Обратная задача

Процесс расчета причинных факторов, которые привели к набору наблюдений

Обратная задача в науке — это процесс вычисления из набора наблюдений причинных факторов, которые их породили: например, вычисление изображения в рентгеновской компьютерной томографии , реконструкция источника в акустике или вычисление плотности Земли по измерениям ее гравитационного поля . Она называется обратной задачей, потому что она начинается со следствий, а затем вычисляет причины. Она является обратной прямой задачей, которая начинается с причин, а затем вычисляет следствия.

Обратные задачи являются одними из самых важных математических задач в науке и математике , поскольку они говорят нам о параметрах, которые мы не можем наблюдать напрямую. Они имеют широкое применение в идентификации систем , оптике , радаре , акустике , теории связи , обработке сигналов , медицинской визуализации , компьютерном зрении , ^{[1] [2]} геофизике , океанографии , астрономии , дистанционном зондировании , обработке естественного языка , машинном обучении , ^[3] неразрушающем контроле , анализе устойчивости склонов ^[4] и многих других областях. ^{[ требуется ссылка ]}

История

Начинать со следствий, чтобы обнаружить причины, волновало физиков на протяжении столетий. Историческим примером являются вычисления Адамса и Леверье , которые привели к открытию Нептуна из возмущенной траектории Урана . Однако формальное изучение обратных задач не было начато до 20-го века.

Один из самых ранних примеров решения обратной задачи был обнаружен Германом Вейлем и опубликован в 1911 году, описывая асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа–Бельтрами . ^[5] Сегодня известный как закон Вейля , он, возможно, проще всего понимается как ответ на вопрос, можно ли услышать форму барабана . Вейль предположил, что собственные частоты барабана будут связаны с площадью и периметром барабана определенным уравнением, результат, улучшенный более поздними математиками.

Область обратных задач была позднее затронута советско - армянским физиком Виктором Амбарцумяном . ^{[6] [7]}

Еще будучи студентом, Амбарцумян основательно изучил теорию строения атома, образование уровней энергии, уравнение Шредингера и его свойства, а когда освоил теорию собственных значений дифференциальных уравнений , указал на очевидную аналогию между дискретными уровнями энергии и собственными значениями дифференциальных уравнений. Затем он спросил: можно ли, имея семейство собственных значений, найти вид уравнений, собственными значениями которых они являются? По сути, Амбарцумян исследовал обратную задачу Штурма–Лиувилля , которая касалась определения уравнений колеблющейся струны. Эта статья была опубликована в 1929 году в немецком физическом журнале Zeitschrift für Physik и довольно долго оставалась в безвестности. Описывая эту ситуацию спустя много десятилетий, Амбарцумян сказал: «Если астроном публикует статью с математическим содержанием в физическом журнале, то наиболее вероятное, что с ней произойдет, — это забвение».

Тем не менее, ближе к концу Второй мировой войны эта статья, написанная 20-летним Амбарцумяном, была найдена шведскими математиками и послужила отправной точкой для целого направления исследований обратных задач, став основой целой дисциплины.

Затем важные усилия были направлены на «прямое решение» обратной задачи рассеяния, особенно Гельфандом и Левитаном в Советском Союзе. ^[8] Они предложили аналитический конструктивный метод для определения решения. Когда появились компьютеры, некоторые авторы исследовали возможность применения своего подхода к аналогичным задачам, таким как обратная задача в одномерном волновом уравнении. Но быстро выяснилось, что инверсия — это нестабильный процесс: шум и ошибки могут быть чрезвычайно усилены, делая прямое решение едва ли осуществимым. Затем, около семидесятых годов, появились подходы наименьших квадратов и вероятностные подходы, которые оказались очень полезными для определения параметров, участвующих в различных физических системах. Этот подход имел большой успех. В настоящее время обратные задачи также исследуются в областях за пределами физики, таких как химия, экономика и компьютерные науки. В конце концов, поскольку численные модели становятся распространенными во многих частях общества, мы можем ожидать обратную задачу, связанную с каждой из этих численных моделей.

Концептуальное понимание

Со времен Ньютона ученые активно пытались моделировать мир. В частности, когда доступна математическая модель (например, закон тяготения Ньютона или уравнение Кулона для электростатики), мы можем предвидеть, учитывая некоторые параметры, которые описывают физическую систему (такие как распределение массы или распределение электрических зарядов), поведение системы. Этот подход известен как математическое моделирование, а вышеупомянутые физические параметры называются параметрами модели или просто моделью . Чтобы быть точным, мы вводим понятие состояния физической системы : это решение уравнения математической модели. В теории оптимального управления эти уравнения называются уравнениями состояния . Во многих ситуациях мы на самом деле не заинтересованы в знании физического состояния, а только в его влиянии на некоторые объекты (например, влиянии гравитационного поля на конкретную планету). Следовательно, мы должны ввести другой оператор, называемый оператором наблюдения , который преобразует состояние физической системы (здесь предсказанное гравитационное поле) в то, что мы хотим наблюдать (здесь движения рассматриваемой планеты). Теперь мы можем представить так называемую прямую задачу , которая состоит из двух шагов:

• определение состояния системы по физическим параметрам, ее описывающим
• применение оператора наблюдения к предполагаемому состоянию системы с целью предсказания поведения того, что мы хотим наблюдать.

Это приводит к введению другого оператора ( F означает «вперед»), который отображает параметры модели в данные, которые предсказывает модель, что является результатом этой двухэтапной процедуры. Оператор называется оператором вперед или прямой картой . В этом подходе мы в основном пытаемся предсказать эффекты, зная причины. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$

В таблице ниже показаны параметры модели, описывающие систему, физическая величина, описывающая состояние физической системы, и наблюдения, обычно проводимые над состоянием системы, для различных физических явлений.

При подходе обратной задачи мы, грубо говоря, пытаемся узнать причины, учитывая следствия.

Общая постановка обратной задачи

Обратная задача — это «обратная» задача прямой задачи: вместо определения данных, полученных с помощью конкретных параметров модели, мы хотим определить параметры модели, которые производят данные, которые являются наблюдением, которое мы записали (индекс obs означает наблюдаемое). Другими словами, наша цель — определить параметры модели таким образом, что (по крайней мере приблизительно) где — прямая карта. Мы обозначаем (возможно, бесконечное) число параметров модели и число записанных данных. Мы вводим некоторые полезные концепции и связанные с ними обозначения, которые будут использоваться ниже: ${\displaystyle d_{\text{obs}}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle d_{\text{obs}}=F(p)}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

• Пространство моделей обозначается как : векторное пространство, охватываемое параметрами модели; оно имеет размерности; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$
• Пространство данных, обозначенное как : если мы организуем измеренные выборки в вектор с компонентами (если наши измерения состоят из функций, то это векторное пространство с бесконечными размерами); ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=\mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle F(p)}$: отклик модели ; он состоит из данных, предсказанных моделью ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle F(P)}$: изображение с помощью прямой карты, это подмножество (но не подпространство, если оно не линейно), состоящее из ответов всех моделей; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle d_{\text{obs}}-F(p)}$: несоответствия данных (или остатки), связанные с моделью : их можно организовать в виде вектора, элемента . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$

Концепция остатков очень важна: в рамках поиска модели, которая соответствует данным, их анализ показывает, можно ли считать рассматриваемую модель реалистичной или нет . Систематические нереалистичные расхождения между данными и ответами модели также показывают, что прямая карта неадекватна, и могут дать представление об улучшенной прямой карте.

