Групповой изоморфизм

Гомоморфизм биективной группы

В абстрактной алгебре групповой изоморфизм — это функция между двумя группами , которая устанавливает биекцию между элементами групп таким образом, чтобы соблюдались заданные групповые операции. Если между двумя группами существует изоморфизм, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и их не нужно различать. ^[1]

Определение и обозначения

Для двух групп и группового изоморфизма из до является биективным гомоморфизмом группы из в . Это означает, что групповой изоморфизм является биективной функцией такой, что для всех и в ней выполняется равенство ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

Две группы и изоморфны, если существует изоморфизм одной в другую. ^{[1] [2]} Это написано ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

$${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции понятны, они опускаются и пишут

$${\displaystyle G\cong H.}$$

Иногда можно даже просто написать. Возможна ли такая запись без путаницы и двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, когда обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. также примеры. ${\displaystyle G=H.}$

И наоборот, если у группы есть множество и биекция , мы можем создать группу , определив ${\displaystyle (G,*),}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

$${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

Если и то биекция является автоморфизмом ( qv ). ${\displaystyle H=G}$ ${\displaystyle \odot =*}$

Интуитивно, теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента группы существует такой элемент , который «ведёт себя так же», как (действует с другими элементами группы так же, как ). Например, если порождает , то и порождает. Из этого, в частности, следует, что и находятся в биективном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Изоморфизм групп эквивалентно может быть определен как обратимый гомоморфизм группы (обратная функция гомоморфизма биективной группы также является гомоморфизмом группы).

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительных чисел при сложении изоморфна группе положительных действительных чисел при умножении : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$через изоморфизм . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• Группа целых чисел (со сложением) является подгруппой , а фактор-группа изоморфна группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 (при умножении): ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• Четырехгруппа Клейна изоморфна прямому произведению двух копий группы , и поэтому ее можно записать . Другое обозначение связано с тем, что это диэдральная группа . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• Обобщая это, можно сказать, что все нечетные изоморфны прямому произведению и ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• Если — бесконечная циклическая группа , то она изоморфна целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Изоморфность некоторых групп можно доказать, опираясь на аксиому выбора , но доказательство не указывает, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа изоморфна группе всех сложенных комплексных чисел. ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• Группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения изоморфна упомянутой выше группе. ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Характеристики

Ядром изоморфизма из в всегда является {e _G }, где e _G — единица группы ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Если и изоморфны, то абелева тогда и только тогда, когда абелева . ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Если — изоморфизм из и , то для любого порядок равен порядку ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

Если и изоморфны, то группа является локально конечной тогда и только тогда, когда она локально конечна. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

Количество различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка задается последовательностью A000001 в OEIS . Первые несколько цифр — 0, 1, 1, 1 и 2, что означает, что 4 — это низший порядок с более чем одной группой. ${\displaystyle n}$

Циклические группы

Все циклические группы данного порядка изоморфны где где обозначает сложение по модулю ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ ${\displaystyle +_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Пусть циклическая группа и порядок Пусть генератор , тогда равен Мы покажем, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$

$${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

Определять

$${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$

${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$

${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

Последствия

Из определения следует, что любой изоморфизм отображает единичный элемент в единичный элемент ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$

инверсии

$${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$

${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

Отношение « быть изоморфным» является отношением эквивалентности . Если — это изоморфизм между двумя группами , и тогда все, что верно в отношении этого, связано только со структурой группы, можно перевести через в истинное аналогичное утверждение о и наоборот. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H,}$

Автоморфизмы

Изоморфизм группы в себя называется автоморфизмом группы . Таким образом, это биекция такая, что ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle f:G\to G}$

$${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

Образ при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тот же или другой).

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и с помощью этой операции множество всех автоморфизмов группы, обозначаемой собой, образует группу, группу автоморфизмов ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$ ${\displaystyle G.}$

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм , например в четырехгруппе Клейна . Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна (которая сама изоморфна ). ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

В случае простого числа один неединичный элемент можно заменить любым другим с соответствующими изменениями остальных элементов. Группа автоморфизмов изоморфна Например, для умножения всех элементов на 3 по модулю 7 является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, потому что пока младшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает. Существует еще один автоморфизм с это свойство: умножение всех элементов на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 в том же порядке или наоборот. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$ ${\displaystyle n=7,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

Группа автоморфизмов изоморфна , потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 порождает, поэтому, кроме тождества, мы можем только менять их местами. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

Группа автоморфизмов имеет порядок 168, что можно найти следующим образом. Все 7 неидентичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них будет играть роль. Любой из оставшихся 6 элементов может быть выбран на роль (0,1,0). Это определяет, какой элемент соответствует. Ибо мы можем выбрать из 4, которые определяют все остальное. Таким образом, мы имеем автоморфизмы. Они соответствуют точкам плоскости Фано , 7 точек которой соответствуют 7 нетождественным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: а на одной линии означают и См. также общую линейную группу над конечными полями . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (1,0,0).}$ ${\displaystyle (1,1,0).}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c,}$ ${\displaystyle a+c=b,}$ ${\displaystyle b+c=a.}$

Для абелевых групп все нетривиальные автоморфизмы являются внешними автоморфизмами .

Неабелевы группы имеют нетривиальную внутреннюю группу автоморфизмов и, возможно, также внешние автоморфизмы.

Смотрите также

• Проблема группового изоморфизма
• Биекция  – взаимно однозначное соответствие.

Рекомендации

• Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0471010901.

1. Барнард, Тони и Нил, Хью (2017). Открытие теории групп: переход к высшей математике . Бока-Ратан: CRC Press. п. 94. ИСБН 9781138030169.
2. Бадден, Ф.Дж. (1972). Очарование групп (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 142. ИСБН 0521080169. Проверено 12 октября 2022 г. - через VDOC.PUB.
3. Эш (1973). «Следствие аксиомы выбора». Журнал Австралийского математического общества . 19 (3): 306–308. дои : 10.1017/S1446788700031505 . Проверено 21 сентября 2013 г.