогда, когда каждое R- прямое слагаемое R / I имеет проективное покрытие как R -модуль. [4] Идемпотенты всегда поднимают по модулю ноль идеалы и кольца, для которых R является I -адически полным .
Подъем наиболее важен, когда I = J( R ) , радикал Джекобсона кольца R . Еще одна характеристика полусовершенных колец состоит в том, что они являются полулокальными кольцами , идемпотенты которых поднимаются по модулю J( R ) . [5]
Можно определить частичный порядок идемпотентов кольца следующим образом: если a и b являются идемпотентами, мы пишем a ≤ b тогда и только тогда, когда ab = ba = a . Относительно этого порядка 0 является наименьшим, а 1 наибольшим идемпотентом. Для ортогональных идемпотентов a и b , a + b также является идемпотентом, и мы имеем a ≤ a + b и b ≤ a + b . Атомы этого частичного порядка являются в точности примитивными идемпотентами. [6]
Когда указанный выше частичный порядок ограничивается центральными идемпотентами R , может быть задана решетчатая структура или даже структура булевой алгебры . Для двух центральных идемпотентов e и f дополнение задается как
встреча дается
и соединение дается как
Теперь порядок становится просто e ≤ f тогда и только тогда, когда eR ⊆ f R , а соединение и встреча удовлетворяют соотношениям ( e ∨ f ) R = eR + f R и ( e ∧ f ) R = eR ∩ f R = ( eR )( f R ) . В Goodearl 1991, стр. 99 показано, что если R является фон Неймановским регулярным и правосамоинъективным , то решетка является полной решеткой .