Когда оператор линеен, обратная задача линейна. В противном случае, что чаще всего и бывает, обратная задача нелинейна. Кроме того, модели не всегда могут быть описаны конечным числом параметров. Это тот случай, когда мы ищем распределенные параметры (например, распределение скоростей волн): в таких случаях целью обратной задачи является получение одной или нескольких функций. Такие обратные задачи являются обратными задачами с бесконечной размерностью. ${\displaystyle F}$

Линейные обратные задачи

В случае линейного прямого отображения и когда мы имеем дело с конечным числом параметров модели, прямое отображение можно записать в виде линейной системы , где — матрица, характеризующая прямое отображение. $${\displaystyle d=Fp}$$ ${\displaystyle F}$

Элементарный пример: гравитационное поле Земли.

Только несколько физических систем на самом деле линейны относительно параметров модели. Одной из таких систем из геофизики является система гравитационного поля Земли . Гравитационное поле Земли определяется распределением плотности Земли в недрах. Поскольку литология Земли меняется довольно значительно, мы можем наблюдать мельчайшие различия в гравитационном поле Земли на поверхности Земли. Из нашего понимания гравитации (закон тяготения Ньютона) мы знаем, что математическое выражение для гравитации следующее: здесь — мера локального гравитационного ускорения, — универсальная гравитационная постоянная , — локальная масса (которая связана с плотностью) породы в недрах, — расстояние от массы до точки наблюдения. $${\displaystyle d={\frac {Gp}{r^{2}}};}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Дискретизируя приведенное выше выражение, мы можем связать дискретные данные наблюдений на поверхности Земли с дискретными параметрами модели (плотностью) в недрах, о которых мы хотим узнать больше. Например, рассмотрим случай, когда у нас есть измерения, проведенные в 5 точках на поверхности Земли. В этом случае наш вектор данных является вектором-столбцом размерности (5×1): его -й компонент связан с -й точкой наблюдения. Мы также знаем, что у нас есть только пять неизвестных масс в недрах (нереально, но используется для демонстрации концепции) с известным местоположением: мы обозначаем расстоянием между -й точкой наблюдения и -й массой. Таким образом, мы можем построить линейную систему, связывающую пять неизвестных масс с пятью точками данных следующим образом: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle d=Fp,}$$ $${\displaystyle d={\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\\d_{5}\end{bmatrix}},\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {G}{r_{11}^{2}}}&{\frac {G}{r_{12}^{2}}}&{\frac {G}{r_{13}^{2}}}&{\frac {G}{r_{14}^{2}}}&{\frac {G}{r_{15}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{21}^{2}}}&{\frac {G}{r_{22}^{2}}}&{\frac {G}{r_{23}^{2}}}&{\frac {G}{r_{24}^{2}}}&{\frac {G}{r_{25}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{31}^{2}}}&{\frac {G}{r_{32}^{2}}}&{\frac {G}{r_{33}^{2}}}&{\frac {G}{r_{34}^{2}}}&{\frac {G}{r_{35}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{41}^{2}}}&{\frac {G}{r_{42}^{2}}}&{\frac {G}{r_{43}^{2}}}&{\frac {G}{r_{44}^{2}}}&{\frac {G}{r_{45}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{51}^{2}}}&{\frac {G}{r_{52}^{2}}}&{\frac {G}{r_{53}^{2}}}&{\frac {G}{r_{54}^{2}}}&{\frac {G}{r_{55}^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

Чтобы найти параметры модели, соответствующие нашим данным, мы можем инвертировать матрицу , чтобы напрямую преобразовать измерения в параметры нашей модели. Например: Система с пятью уравнениями и пятью неизвестными — это очень специфическая ситуация: наш пример был разработан так, чтобы в итоге получить эту специфичность. В общем случае, количество данных и неизвестных отличается, поэтому матрица не является квадратной. ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle p=F^{-1}d_{\text{obs}}}$$ ${\displaystyle F}$

Однако даже квадратная матрица может не иметь обратной: матрица может иметь дефицит ранга (т. е. иметь нулевые собственные значения), и решение системы не будет единственным. Тогда решение обратной задачи будет неопределенным. Это первая трудность. Переопределенные системы (больше уравнений, чем неизвестных) имеют другие проблемы. Также шум может исказить наши наблюдения, делая возможным выход за пределы пространства возможных ответов на параметры модели, так что решение системы может не существовать. Это еще одна трудность. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p=F^{-1}d_{\text{obs}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F(P)}$ ${\displaystyle p=F^{-1}d_{\text{obs}}}$

Инструменты для преодоления первой трудности

Первая трудность отражает важную проблему: наши наблюдения не содержат достаточно информации, и требуются дополнительные данные. Дополнительные данные могут поступать из физической предварительной информации о значениях параметров, об их пространственном распределении или, в более общем плане, об их взаимной зависимости. Они также могут поступать из других экспериментов: например, мы можем подумать об интеграции данных, зарегистрированных гравиметрами и сейсмографами, для лучшей оценки плотностей. Интеграция этой дополнительной информации в основном является проблемой статистики . Эта дисциплина является той, которая может ответить на вопрос: как смешивать величины различной природы? Мы будем более точны в разделе «Байесовский подход» ниже.

Что касается распределенных параметров, априорная информация об их пространственном распределении часто состоит из информации о некоторых производных этих распределенных параметров. Кроме того, обычной практикой, хотя и несколько искусственной, является поиск «самой простой» модели, которая разумно соответствует данным. Обычно это достигается путем штрафования нормы градиента ( или общей вариации ) параметров (этот подход также называют максимизацией энтропии). Можно также сделать модель простой с помощью параметризации, которая вводит степени свободы только при необходимости. ${\displaystyle L^{1}}$

Дополнительная информация может быть также интегрирована через ограничения неравенства на параметры модели или некоторые их функции. Такие ограничения важны для избежания нереалистичных значений параметров (например, отрицательных значений). В этом случае пространство, охватываемое параметрами модели, больше не будет векторным пространством, а подмножеством допустимых моделей, обозначенных в дальнейшем как . ${\displaystyle P_{\text{adm}}}$

Инструменты для преодоления второй трудности

Как упоминалось выше, шум может быть таким, что наши измерения не являются образом какой-либо модели, так что мы не можем искать модель, которая производит данные, а ищем лучшую (или оптимальную) модель : то есть ту, которая лучше всего соответствует данным. Это приводит нас к минимизации целевой функции , а именно функционала , который количественно определяет, насколько велики остатки или насколько далеки предсказанные данные от наблюдаемых данных. Конечно, когда у нас есть идеальные данные (т. е. нет шума), то восстановленная модель должна идеально соответствовать наблюдаемым данным. Стандартная целевая функция, , имеет вид: где - евклидова норма (она будет нормой, когда измерения являются функциями, а не выборками) остатков. Этот подход сводится к использованию обычных наименьших квадратов , подхода, широко используемого в статистике. Однако известно, что евклидова норма очень чувствительна к выбросам: чтобы избежать этой трудности, мы можем подумать об использовании других расстояний, например, нормы, вместо нормы . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (p)=\|Fp-d_{\text{obs}}\|^{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Байесовский подход

