Повышение и понижение индексов

Математические операции, связывающие различные типы тензоров

В математике и математической физике повышение и понижение индексов — это операции над тензорами , которые изменяют их тип . Повышение и понижение индексов — это форма манипуляции индексами в выражениях тензоров.

Векторы, ковекторы и метрика

Математическая формулировка

Математически векторы являются элементами векторного пространства над полем , и для использования в физике обычно определяются с помощью или . Конкретно, если размерность конечна , то после выбора базиса мы можем рассматривать такие векторные пространства как или . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n={\text{dim}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Двойственное пространство — это пространство линейных функционалов, отображающих . Конкретно, в матричной нотации их можно рассматривать как векторы-строки, которые дают число при применении к векторам-столбцам. Мы обозначаем это как , так что это линейное отображение . ${\displaystyle V\rightarrow K}$ ${\displaystyle V^{*}:={\text{Hom}}(V,K)}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle \alpha :V\rightarrow K}$

Тогда при выборе базиса мы можем рассматривать векторы как вектор с компонентами (векторы по соглашению берутся с индексами вверх). Это выбирает выбор базиса для , определяемый набором отношений . ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle v^{i}}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$

Для приложений подъем и опускание выполняется с использованием структуры, известной как (псевдо-) метрический тензор ('псевдо-' относится к тому факту, что мы допускаем, чтобы метрика была неопределенной). Формально это невырожденная, симметричная билинейная форма

${\displaystyle g:V\times V\rightarrow K{\text{ a bilinear form}}}$

${\displaystyle g(u,v)=g(v,u){\text{ for all }}u,v\in V{\text{ (Symmetric)}}}$

${\displaystyle \forall v\in V{\text{ s.t. }}v\neq {\vec {0}},\exists u\in V{\text{ such that }}g(v,u)\neq 0{\text{ (Non-degenerate)}}}$

В этом базисе она имеет компоненты , и может рассматриваться как симметричная матрица в с этими компонентами. Обратная метрика существует в силу невырожденности и обозначается , а как матрица является обратной к . ${\displaystyle g(e_{i},e_{j})=g_{ij}}$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{n\times n}(K)}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Подъем и опускание векторов и ковекторов

Подъем и опускание затем выполняется в координатах. Учитывая вектор с компонентами , мы можем свернуть с метрикой, чтобы получить ковектор : ${\displaystyle v^{i}}$

${\displaystyle g_{ij}v^{j}=v_{i}}$

и это то, что мы подразумеваем под понижением индекса. Наоборот, свертывание ковектора с обратной метрикой дает вектор:

${\displaystyle g^{ij}\alpha _{j}=\alpha ^{i}.}$

Этот процесс называется повышением индекса.

Повышение и понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что отражается в том, что метрический и обратный метрический тензоры являются обратными друг другу (как следует из терминологии):

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\delta ^{i}}_{k}={\delta _{k}}^{i}}$

где — дельта Кронекера или единичная матрица . ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Конечномерные вещественные векторные пространства с (псевдо)метриками классифицируются с точностью до сигнатуры, свойства, свободного от координат, которое хорошо определено законом инерции Сильвестра . Возможные метрики на вещественном пространстве индексируются сигнатурой . Это метрика, связанная с размерным вещественным пространством. Метрика имеет сигнатуру, если существует базис (называемый ортонормированным базисом ) такой, что в этом базисе метрика принимает форму с положительными и отрицательными. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (g_{ij})={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Конкретное пространство с элементами, которые являются -векторами, и эта конкретная реализация метрики обозначается , где 2-кортеж призван прояснить, что лежащее в основе векторное пространство является : оснащение этого векторного пространства метрикой превращает это пространство в . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}=(\mathbb {R} ^{n},g_{ij})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g_{ij})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

Примеры:

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$это модель для 3-мерного пространства. Метрика эквивалентна стандартному скалярному произведению .
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,0}=\mathbb {R} ^{n}}$, эквивалентно размерному реальному пространству как пространству внутреннего произведения с . В евклидовом пространстве подъем и опускание не нужны, поскольку компоненты векторов и ковекторов одинаковы. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$— пространство Минковского (или, скорее, пространство Минковского в выбранном ортонормированном базисе), модель для пространства-времени со слабой кривизной. Принято использовать греческие индексы при записи выражений, включающих тензоры в пространстве Минковского, в то время как латинские индексы зарезервированы для евклидова пространства.

