Решетка (дискретная подгруппа)

Дискретная подгруппа в локально компактной топологической группе

Часть дискретной группы Гейзенберга , дискретная подгруппа непрерывной группы Ли Гейзенберга. (Цвета и края предназначены только для наглядности.)

В теории Ли и смежных областях математики решетка в локально компактной группе — это дискретная подгруппа со свойством, что фактор-пространство имеет конечную инвариантную меру . В частном случае подгрупп Rn это сводится к обычному геометрическому понятию решетки как периодического подмножества точек, и как алгебраическая структура решеток, так и геометрия пространства всех решеток относительно хорошо поняты ^.

Теория особенно богата для решеток в полупростых группах Ли или, в более общем плане, в полупростых алгебраических группах над локальными полями . В частности, в этом случае существует множество результатов о жесткости, а знаменитая теорема Григория Маргулиса утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются как арифметические группы .

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности в группах, связанных с алгебрами Каца–Муди и группами автоморфизмов регулярных деревьев (последние известны как древесные решетки ).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: геометрической теории групп (как особенно хороший пример дискретных групп ), в дифференциальной геометрии (посредством построения локально однородных многообразий), в теории чисел (посредством арифметических групп ), в эргодической теории (посредством построения локально однородных многообразий). изучение однородных потоков на факторпространствах) и в комбинаторике (путем построения расширяющихся графов Кэли и других комбинаторных объектов).

Общие сведения о решетках

Неформальное обсуждение

Решетки лучше всего рассматривать как дискретные аппроксимации непрерывных групп (таких как группы Ли). Например, интуитивно понятно, что подгруппа целочисленных векторов в некотором смысле «похожа» на вещественное векторное пространство , при этом обе группы существенно различны: одна конечно порождена и счетна , а другая не конечно порождена и имеет мощность континуума . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Строгое определение значения понятия «аппроксимация непрерывной группы дискретной подгруппой» в предыдущем абзаце с целью получить понятие, обобщающее пример, — это вопрос того, для чего он предназначен. Возможно, наиболее очевидная идея состоит в том, чтобы сказать, что подгруппа «приближает» большую группу, и состоит в том, что большая группа может быть охвачена трансляциями «маленького» подмножества всеми элементами в подгруппах. В локально компактной топологической группе сразу имеются два понятия «малого»: топологическое ( компактное или относительно компактное подмножество ) или теоретико-мерное (подмножество конечной меры Хаара). Обратите внимание: поскольку мера Хаара является мерой Радона и придает конечную массу компактным подмножествам, второе определение является более общим. Определение решетки, используемое в математике, опирается на второй смысл (в частности, включает такие примеры, как ), но первое также имеет свой интерес (такие решетки называются равномерными). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Другими понятиями являются грубая эквивалентность и более сильная квазиизометрия . Однородные решетки квазиизометричны своим объемлющим группам, а неоднородные даже грубо им не эквивалентны.

Определение

Пусть – локально компактная группа и дискретная подгруппа (это означает, что существует окрестность единицы такой, что ). Тогда называется решеткой в, если, кроме того, существует борелевская мера в факторпространстве , которая конечна (т. е. ) и -инвариантна (это означает, что для любого и любого открытого подмножества выполняется равенство ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

Несколько более сложная формулировка такова: предположим, что, кроме того, она унимодулярна, тогда, поскольку она дискретна, она также унимодулярна, и по общим теоремам существует единственная -инвариантная борелевская мера с точностью до масштабирования. Тогда является решеткой тогда и только тогда, когда эта мера конечна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера локально совпадает с мерой Хаара, и, следовательно, дискретная подгруппа в локально компактной группе, являющаяся решеткой, эквивалентна тому, что она имеет фундаментальную область (для действия на левыми сдвигами) конечного объема для мера Хаара. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Решетка называется однородной (или кокомпактной), если фактор-пространство компактно (и неоднородно в противном случае). Эквивалентно, дискретная подгруппа является равномерной решеткой тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество с . Обратите внимание, что если какая-либо дискретная подгруппа в такой компактна, то она автоматически является решеткой в ​​. ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle C\subset G}$ ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$

Первые примеры

Фундаментальным и простейшим примером является подгруппа , которая представляет собой решетку в группе Ли . Немного более сложный пример дает дискретная группа Гейзенберга внутри непрерывной группы Гейзенберга. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Если группа дискретна, то решетка в ней является в точности подгруппой конечного индекса (т. е. фактормножество конечно). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Все эти примеры однотипны. Неоднородный пример даёт модулярная группа внутри , а также многомерные аналоги . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Любая подгруппа конечного индекса решетки также является решеткой той же группы. В более общем смысле подгруппа, соизмеримая решетке, является решеткой.