Очень похож на подход наименьших квадратов вероятностный подход: если мы знаем статистику шума, который загрязняет данные, мы можем подумать о поиске наиболее вероятной модели m, которая является моделью, которая соответствует критерию максимального правдоподобия . Если шум является гауссовым , критерий максимального правдоподобия появляется как критерий наименьших квадратов, евклидово скалярное произведение в пространстве данных заменяется скалярным произведением, включающим ковариацию шума. Кроме того, если априорная информация о параметрах модели доступна, мы могли бы подумать об использовании байесовского вывода для формулировки решения обратной задачи. Этот подход подробно описан в книге Тарантола. ^[9]

Численное решение нашего элементарного примера

Здесь мы используем евклидову норму для количественной оценки несоответствий данных. Поскольку мы имеем дело с линейной обратной задачей, целевая функция является квадратичной. Для ее минимизации классическим является вычисление ее градиента с использованием того же обоснования (как мы бы сделали для минимизации функции только одной переменной). В оптимальной модели этот градиент исчезает, что можно записать как: где F ^T обозначает матрицу, транспонированную к F . Это уравнение упрощается до: ${\displaystyle p_{\text{opt}}}$ $${\displaystyle \nabla _{p}\varphi =2(F^{\mathrm {T} }Fp_{\text{opt}}-F^{\mathrm {T} }d_{\text{obs}})=0}$$ $${\displaystyle F^{\mathrm {T} }Fp_{\text{opt}}=F^{\mathrm {T} }d_{\text{obs}}}$$

Это выражение известно как нормальное уравнение и дает нам возможное решение обратной задачи. В нашем примере матрица оказывается в целом полноранговой, так что уравнение выше имеет смысл и однозначно определяет параметры модели: нам не нужно интегрировать дополнительную информацию, чтобы получить уникальное решение. ${\displaystyle F^{\mathrm {T} }F}$

Математические и вычислительные аспекты

Обратные задачи обычно некорректны, в отличие от корректно поставленных задач, обычно встречающихся в математическом моделировании. Из трех условий корректно поставленной задачи, предложенных Жаком Адамаром (существование, единственность и устойчивость решения или решений), условие устойчивости чаще всего нарушается. В смысле функционального анализа обратная задача представлена ​​отображением между метрическими пространствами . Хотя обратные задачи часто формулируются в бесконечномерных пространствах, ограничения на конечное число измерений и практическое рассмотрение восстановления только конечного числа неизвестных параметров могут привести к тому, что задачи будут переформулированы в дискретной форме. В этом случае обратная задача, как правило, будет плохо обусловленной . В этих случаях регуляризация может использоваться для введения умеренных предположений о решении и предотвращения переобучения . Многие примеры регуляризованных обратных задач можно интерпретировать как особые случаи байесовского вывода . ^[10]

Численное решение задачи оптимизации

Некоторые обратные задачи имеют очень простое решение, например, когда есть набор нерастворимых функций , то есть набор функций , оценка которых в различных точках дает набор линейно независимых векторов. Это означает, что при наличии линейной комбинации этих функций коэффициенты можно вычислить, расположив векторы как столбцы матрицы, а затем инвертировав эту матрицу. Простейшим примером нерастворимых функций являются полиномы, построенные с использованием теоремы ${\displaystyle n}$об нерастворимости , так, чтобы они были нерастворимыми. Конкретно, это делается путем инвертирования матрицы Вандермонда . Но это очень специфическая ситуация. ${\displaystyle n}$

В общем случае решение обратной задачи требует сложных алгоритмов оптимизации. Когда модель описывается большим числом параметров (число неизвестных, участвующих в некоторых приложениях дифракционной томографии, может достигать одного миллиарда), решение линейной системы, связанной с нормальными уравнениями, может быть громоздким. Численный метод, который будет использоваться для решения задачи оптимизации, зависит, в частности, от затрат, необходимых для вычисления решения прямой задачи. После выбора подходящего алгоритма для решения прямой задачи (простое умножение матрицы на вектор может быть недостаточным, когда матрица огромна), подходящий алгоритм для проведения минимизации можно найти в учебниках, посвященных численным методам решения линейных систем и минимизации квадратичных функций (см., например, Ciarlet ^[11] или Nocedal ^[12] ). ${\displaystyle Fp}$ ${\displaystyle F}$

Также пользователь может захотеть добавить физические ограничения к моделям: в этом случае он должен быть знаком с методами ограниченной оптимизации , что само по себе является предметом. Во всех случаях вычисление градиента целевой функции часто является ключевым элементом для решения задачи оптимизации. Как упоминалось выше, информация о пространственном распределении распределенного параметра может быть введена посредством параметризации. Можно также подумать об адаптации этой параметризации во время оптимизации. ^[13]

Если целевая функция основана на норме, отличной от евклидовой, нам придется покинуть область квадратичной оптимизации. В результате задача оптимизации становится сложнее. В частности, когда норма используется для количественной оценки несоответствия данных, целевая функция больше не дифференцируема: ее градиент больше не имеет смысла. В дело вступают специальные методы (см., например, Lemaréchal ^[14] ) из недифференцируемой оптимизации. ${\displaystyle L^{1}}$

После вычисления оптимальной модели нам нужно ответить на вопрос: «Можем ли мы доверять этой модели?» Вопрос можно сформулировать следующим образом: насколько велик набор моделей, которые соответствуют данным «почти так же хорошо», как эта модель? В случае квадратичных целевых функций этот набор содержится в гиперэллипсоиде, подмножестве ( — число неизвестных), размер которого зависит от того, что мы подразумеваем под «почти так же хорошо», то есть от уровня шума. Направление наибольшей оси этого эллипсоида ( собственный вектор, связанный с наименьшим собственным значением матрицы ) — это направление плохо определенных компонентов: если следовать этому направлению, мы можем внести сильное возмущение в модель, не меняя существенно значение целевой функции, и, таким образом, получить существенно иную квазиоптимальную модель. Мы ясно видим, что ответ на вопрос «можем ли мы доверять этой модели» определяется уровнем шума и собственными значениями гессиана целевой функции или, что эквивалентно, в случае, когда регуляризация не была интегрирована, сингулярными значениями матрицы . Конечно, использование регуляризации (или других видов априорной информации) уменьшает размер множества почти оптимальных решений и, в свою очередь, увеличивает уверенность, которую мы можем оказать вычисленному решению. ${\displaystyle R^{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F^{T}F}$ ${\displaystyle F}$

Устойчивость, регуляризация и дискретизация модели в бесконечной размерности

Здесь мы сосредоточимся на восстановлении распределенного параметра. При поиске распределенных параметров мы должны дискретизировать эти неизвестные функции. Поступая так, мы уменьшаем размерность задачи до чего-то конечного. Но теперь возникает вопрос: есть ли какая-либо связь между вычисляемым нами решением и решением исходной задачи? Затем еще один вопрос: что мы подразумеваем под решением исходной задачи? Поскольку конечное число данных не позволяет определить бесконечное количество неизвестных, исходный функционал несоответствия данных должен быть регуляризован, чтобы гарантировать уникальность решения. Во многих случаях уменьшение неизвестных до конечномерного пространства обеспечит адекватную регуляризацию: вычисленное решение будет выглядеть как дискретная версия решения, которое мы искали. Например, наивная дискретизация часто будет работать для решения задачи деконволюции : она будет работать до тех пор, пока мы не позволим отсутствующим частотам проявиться в численном решении. Но во многих случаях регуляризация должна быть явно интегрирована в целевую функцию.