Хорошо сформулированные выражения ограничены правилами суммирования Эйнштейна : любой индекс может появляться не более двух раз, и, кроме того, повышенный индекс должен сокращаться с пониженным индексом. С этими правилами мы можем сразу увидеть, что выражение, такое как

${\displaystyle g_{ij}v^{i}u^{j}}$

хорошо сформулировано, в то время как

${\displaystyle g_{ij}v_{i}u_{j}}$

это не так.

Пример в пространстве-времени Минковского

Ковариантная 4-позиция задается формулой

${\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}$

с компонентами:

${\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}$

(где x , y , z — обычные декартовы координаты ), а метрический тензор Минковского с метрической сигнатурой (− + + +) определяется как

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

в компонентах:

${\displaystyle \eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).}$

Чтобы повысить индекс, умножьте на тензор и сократите:

${\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}$

тогда для λ = 0 :

${\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}$

и для λ = j = 1, 2, 3 :

${\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.}$

Итак, контравариантная 4-позиция с повышенным индексом :

${\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}$

Эта операция эквивалентна умножению матриц

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Имея два вектора и , мы можем записать их (псевдо)скалярное произведение двумя способами: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle Y^{\mu }}$

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.}$

Понижая индексы, мы можем записать это выражение как

${\displaystyle X_{\mu }Y^{\mu }.}$

Что это в матричной записи? Первое выражение можно записать как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}}$

а второй — после понижения индексов , ${\displaystyle X^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.}$

Координатно-свободный формализм

Поучительно рассмотреть, что означают повышение и понижение в контексте абстрактной линейной алгебры.

Сначала зафиксируем определения: — конечномерное векторное пространство над полем . Обычно или . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \phi }$является невырожденной билинейной формой, то есть является отображением, линейным по обоим аргументам, что делает его билинейной формой. ${\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow K}$

Под невырожденностью мы подразумеваем, что для каждого такого, что , существует такое, что ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v\neq 0}$ ${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle \phi (v,u)\neq 0.}$

В конкретных приложениях часто рассматривается как структура на векторном пространстве, например, скалярное произведение или, в более общем смысле, метрический тензор , которому разрешено иметь неопределенную сигнатуру, или симплектическую форму . Вместе они охватывают случаи, когда является либо симметричным, либо антисимметричным, но в полной общности не обязательно должен быть ни одним из этих случаев. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Имеется частичная оценочная карта, связанная с , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\cdot ,-):V\rightarrow V^{*};v\mapsto \phi (v,\cdot )}$

где обозначает аргумент, который должен быть оценен, а обозначает аргумент, оценка которого отложена. Затем — элемент , который отправляет . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \phi (v,\cdot )}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle u\mapsto \phi (v,u)}$

Мы сделали выбор определить эту карту частичной оценки как оцениваемую по первому аргументу. Мы могли бы точно так же определить ее по второму аргументу, и невырожденность также не зависит от выбранного аргумента. Кроме того, когда есть хорошо определенная (анти-)симметрия, оценка по любому аргументу эквивалентна (с точностью до знака минус для анти-симметрии). ${\displaystyle \phi }$

Невырожденность показывает, что частичное вычислительное отображение инъективно, или, что эквивалентно, что ядро ​​отображения тривиально. В конечной размерности двойственное пространство имеет размерность, равную , поэтому невырожденности достаточно, чтобы заключить, что отображение является линейным изоморфизмом. Если является структурой на векторном пространстве, иногда это называют каноническим изоморфизмом . ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V\rightarrow V^{*}}$