Какие группы имеют решетки?

Не всякая локально компактная группа содержит решетку, и для этого не существует общего теоретико-группового достаточного условия. С другой стороны, существует множество более конкретных условий, в которых существуют такие критерии. Например, существование или отсутствие решеток в группах Ли — хорошо изученная тема.

Как мы уже упоминали, необходимым условием того, чтобы группа содержала решетку, является то, что группа должна быть унимодулярной . Это позволяет легко создавать группы без решеток, например группу обратимых верхнетреугольных матриц или аффинные группы . Также не очень сложно найти унимодулярные группы без решеток, например некоторые нильпотентные группы Ли, как описано ниже.

Более сильным условием, чем унимодулярность, является простота . Этого достаточно, чтобы подразумевать существование решетки в группе Ли, но в более общей ситуации локально компактных групп существуют простые группы без решетки, например «группы Неретина». ^[1]

Решетки в разрешимых группах Ли

Нильпотентные группы Ли

Для нильпотентных групп теория значительно упрощается по сравнению с общим случаем и остается аналогичной случаю абелевых групп. Все решетки в нильпотентной группе Ли равномерны, и если это связная односвязная нильпотентная группа Ли (что эквивалентно, она не содержит нетривиальной компактной подгруппы), то дискретная подгруппа является решеткой тогда и только тогда, когда она не содержится в собственной связной группе Ли. подгруппа ^[2] (это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой тогда и только тогда, когда она охватывает векторное пространство). ${\displaystyle N}$

Нильпотентная группа Ли содержит решетку тогда и только тогда, когда алгебра Ли может быть определена над рациональными числами. То есть тогда и только тогда, когда структурные константы являются рациональными числами. ^[3] Точнее: в нильпотентной группе, чья алгебра Ли имеет только рациональные структурные константы, решетки представляют собой образы через экспоненциальное отображение решеток (в более элементарном смысле решетки (группы) ) в алгебре Ли. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Решетка в нильпотентной группе Ли всегда конечно порождена (и, следовательно , конечно представима, поскольку сама нильпотентна); на самом деле он генерируется не более чем большинством элементов. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \dim(N)}$

Наконец, нильпотентная группа изоморфна решетке в нильпотентной группе Ли тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения и конечно порожденную.

Общий случай

Приведенный выше критерий наличия решетки нильпотентных групп Ли не применим к более общим разрешимым группам Ли. Остается верным, что любая решетка в разрешимой группе Ли является равномерной ^[5] и что решетки в разрешимых группах конечно представимы.

Не все конечно порожденные разрешимые группы являются решетками в группе Ли. Алгебраический критерий состоит в том, что группа является полициклической . ^[6]

Решетки в полупростых группах Ли

Арифметические группы и существование решеток

Если это полупростая линейная алгебраическая группа , в которой определено над полем рациональных чисел (т.е. определяющие полиномиальные уравнения имеют свои коэффициенты в ), то она имеет подгруппу . Фундаментальная теорема Армана Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что в ; простейшим примером этого является подгруппа . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Обобщая приведенную выше конструкцию, получаем понятие арифметической решетки в полупростой группе Ли. Поскольку все полупростые группы Ли могут быть определены, следствием арифметической конструкции является то, что любая полупростая группа Ли содержит решетку. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

неприводимость

Когда группа Ли распадается как произведение, происходит очевидное построение решеток из меньших групп: если являются решетками, то также является решеткой. Грубо говоря, решетка называется неприводимой, если она не возникает из этой конструкции. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$

Более формально, если - разложение на простые факторы, решетка называется неприводимой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$

• Проекция на любой фактор плотна; ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$
• Пересечение с любым фактором не является решеткой. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$

Примером неприводимой решетки является подгруппа , которую мы рассматриваем как подгруппу через отображение где – отображение Галуа, отправляющее матрицу с коэффициентами в . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$

Ранг 1 против более высокого ранга

Действительный ранг группы Ли — это максимальная размерность -расщепимого тора ( абелева подгруппа, содержащая только полупростые элементы с хотя бы одним вещественным собственным значением, отличным от ). Полупростыми группами Ли вещественного ранга 1 без компактных факторов являются (с точностью до изогении ) группы Ли из следующего списка (см. Список простых групп Ли ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pm 1}$