Чтобы понять, что может произойти, мы должны помнить, что решение такой линейной обратной задачи равносильно решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода: $${\displaystyle d(x)=\int _{\Omega }K(x,y)p(y)dy}$$

где — ядро, а — векторы , а — область в . Это справедливо для 2D-приложения. Для 3D-приложения мы рассматриваем . Обратите внимание, что здесь параметры модели состоят из функции и что отклик модели также состоит из функции, обозначенной . Это уравнение является расширением до бесконечной размерности матричного уравнения, заданного в случае дискретных задач. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle x,y\in R^{3}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(x)}$ ${\displaystyle d=Fp}$

Для достаточно гладкого оператор, определенный выше, компактен на разумных банаховых пространствах , таких как . Теория Ф. Рисса утверждает, что множество сингулярных значений такого оператора содержит ноль (отсюда и существование нулевого пространства), является конечным или, самое большее, счетным, и в последнем случае они составляют последовательность, стремящуюся к нулю. В случае симметричного ядра мы имеем бесконечность собственных значений, а соответствующие собственные векторы составляют гильбертов базис . Таким образом, любое решение этого уравнения определяется с точностью до аддитивной функции в нулевом пространстве, а в случае бесконечности сингулярных значений решение (которое включает обратную величину произвольно малых собственных значений) неустойчиво: два ингредиента, которые делают решение этого интегрального уравнения типичной некорректной задачей! Однако мы можем определить решение через псевдообратную функцию прямого отображения (снова с точностью до произвольной аддитивной функции). Когда прямое отображение компактно, классическая регуляризация Тихонова будет работать, если мы используем ее для интегрирования априорной информации, утверждая, что норма решения должна быть как можно меньше: это сделает обратную задачу корректно поставленной. Тем не менее, как и в случае конечной размерности, мы должны усомниться в уверенности, которую мы можем оказать вычисленному решению. Опять же, в основном, информация заключается в собственных значениях оператора Гессе. Если для вычисления решения исследовать подпространства, содержащие собственные векторы, связанные с малыми собственными значениями, то решению вряд ли можно доверять: некоторые из его компонентов будут плохо определены. Наименьшее собственное значение равно весу, введенному в регуляризации Тихонова. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Нерегулярные ядра могут давать прямое отображение, которое не является компактным и даже неограниченным , если мы наивно оснастим пространство моделей нормой . В таких случаях гессиан не является ограниченным оператором, и понятие собственного значения больше не имеет смысла. Требуется математический анализ, чтобы сделать его ограниченным оператором и спроектировать корректно поставленную задачу: иллюстрацию можно найти в ^[15] Опять же, мы должны усомниться в уверенности, которую мы можем оказать вычисленному решению, и мы должны обобщить понятие собственного значения, чтобы получить ответ. ^[16] ${\displaystyle L^{2}}$

Анализ спектра оператора Гессе, таким образом, является ключевым элементом для определения того, насколько надежно вычисленное решение. Однако такой анализ обычно является очень сложной задачей. Это побудило нескольких авторов исследовать альтернативные подходы в случае, когда нас интересуют не все компоненты неизвестной функции, а только под-неизвестные, которые являются изображениями неизвестной функции линейным оператором. Эти подходы называются «методом Бэкуса и Гилберта ^[17] », подходом часовых Лайонса [ ^18] и методом SOLA: ^[19] эти подходы оказались тесно связанными друг с другом, как объяснено в Чавенте ^[20] Наконец, концепция ограниченного разрешения , часто используемая физиками, является не чем иным, как конкретным представлением о том, что некоторые плохо определенные компоненты могут испортить решение. Но, вообще говоря, эти плохо определенные компоненты модели не обязательно связаны с высокими частотами.

Некоторые классические линейные обратные задачи для восстановления распределенных параметров

Упомянутые ниже задачи соответствуют различным версиям интеграла Фредгольма: каждая из них связана с определенным ядром . ${\displaystyle K}$

Деконволюция

Целью деконволюции является восстановление исходного изображения или сигнала , который выглядит зашумленным и размытым на данных . ^[21] С математической точки зрения ядро ​​здесь зависит только от разницы между и . ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle d(x)}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Томографические методы

В этих методах мы пытаемся восстановить распределенный параметр, наблюдение состоит из измерения интегралов этого параметра, выполненного вдоль семейства линий. Мы обозначаем линией в этом семействе, связанной с точкой измерения . Таким образом, наблюдение в может быть записано как: где - длина дуги вдоль и известная весовая функция. Сравнивая это уравнение с интегралом Фредгольма выше, мы замечаем, что ядро ​​является своего рода дельта-функцией , которая достигает пика на линии . С таким ядром прямое отображение не является компактным. ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle d(x)=\int _{\Gamma _{x}}w(x,y)p(y)\,dy}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\Gamma _{x}}}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle {\Gamma _{x}}}$

Компьютерная томография

В рентгеновской компьютерной томографии линии, по которым интегрируется параметр, являются прямыми линиями: томографическая реконструкция распределения параметра основана на инверсии преобразования Радона . Хотя с теоретической точки зрения многие линейные обратные задачи хорошо изучены, проблемы, связанные с преобразованием Радона и его обобщениями, по-прежнему представляют множество теоретических проблем с вопросами достаточности данных, которые все еще не решены. К таким проблемам относятся неполные данные для рентгеновского преобразования в трех измерениях и проблемы, связанные с обобщением рентгеновского преобразования на тензорные поля. Изученные решения включают алгебраическую технику реконструкции , фильтрованную обратную проекцию и, по мере увеличения вычислительной мощности, итерационные методы реконструкции, такие как итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия . ^[22]

Дифракционная томография

Дифракционная томография — классическая линейная обратная задача в разведочной сейсмологии: амплитуда, зарегистрированная в один момент времени для данной пары источник-приемник, представляет собой сумму вкладов, возникающих из точек, таких, что сумма расстояний, измеренных во времени пробега, от источника и приемника, соответственно, равна соответствующему времени регистрации. В 3D параметр интегрируется не по линиям, а по поверхностям. Если скорость распространения постоянна, такие точки распределяются на эллипсоиде. Обратные задачи состоят в извлечении распределения дифрагирующих точек из сейсмограмм, зарегистрированных вдоль съемки, при этом распределение скоростей известно. Прямое решение было первоначально предложено Бейлкиным и Ламбаре и др.: ^[23] эти работы были отправными точками подходов, известных как миграция с сохранением амплитуды (см. Бейлкина ^{[24] [25]} и Блейстейна ^[26] ). Если для решения волнового уравнения использовать методы геометрической оптики (т. е. лучи), то эти методы оказываются тесно связанными с так называемыми методами миграции наименьших квадратов ^[27], полученными из подхода наименьших квадратов (см. Лайлли, ^[28] Тарантола ^[29] ).