Следовательно, у него есть обратный элемент, и этого достаточно, чтобы определить связанную билинейную форму на двойственном матрице: ${\displaystyle \phi ^{-1}:V^{*}\rightarrow V,}$

${\displaystyle \phi ^{-1}:V^{*}\times V^{*}\rightarrow K,\phi ^{-1}(\alpha ,\beta )=\phi (\phi ^{-1}(\alpha ),\phi ^{-1}(\beta )).}$

где повторное использование устраняется неоднозначностью принятого аргумента. То есть, — это обратное отображение, а — это билинейная форма. ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(\alpha )}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(\alpha ,\beta )}$

Проверка этих выражений в координатах делает очевидным, что именно это и означает абстрактное повышение и понижение индексов.

Тензоры

Мы не будем сразу разрабатывать абстрактный формализм для тензоров. Формально тензор — это объект, описываемый через его компоненты, и имеет компоненты вверху, компоненты внизу. Общий тензор записывается ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (r,s)}$

${\displaystyle T^{\mu _{1}\cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1}\cdots \nu _{s}}.}$

Мы можем использовать метрический тензор для повышения и понижения индексов тензора так же, как мы повышали и понижали индексы векторов и повышали индексы ковекторов.

Примеры

• Тензор (0,0) — это число в поле . ${\displaystyle \mathbb {F} }$
• Тензор (1,0) является вектором.
• Тензор (0,1) является ковектором.
• (0,2) тензор является билинейной формой. Примером является метрический тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }.}$
• Тензор (1,1) — это линейное отображение. Примером может служить дельта, , которая является тождественным отображением, или преобразованием Лоренца ${\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\nu }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }.}$

Пример подъема и опускания

Для тензора (0,2) ^[1] двойная свертка с обратным метрическим тензором и свертка по разным индексам повышает каждый индекс:

${\displaystyle A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.}$

Аналогично, двойная свертка с метрическим тензором и свертка по разным индексам понижает каждый индекс:

${\displaystyle A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }}$

Давайте применим это к теории электромагнетизма.

Контравариантный электромагнитный тензор в сигнатуре (+ − − −) определяется выражением ^[2 ]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

В компонентах,

${\displaystyle F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}$

Чтобы получить ковариантный тензор F _αβ , свернем его с обратным метрическим тензором:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}$

и поскольку F ⁰⁰ = 0 и F ^{0 i} = − F ^{i 0} , это сводится к

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}$

Теперь для α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}}$

и по антисимметрии, для α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :

${\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}$

тогда, наконец, для α = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}}$

Тогда (ковариантный) нижний индексированный тензор имеет вид:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

Эта операция эквивалентна умножению матриц

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Генеральское звание

Для тензора порядка n индексы увеличиваются на (совместимо с вышеизложенным): ^[1]

${\displaystyle g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

и снижен на:

${\displaystyle g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

и для смешанного тензора:

${\displaystyle g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}={A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}}$

Нам не нужно повышать или понижать все индексы сразу: совершенно нормально повышать или понижать один индекс. Понижение индекса тензора дает тензор, в то время как повышение индекса дает (где имеют подходящие значения, например, мы не можем понизить индекс тензора .) ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r-1,s+1)}$ ${\displaystyle (r+1,s-1)}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle (0,2)}$

Смотрите также

• исчисление Риччи
• Обозначение Эйнштейна
• Метрический тензор
• Музыкальный изоморфизм
• Падающие и растущие факториалы
• Двойственное пространство § Билинейные произведения и двойственные пространства

Ссылки

1. Kay, DC (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. Нью-Йорк: McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
2. NB: Некоторые тексты, такие как: Griffiths, David J. (1987). Введение в элементарные частицы . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., покажет этот тензор с общим множителем −1. Это потому, что они использовали отрицательный метрический тензор, используемый здесь: (− + + +) , см. метрическую сигнатуру . В более старых текстах, таких как Jackson (2-е издание), нет множителей c, поскольку они используют гауссовы единицы . Здесь используются единицы СИ .