Коллекция объектов, каждый из которых связан с элементом из некоторого набора индексов.
В математике семейство или индексированное семейство — это неформально совокупность объектов, каждый из которых связан с индексом из некоторого набора индексов . Например, семейство действительных чисел , индексированное набором целых чисел , представляет собой набор действительных чисел, где заданная функция выбирает одно вещественное число для каждого целого числа (возможно, одного и того же) в качестве индексации.
Более формально, индексированное семейство — это математическая функция вместе со своей областью определения и образом (то есть индексированные семейства и математические функции технически идентичны, просто точки зрения различаются). Часто элементы множества называют составляющими семейство. С этой точки зрения индексированные семейства интерпретируются как коллекции индексированных элементов, а не функций. Этот набор называется индексным набором семейства и является индексированным набором .
Последовательности — это один из типов семейств, индексируемых натуральными числами . В общем, набор индексов не ограничивается счетностью . Например, можно рассмотреть несчетное семейство подмножеств натуральных чисел, индексированных действительными числами.
Формальное определение
Пусть и – множества и функция такие, что
семейство элементов, проиндексированных посредством,Функции и индексированные семейства формально эквивалентны, поскольку любая функция с областью определения порождает семейство и наоборот. Быть элементом семейства эквивалентно нахождению в области действия соответствующей функции. Однако на практике семья рассматривается как совокупность, а не функция.
Любой набор порождает семейство , где индексируется само по себе (то есть это тождественная функция). Однако семейства отличаются от наборов тем, что один и тот же объект может появляться в семействе несколько раз с разными индексами, тогда как набор представляет собой совокупность различных объектов. Семейство содержит любой элемент ровно один раз тогда и только тогда, когда соответствующая функция инъективна .
Индексированное семейство определяет набор , который является образом под Поскольку отображение не обязательно должно быть инъективным , может существовать такое , что Таким образом, где обозначает мощность набора Например, последовательность, индексированная натуральными числами, имеет image set Кроме того, набор не несет информации о каких-либо структурах. Следовательно, при использовании набора вместо семейства некоторая информация может быть потеряна. Например, упорядочение набора индексов семейства приводит к упорядочению семейства, но не упорядочению соответствующего набора изображений.
Индексированное подсемейство
Индексированное семейство является подсемейством индексированного семейства тогда и только тогда, когда оно является подмножеством и выполняется для всех
Примеры
Индексированные векторы
Например, рассмотрим следующее предложение:
Векторы линейно независимы .
Здесь обозначается семейство векторов. -й вектор имеет смысл только по отношению к этому семейству, поскольку множества неупорядочены, поэтому в наборе нет -го вектора. Более того, линейная независимость определяется как свойство коллекции; поэтому важно, являются ли эти векторы линейно независимыми как набор или как семейство. Например, если рассматривать и как один и тот же вектор, то множество их состоит всего из одного элемента (поскольку множество представляет собой совокупность неупорядоченных различных элементов) и линейно независимо, но семейство содержит один и тот же элемент дважды (поскольку индексировано по-разному) и линейно зависима (одни и те же векторы линейно зависимы).
Матрицы
Предположим, в тексте говорится следующее:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы.
Как и в предыдущем примере, важно, чтобы строки были линейно независимы как семейство, а не как множество. Например, рассмотрим матрицу
строкопределительсемействомультимножествуДругие примеры
Пусть – конечное множество, где – целое положительное число .
- Упорядоченная пара (2- кортеж ) — это семейство, индексированное набором из двух элементов, каждый элемент упорядоченной пары индексируется каждым элементом набора.
- -кортеж — это семейство , индексированное набором
- Бесконечная последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами .
- Список — это кортеж для неопределенной или бесконечной последовательности.
- Матрица — это семейство, индексированное декартовым произведением , элементы которого представляют собой упорядоченные пары; например, индексируя элемент матрицы во 2-й строке и 5-м столбце.
- Сеть — это семейство, индексированное направленным множеством .
Операции с индексированными семействами
Наборы индексов часто используются в суммах и других подобных операциях. Например, если это индексированное семейство чисел, сумма всех этих чисел обозначается как
Когда это семейство множеств , объединение всех этих множеств обозначается через
То же самое касается пересечений и декартовых произведений .
Использование в теории категорий
Аналогичное понятие в теории категорий называется диаграммой . Диаграмма — это функтор , порождающий индексированное семейство объектов в категории C , индексированное другой категорией J и связанное морфизмами , зависящими от двух индексов.
Смотрите также
Рекомендации
- Математическое общество Японии , Энциклопедический математический словарь , 2-е издание, 2 тома, Киёси Ито (редактор), MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1993. Цитируется как EDM (том).