Допплеровская томография (астрофизика)

Если мы рассмотрим вращающийся звездный объект, то спектральные линии, которые мы можем наблюдать на спектральном профиле, будут смещены из-за эффекта Доплера. Доплеровская томография направлена ​​на преобразование информации, содержащейся в спектральном мониторинге объекта, в двумерное изображение излучения (как функции радиальной скорости и фазы в периодическом вращательном движении) звездной атмосферы. Как объяснил Том Марш ^[30], эта линейная обратная задача подобна томографии: мы должны восстановить распределенный параметр, который был интегрирован вдоль линий, чтобы произвести его эффекты в записях.

Обратная теплопроводность

Ранние публикации по обратной теплопроводности возникли из определения поверхностного теплового потока во время входа в атмосферу с помощью заглубленных датчиков температуры. ^{[31] [32]} Другие приложения, где необходим поверхностный тепловой поток, но поверхностные датчики непрактичны, включают: внутри поршневых двигателей, внутри ракетных двигателей; и испытание компонентов ядерного реактора. ^[33] Были разработаны различные численные методы для решения проблемы некорректности и чувствительности к ошибке измерения, вызванной затуханием и запаздыванием в температурном сигнале. ^{[34] [35] [36]}

Нелинейные обратные задачи

Нелинейные обратные задачи представляют собой по своей сути более сложное семейство обратных задач. Здесь прямое отображение является нелинейным оператором. Моделирование физических явлений часто опирается на решение уравнения в частных производных (см. таблицу выше, за исключением закона тяготения): хотя эти уравнения в частных производных часто являются линейными, физические параметры, которые появляются в этих уравнениях, зависят нелинейным образом от состояния системы и, следовательно, от наблюдений, которые мы делаем над ней. ${\displaystyle F}$

Некоторые классические нелинейные обратные задачи

Задачи обратного рассеяния

В то время как линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце девятнадцатого века ^{[ требуется ссылка ]} , только один класс нелинейных обратных задач был таковым до 1970 года, а именно обратные спектральные и (одномерные) обратные задачи рассеяния , после основополагающих работ русской математической школы ( Крейн , Гельфанд , Левитан, Марченко ). Большой обзор результатов был дан Чаданом и Сабатье в их книге "Обратные задачи квантовой теории рассеяния" (два издания на английском языке, одно на русском).

В этом типе задач данные являются свойствами спектра линейного оператора, описывающего рассеяние. Спектр состоит из собственных значений и собственных функций , образующих вместе «дискретный спектр» и обобщения, называемые непрерывным спектром. Весьма примечательным физическим моментом является то, что эксперименты по рассеянию дают информацию только о непрерывном спектре, и что знание его полного спектра необходимо и достаточно для восстановления оператора рассеяния. Следовательно, у нас есть невидимые параметры, гораздо более интересные, чем нулевое пространство, которое имеет аналогичное свойство в линейных обратных задачах. Кроме того, существуют физические движения, в которых спектр такого оператора сохраняется как следствие такого движения. Это явление регулируется специальными нелинейными уравнениями эволюции в частных производных, например, уравнением Кортевега–де Фриза . Если спектр оператора сводится к одному единственному собственному значению, его соответствующее движение представляет собой движение одного выступа, который распространяется с постоянной скоростью и без деформации, уединенной волны, называемой « солитоном ».

Идеальный сигнал и его обобщения для уравнения Кортевега–де Фриза или других интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных представляют большой интерес, с многочисленными возможными приложениями. Эта область изучается как раздел математической физики с 1970-х годов. Нелинейные обратные задачи также в настоящее время изучаются во многих областях прикладной науки (акустика, механика, квантовая механика, электромагнитное рассеяние — в частности, радиолокационное зондирование, сейсмическое зондирование и почти все методы визуализации).

Последний пример, связанный с гипотезой Римана, был приведен Ву и Шпрунгом. Идея заключается в том, что в старой полуклассической квантовой теории обратная величина потенциала внутри гамильтониана пропорциональна полупроизводной функции подсчета собственных значений (энергий)  n ( x ).

Согласование проницаемости в нефтяных и газовых пластах

Цель состоит в том, чтобы восстановить коэффициент диффузии в параболическом частном дифференциальном уравнении , которое моделирует однофазные потоки жидкости в пористых средах. Эта проблема была объектом многих исследований с момента пионерской работы, проведенной в начале семидесятых. ^[37] Что касается двухфазных потоков, важной проблемой является оценка относительных проницаемостей и капиллярных давлений. ^[38]

Обратные задачи в волновых уравнениях

Цель состоит в том, чтобы восстановить скорости волн (волны P и S) и распределения плотности из сейсмограмм . Такие обратные задачи представляют основной интерес для сейсмологии и разведочной геофизики . Мы можем в основном рассмотреть две математические модели:

• Уравнение акустической волны (в котором S-волны игнорируются, когда размерность пространства равна 2 или 3)
• Уравнение эластодинамики , в котором скорости P- и S-волн могут быть выведены из параметров Ламе и плотности.

Эти основные гиперболические уравнения можно усовершенствовать, включив затухание , анизотропию , ...

Решение обратной задачи в одномерном волновом уравнении было объектом многих исследований. Это одна из немногих нелинейных обратных задач, для которой мы можем доказать единственность решения. ^[8] Анализ устойчивости решения был еще одной проблемой. ^[39] Были разработаны практические приложения с использованием подхода наименьших квадратов. ^{[39] [40]} Расширение на двумерные или трехмерные задачи и уравнения эластодинамики было предпринято с 80-х годов, но оказалось очень сложным! Эта проблема, часто называемая полной инверсией формы волны (FWI), еще не полностью решена: среди основных трудностей - наличие негауссова шума в сейсмограммах, проблемы с пропуском циклов (также известные как фазовая неоднозначность) и хаотическое поведение функции несоответствия данных. ^[41] Некоторые авторы исследовали возможность переформулирования обратной задачи таким образом, чтобы сделать целевую функцию менее хаотичной, чем функция несоответствия данных. ^{[42] [43]}

Томография во времени прохождения

Понимая, насколько сложна обратная задача в волновом уравнении, сейсмологи исследовали упрощенный подход, используя геометрическую оптику. В частности, они стремились к инвертированию для распределения скорости распространения, зная время прибытия волновых фронтов, наблюдаемых на сейсмограммах. Эти волновые фронты могут быть связаны с прямыми прибытиями или с отражениями, связанными с рефлекторами, геометрия которых должна быть определена совместно с распределением скорости.

