Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах
В линейной алгебре единичная матрица размера — это квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Он обладает уникальными свойствами: например, когда единичная матрица представляет собой геометрическое преобразование, объект остается неизменным в результате преобразования. В других контекстах это аналогично умножению на число 1.
Терминология и обозначения
Единичная матрица часто обозначается или просто, если размер несущественен или может быть тривиально определен контекстом. [1]
Термин « единичная матрица» также широко использовался, [2] [3] [4] [5] , но термин « единичная матрица» теперь является стандартным. [6] Термин «единичная матрица» неоднозначен, поскольку он также используется для обозначения матрицы из единиц и любой единицы кольца всех матриц . [7]
В некоторых областях, таких как теория групп или квантовая механика , единичная матрица иногда обозначается жирным шрифтом или называется «id» (сокращение от «идентичность»). Реже в некоторых книгах по математике используется или для обозначения единичной матрицы, что означает «единичная матрица» [2] и немецкое слово Einheitsmatrix соответственно. [8]
В терминах обозначений, которые иногда используются для краткого описания диагональных матриц , единичную матрицу можно записать как
дельта-[8]Характеристики
Когда является матрицей, это свойство умножения матриц , которое
единицейкольцаэлементомлинейной группыобратимыхинволютивная матрицаКогда матрицы используются для представления линейных преобразований из -мерного векторного пространства в себя, единичная матрица представляет собой единичную функцию для любого базиса , использованного в этом представлении.
Четвертый столбец единичной матрицы — это единичный вектор , вектор, чья -я запись равна 1 и 0 в других местах. Определитель единичной матрицы равен 1, а ее след равен .
Единичная матрица — единственная идемпотентная матрица с ненулевым определителем. То есть это единственная матрица такая, что:
- При умножении на самого себя результат равен самому себе.
- Все его строки и столбцы линейно независимы .
Главный квадратный корень единичной матрицы равен ей самой, и это ее единственный положительно определенный квадратный корень. Однако каждая единичная матрица, содержащая как минимум две строки и столбцы, имеет бесконечное количество симметричных квадратных корней. [9]
Ранг единичной матрицы равен размеру , т.е.:
Смотрите также
Примечания
- ^ «Матрица идентичности: введение в матрицу идентичности (статья)» . Ханская академия . Проверено 14 августа 2020 г.
- ^ аб Пайпс, Луи Альберт (1963). Матричные методы в инженерии. Международная серия Прентис-Холл по прикладной математике. Прентис-Холл. п. 91.
- ^ Роджер Годемент , Алгебра , 1968.
- ^ ИСО 80000-2 : 2009.
- ^ Кен Страуд , Инженерная математика , 2013.
- ^ ИСО 80000-2 :2019.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Единичная матрица». mathworld.wolfram.com . Проверено 5 мая 2021 г.
- ^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Матрица идентичности». mathworld.wolfram.com . Проверено 14 августа 2020 г.
- ^ Митчелл, Дуглас В. (ноябрь 2003 г.). «87.57 Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из I 2 {\displaystyle I_{2}} ". Математический вестник . 87 (510): 499–500. дои : 10.1017/S0025557200173723 . JSTOR 3621289.