Распределение времени прибытия ( точка в физическом пространстве) волнового фронта, выпущенного из точечного источника, удовлетворяет уравнению Эйконала : где обозначает распределение медленности (обратной скорости). Наличие делает это уравнение нелинейным. Классически оно решается путем испускания лучей (траекторий, относительно которых время прибытия стационарно) из точечного источника. ${\displaystyle {\tau }(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|\nabla \tau (x)\|=s(x),}$$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Эта проблема подобна томографии: измеренные времена прибытия являются интегралом вдоль траектории луча от медленности. Но эта подобная томографии проблема нелинейна, в основном потому, что неизвестная геометрия траектории луча зависит от распределения скорости (или медленности). Несмотря на свой нелинейный характер, томография времени прохождения оказалась очень эффективной для определения скорости распространения в Земле или в недрах, причем последний аспект является ключевым элементом для сейсмической визуализации, в частности, с использованием методов, упомянутых в разделе «Дифракционная томография».

Математические аспекты: вопросы Адамара

Вопросы касаются корректности: имеет ли задача наименьших квадратов единственное решение, которое непрерывно зависит от данных (проблема устойчивости)? Это первый вопрос, но он также является сложным из-за нелинейности . Чтобы увидеть, откуда возникают трудности, Чавент ^[44] предложил концептуально разбить минимизацию функции несоответствия данных на два последовательных шага ( — подмножество допустимых моделей): ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P_{\text{adm}}}$

• шаг проекции: по заданному найти проекцию на (ближайшую точку на в соответствии с расстоянием, участвующим в определении целевой функции) ${\displaystyle d_{\text{obs}}}$ ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$ ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$
• по данной проекции найдите один прообраз, который является моделью, изображением которой с помощью оператора является эта проекция. ${\displaystyle F}$

Трудности могут возникнуть (и обычно возникают) на обоих этапах:

1. оператор , скорее всего, не будет однозначным, поэтому может быть более одного прообраза, ${\displaystyle F}$
2. даже если является однозначным, его обратный элемент может не быть непрерывным по , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(P)}$
3. проекция на может не существовать, если это множество не замкнуто, ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$
4. проекция на может быть неоднозначной и не непрерывной, поскольку она может быть невыпуклой из-за нелинейности . ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$ ${\displaystyle F}$

Мы ссылаемся на работу Чавента ^[44] для математического анализа этих точек.

Вычислительные аспекты

Невыпуклая функция несоответствия данных

Поскольку прямая карта нелинейна, функция несоответствия данных, скорее всего, будет невыпуклой, что делает методы локальной минимизации неэффективными. Было исследовано несколько подходов для преодоления этой трудности:

• использование методов глобальной оптимизации, таких как выборка апостериорной функции плотности и алгоритма Метрополиса в вероятностной структуре обратной задачи, ^[45] генетические алгоритмы (отдельно или в сочетании с алгоритмом Метрополиса: см. ^[46] для применения к определению проницаемостей, которые соответствуют существующим данным о проницаемости), нейронные сети, методы регуляризации, включая многомасштабный анализ;
• Переформулирование целевой функции наименьших квадратов таким образом, чтобы сделать ее более гладкой (см. ^{[42] [43]} для обратной задачи в волновых уравнениях).

Вычисление градиента целевой функции

Обратные задачи, особенно в бесконечной размерности, могут быть большого размера, что требует значительного времени вычислений. Когда прямое отображение нелинейно, вычислительные трудности возрастают, и минимизация целевой функции может быть затруднительной. В отличие от линейной ситуации, явное использование матрицы Гессе для решения нормальных уравнений здесь не имеет смысла: матрица Гессе меняется в зависимости от моделей. Гораздо более эффективной является оценка градиента целевой функции для некоторых моделей. Значительные вычислительные усилия могут быть сэкономлены, когда мы можем избежать очень тяжелого вычисления якобиана ( часто называемого « производными Фреше »): метод сопряженного состояния, предложенный Шавентом и Лионсом ^[47] , направлен на то, чтобы избежать этого очень тяжелого вычисления. В настоящее время он очень широко используется. ^[48]

Алгоритм инверсии (опубликован по лицензии Creative Commons CC BY-NC-ND компанией Elsevier) ^[49]

Приложения

Теория обратных задач широко используется в прогнозировании погоды, океанографии, гидрологии и нефтяной инженерии. ^{[50] [51] [52]} Другим применением является инверсия упругих волн для неразрушающей характеристики инженерных сооружений. ^[49]

Обратные задачи также встречаются в области теплопередачи, где поверхностный тепловой поток ^[53] оценивается исходя из данных о температуре, измеренной внутри твердого тела; и при понимании управления распадом растительного вещества. ^[54] Линейная обратная задача также является основой спектральной оценки и оценки направления прихода (DOA) при обработке сигналов .

Обратная литография используется при проектировании фотошаблонов для изготовления полупроводниковых приборов .

Смотрите также

• Обратная задача атмосферы  – измерение вертикального распределения физических свойств атмосферного столбаPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Метод Бэкуса–Гилберта
• Компьютерная томография  – медицинская процедура визуализации с использованием рентгеновских лучей для получения изображений поперечного сечения.Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • Метод алгебраической реконструкции  – Метод в компьютерной томографии
  • Фильтрованная обратная проекция  – Интегральное преобразованиеPages displaying short descriptions of redirect targets
  • Итеративная реконструкция
• Ассимиляция данных  – Метод обновления числовой модели с использованием наблюдаемых данных.
• Инженерная оптимизация  – Методы оптимизации
• Модель «серого ящика»  — математическая модель производства данных с ограниченной структурой.
• Математическая геофизика  – Применение математики в географических областяхPages displaying short descriptions of redirect targets
• Оптимальная оценка  – прикладная статистика, метод обратной регуляризованной матрицы, основанный на теореме БайесаPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сейсмическая инверсия
• Регуляризация Тихонова  – Метод регуляризации для некорректно поставленных задачPages displaying short descriptions of redirect targets
• Сжатое зондирование  – Метод обработки сигнала
• Проблема индукции  – Вопрос о том, приводит ли индуктивное рассуждение к окончательному знанию.

Академические журналы

Четыре основных академических журнала освещают обратные задачи в целом:

• Обратные задачи
• Журнал обратных и некорректных задач ^[55]
• Обратные задачи в науке и технике ^[56]
• Обратные задачи и визуализация ^[57]

Во многих журналах по медицинской визуализации, геофизике, неразрушающему контролю и т. д. преобладают обратные задачи в этих областях.

Ссылки

1. Мохамад-Джафари, Али (29.01.2013). Обратные задачи в области зрения и трехмерной томографии. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-60046-7.
2. Пицло, Зигмунт. «Восприятие как обратная задача». Vision research 41.24 (2001): 3145-3161.
3. Вито, Эрнесто Де и др. «Обучение на примерах как обратная задача». Журнал исследований машинного обучения, 6 мая (2005 г.): 883-904.
4. Карденас, IC (2019). «Об использовании байесовских сетей в качестве подхода к метамоделированию для анализа неопределенностей в анализе устойчивости склонов». Georisk: Оценка и управление рисками для инженерных систем и геологических опасностей . 13 (1): 53–65. Bibcode : 2019GAMRE..13...53C. doi : 10.1080/17499518.2018.1498524. S2CID  216590427.
5. Вейль, Герман (1911). «Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte». Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 110–117. Архивировано из оригинала 1 августа 2013 г. Проверено 14 мая 2018 г.
6. » Эпилог — статья Амбарцумяна Виктор Амбарцумян
7. Амбарцумян, Рубен В. (1998). «Жизнь в астрофизике. Избранные труды Виктора А. Амбарцумяна». Астрофизика . 41 (4): 328–330. doi :10.1007/BF02894658. S2CID  118952753.
8. Burridge, Robert (1980). "Интегральные уравнения Гельфанда-Левитана, Марченко и Гопината-Сонди обратной теории рассеяния, рассматриваемые в контексте обратных задач импульсного отклика". Wave Motion . 2 (4): 305–323. Bibcode : 1980WaMot...2..305B. doi : 10.1016/0165-2125(80)90011-6.
9. Тарантола, Альберт (1987). Теория обратной задачи (1-е изд.). Elsevier. ISBN 9780444599674.
10. Tarantola, Albert (2005). "Front Matter" (PDF) . Теория обратных задач и методы оценки параметров модели . SIAM. стр. i–xii. doi :10.1137/1.9780898717921.fm. ISBN 978-0-89871-572-9.
11. Сиарле, Филипп (1994). Введение в числовой матричный анализ и оптимизацию . Париж: Массон. ISBN 9782225688935.
12. Нокедаль, Хорхе (2006). Численная оптимизация . Springer.
13. Бен Амер, Хенд; Шавен, Гай; Жаффре, Жером (2002). «Индикаторы уточнения и огрубления для адаптивной параметризации: применение к оценке гидравлических пропусканий» (PDF) . Обратные задачи . 18 (3): 775–794. Bibcode : 2002InvPr..18..775B. doi : 10.1088/0266-5611/18/3/317. S2CID  250892174.
14. Лемарешаль, Клод (1989). Оптимизация, Справочники по исследованию операций и науке управления . Elsevier. С. 529–572.
15. Delprat-Jannaud, Florence; Lailly, Patrick (1993). «Некорректные и корректные формулировки задачи томографии времени отражения». Journal of Geophysical Research . 98 (B4): 6589–6605. Bibcode : 1993JGR....98.6589D. doi : 10.1029/92JB02441.
16. Delprat-Jannaud, Florence; Lailly, Patrick (1992). «Какую информацию о модели Земли предоставляют времена пробега отраженных волн». Journal of Geophysical Research . 98 (B13): 827–844. Bibcode : 1992JGR....9719827D. doi : 10.1029/92JB01739.
17. Бэкус, Джордж; Гилберт, Фримен (1968). «Разрешающая способность общих данных о Земле». Геофизический журнал Королевского астрономического общества . 16 (10): 169–205. Bibcode :1968GeoJ...16..169B. doi : 10.1111/j.1365-246X.1968.tb00216.x .
18. Львы, Жак Луи (1988). «Sur les Sentinelles des Distribués systèmes». ЧР акад. наук. Париж . Я Математика: 819–823.
19. Пайперс, Фрэнк; Томпсон, Майкл (1993). «Метод SOLA для гелиосейсмической инверсии». Астрономия и астрофизика . 281 (12): 231–240. Bibcode : 1994A&A...281..231P.
20. Чавент, Гай (1998). Метод наименьших квадратов, контрольные значения и субстрактивное оптимально локализованное среднее в уравнениях aux dérivées partielles и приложениях. Париж: Готье Виллар. стр. 345–356.
21. Kaipio, J., & Somersalo, E. (2010). Статистические и вычислительные обратные задачи. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer.
22. Абейда, Хабти; Чжан, Цилинь; Ли, Цзянь; Мерабтин, Наджим (2013). «Итеративные разреженные асимптотические подходы на основе минимальной дисперсии для обработки массивов» (PDF) . Труды IEEE по обработке сигналов . 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Bibcode : 2013ITSP...61..933A. doi : 10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
23. Ламбаре, Жиль; Вирье, Жан; Мадариага, Рауль; Джин, Сиде (1992). «Итеративная асимптотическая инверсия в акустическом приближении». Геофизика . 57 (9): 1138–1154. Бибкод : 1992Geop...57.1138L. дои : 10.1190/1.1443328. S2CID  55836067.
24. Бейлкин, Грегори (1984). "Проблема обращения и приложения обобщенного преобразования Радона" (PDF) . Сообщения по чистой и прикладной математике . XXXVII (5): 579–599. doi :10.1002/cpa.3160370503.
25. Бейлкин, Грегори (1985). «Визуализация разрывов в обратной задаче рассеяния путем обращения причинного обобщенного преобразования Радона». J. Math. Phys . 26 (1): 99–108. Bibcode :1985JMP....26...99B. doi :10.1063/1.526755.
26. Блейштейн, Норман (1987). «О построении изображений отражателей в земле». Geophysics . 52 (7): 931–942. Bibcode : 1987Geop...52..931B. doi : 10.1190/1.1442363. S2CID  5095133.
27. Немет, Тамас; Ву, Чэнцзюнь; Шустер, Джерард (1999). "Миграция данных неполного отражения методом наименьших квадратов" (PDF) . Геофизика . 64 (1): 208–221. Bibcode :1999Geop...64..208N. doi :10.1190/1.1444517.
28. Лайлли, Патрик (1983). Сейсмическая обратная задача как последовательность миграций до суммирования . Филадельфия: SIAM. С. 206–220. ISBN 0-89871-190-8.
29. Тарантола, Альберт (1984). «Инверсия данных сейсмического отражения в акустическом приближении». Geophysics . 49 (8): 1259–1266. Bibcode : 1984Geop...49.1259T. doi : 10.1190/1.1441754. S2CID  7596552.
30. Марш, Том (2005). «Допплеровская томография». Астрофизика и космическая наука . 296 (1–4): 403–415. arXiv : astro-ph/0011020 . Bibcode :2005Ap&SS.296..403M. doi :10.1007/s10509-005-4859-3. S2CID  15334110.
31. Шумаков, Н. В. (1957). «Метод экспериментального изучения процесса нагревания твердого тела». Советская физика – Техническая физика (перевод Американского института физики) . 2 : 771.
32. Штольц, Г. младший (1960). «Численные решения обратной задачи теплопроводности для простых форм». Журнал теплопередачи . 82 : 20–26. doi :10.1115/1.3679871.
33. Бек, Дж. В.; Блэквелл, Б.; Сент-Клер, К. Р. Мл. (1985). Обратная теплопроводность. Некорректные задачи . Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. ISBN 0471083194.
34. Бек, Дж. В.; Блэквелл, Б.; Хаджи-Шейх, Б. (1996). «Сравнение некоторых методов обратной теплопроводности с использованием экспериментальных данных». Международный журнал по тепло- и массообмену . 39 (17): 3649–3657. Bibcode : 1996IJHMT..39.3649B. doi : 10.1016/0017-9310(96)00034-8.
35. Озисик, МН; Орланде, ХРБ (2021). Обратная теплопередача, основы и приложения (2-е изд.). CRC Press. ISBN 9780367820671.
36. Справочник по обратному проектированию, под редакцией KA Woodbury . CRC Press. 2002. ISBN 9780849308611.
37. Чаван, Гай; Лемонье, Патрик; Дюпюи, Мишель (1975). «Соответствие истории с использованием теории оптимального управления». Журнал Общества инженеров-нефтяников . 15 (2): 74–86. doi :10.2118/4627-PA.
38. Чавент, Гай; Коэн, Гэри; Эспи, М. (1980). «Определение относительных проницаемостей и капиллярных давлений методом автоматической регулировки». Общество инженеров-нефтяников (январь). doi :10.2118/9237-MS.
39. Bamberger, Alain; Chavent, Guy; Lailly, Patrick (1979). «Об устойчивости обратной задачи в одномерном волновом уравнении, применение к интерпретации сейсмических профилей». Журнал прикладной математики и оптимизации . 5 : 1–47. doi :10.1007/bf01442542. S2CID  122428594.
40. Macé, Daniele; Lailly, Patrick (1986). «Решение одномерной обратной задачи VSP». Geophysical Prospecting . 34 (7): 1002–1021. Bibcode : 1986GeopP..34.1002M. doi : 10.1111/j.1365-2478.1986.tb00510.x. OSTI  6901651.
41. Вирьё, Жан; Оперто, Стефан (2009). «Обзор инверсии полной формы волны в разведочной геофизике». Geophysics . 74 (6): WCC1–WCC26. doi :10.1190/1.3238367.
42. Клеман, Франсуа; Шаван, Гай; Гомес, Сюзана (2001). "Инверсия формы волны времени пробега на основе миграции для простых двумерных структур: синтетический пример". Geophysics . 66 (3): 845–860. Bibcode :2001Geop...66..845C. doi :10.1190/1.1444974.
43. Symes, William; Carrazone, Jim (1991). "Инверсия скорости с помощью оптимизации дифференциального подобия". Geophysics . 56 (5): 654–663. Bibcode :1991Geop...56..654S. doi :10.1190/1.1443082.
44. Chavent, Guy (2010). Нелинейные наименьшие квадраты для обратных задач . Springer. ISBN 978-90-481-2785-6.
45. Корен, Цви; Мосегаард, Клаус; Ланда, Евгений; Тор, Пьер; Тарантола, Альберт (1991). «Оценка Монте-Карло и анализ разрешения фоновых скоростей сейсмических волн». Журнал геофизических исследований . 96 (B12): 20289–20299. Bibcode : 1991JGR....9620289K. doi : 10.1029/91JB02278.
46. Tahmasebi, Pejman; Javadpour, Farzam; Sahimi, Muhammad (август 2016 г.). «Стохастическое соответствие проницаемости сланца: трехмерная характеристика и моделирование». International Journal of Coal Geology . 165 : 231–242. Bibcode : 2016IJCG..165..231T. doi : 10.1016/j.coal.2016.08.024.
47. Шавент, Гай (1971). Идентификация коэффициентов в различных уравнениях и производных частицах . Университет Парижа 6: Государственный университет.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
48. Плесси, Рене (2006). «Обзор метода сопряженного состояния для вычисления градиента функционала с геофизическими приложениями». Geophysical Journal International . 167 (2): 495–503. Bibcode : 2006GeoJI.167..495P. doi : 10.1111/j.1365-246X.2006.02978.x .
49. Taslimian, Rohollah; Jaganathan, Arun P. (2024). "Инверсия окружных упругих волн для характеристики бетонных труб". Wave Motion . 127 : 103272. Bibcode : 2024WaMot.12703272T. doi : 10.1016/j.wavemoti.2024.103272 .
50. Карл Вунш (13 июня 1996 г.). Обратная задача циркуляции океана. Cambridge University Press. стр. 9–. ISBN 978-0-521-48090-1.
51. Tahmasebi, Pejman; Javadpour, Farzam; Sahimi, Muhammad (август 2016 г.). «Стохастическое соответствие проницаемости сланца: трехмерная характеристика и моделирование». International Journal of Coal Geology . 165 : 231–242. Bibcode : 2016IJCG..165..231T. doi : 10.1016/j.coal.2016.08.024.
52. Knighton, James; Singh, Kanishka; Evaristo, Jaivime (2020). «Понимание стратегий поглощения воды корнями лесов в масштабе водосбора на континентальной части США с помощью обратного экогидрологического моделирования». Geophysical Research Letters . 47 (1): e2019GL085937. Bibcode : 2020GeoRL..4785937K. doi : 10.1029/2019GL085937 . ISSN  1944-8007. S2CID  213914582.
53. Патрик Фигейредо (декабрь 2014 г.). Разработка итерационного метода решения многомерных обратных задач теплопроводности. Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung RWTH Aachen.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
54. Форни, Дэвид К.; Ротман, Дэниел Х. (2012-09-07). «Общая структура в гетерогенности распада растительного вещества». Журнал интерфейса Королевского общества . 9 (74): 2255–2267. doi :10.1098/rsif.2012.0122. PMC 3405759. PMID  22535699 . 
55. "Журнал обратных и некорректных задач". Архивировано из оригинала 1 февраля 2013 г.
56. «Обратные задачи в науке и технике: Том 25, № 4».
57. "IPI". Архивировано из оригинала 11 октября 2006 года.

Ссылки

• Чадан, Хосров и Сабатье, Пьер Селестен (1977). Обратные задачи квантовой теории рассеяния . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-08092-9 
• Астер, Ричард; Борчерс, Брайан и Тербер, Клиффорд (2018). Оценка параметров и обратные задачи , третье издание, Elsevier. ISBN 9780128134238 , ISBN 9780128134238  
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 19.4. Обратные задачи и использование априорной информации". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 2011-08-11 . Получено 2011-08-17 .

Дальнейшее чтение

• CW Groetsch (1999). Обратные задачи: задания для студентов бакалавриата . Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-716-8.

Внешние ссылки

• Международная ассоциация обратных задач. Архивировано 15 июня 2017 г. на Wayback Machine
• Евразийская ассоциация по обратным задачам
• Финское общество обратных задач
• Сеть обратных задач
• Сайт Альберта Тарантола, включающий бесплатную PDF-версию его книги «Теория обратных задач», а также несколько онлайн-статей по обратным задачам.
• Страница обратных задач в Университете Алабамы. Архивировано 05.04.2014 на Wayback Machine.
• Проект «Обратные задачи и геостатистика» Архивировано 2017-11-02 в Wayback Machine , Институт Нильса Бора, Копенгагенский университет
• Страница ресурсов Геофизической обратной теории Энди Ганса
• Финский центр передового опыта в области исследований обратных задач Архивировано 2009-02-20 в Wayback Machine