• Ортогональные группы действительных квадратичных форм сигнатуры для ; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Унитарные группы эрмитовых форм сигнатуры для ; ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Группы (группы матриц с коэффициентами кватернионов , сохраняющими «кватернионную квадратичную форму» сигнатуры ) для ; ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Исключительная группа Ли (вещественная форма ранга 1, соответствующая исключительной алгебре Ли ). ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle F_{4}}$

Действительный ранг группы Ли оказывает существенное влияние на поведение содержащихся в ней решеток. В частности, поведение решеток первых двух семейств групп (и в меньшей степени решеток последних двух) существенно отличается от поведения неприводимых решеток в группах более высокого ранга. Например:

• Неарифметические решетки существуют во всех группах , в , ^{[7], [8]} и, возможно, в (последний вопрос остается открытым ), но все неприводимые решетки в остальных арифметичны; ^{[9] [10]} ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• Решетки в группах Ли ранга 1 имеют бесконечные, бесконечные нормальные подгруппы индекса , в то время как все нормальные подгруппы неприводимых решеток более высокого ранга либо имеют конечный индекс, либо содержатся в их центре; ^{[11] [12]}
• Предположительно, арифметические решетки в группах более высокого ранга обладают свойством конгруэнтной подгруппы ^[13], но существует много решеток, в которых есть неконгруэнтные подгруппы конечного индекса. ^[14] ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Собственность Каждана (Т)

Свойство, известное как (T), было введено Кажданом для изучения решеток алгебраических структур в некоторых группах Ли, когда классические, более геометрические методы не дали результата или, по крайней мере, оказались не столь эффективными. Основным результатом при изучении решеток является следующий: ^[15]

Решетка в локально компактной группе обладает свойством (Т) тогда и только тогда, когда сама группа обладает свойством (Т).

Используя гармонический анализ, можно классифицировать полупростые группы Ли в зависимости от того, обладают ли они этим свойством. Как следствие, мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрирующий дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в не обладают свойством Каждана (Т), в то время как неприводимые решетки во всех других простых группах Ли обладают свойством; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Свойства конечности

Решетки в полупростых группах Ли всегда конечно представлены и фактически удовлетворяют более сильным условиям конечности . ^[16] Для однородных решеток это является прямым следствием кокомпактности. В неоднородном случае это можно доказать с помощью теории редукции. ^[17] Легче доказать конечную представимость для групп со свойством (T) ; однако существует геометрическое доказательство, которое работает для всех полупростых групп Ли. ^[18]

Римановы многообразия, ассоциированные с решетками в группах Ли

Левоинвариантные метрики

Если группа Ли, то из скалярного произведения на касательном пространстве (алгебре Ли ) можно построить риманову метрику следующим образом: если принадлежат касательному пространству в точке , где указывает касательное отображение (at ) группы Ли. диффеоморфизм . _ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$ ${\displaystyle G}$

Карты для по определению являются изометриями для этой метрики . В частности, если есть какая-либо дискретная подгруппа в (так что она действует свободно и правильно разрывно посредством левых сдвигов на ), то фактор представляет собой риманово многообразие, локально изометричное с метрикой . ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$

Форма риманова объема , связанная с , определяет меру Хаара на , и мы видим, что фактормногообразие имеет конечный риманов объем тогда и только тогда, когда оно является решеткой. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Интересные примеры этого класса римановых пространств включают компактные плоские многообразия и нильмногообразия .

Локально симметричные пространства

Естественная билинейная форма на задается формой Киллинга . Если оно не компактно, оно не является определенным и, следовательно, не является скалярным произведением: однако, когда оно полупросто и является максимальной компактной подгруппой, его можно использовать для определения -инвариантной метрики в однородном пространстве : такие римановы многообразия называются симметрическими пространствами не- компактный тип без евклидовых факторов. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

Подгруппа действует свободно, собственно разрывно, тогда и только тогда, когда она дискретна и не имеет кручения. Факторы называются локально-симметричными пространствами. Таким образом, существует биективное соответствие между полными локально-симметричными пространствами, локально изоморфными и имеющими конечный риманов объем, и решетками без кручения в . Это соответствие можно распространить на все решетки, добавив орбифолды на геометрической стороне. ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Решетки в p-адических группах Ли

Класс групп со свойствами, подобными (относительно решеток) вещественным полупростым группам Ли, — это полупростые алгебраические группы над локальными полями характеристики 0, например р -адическими полями . Имеется арифметическая конструкция, аналогичная реальному случаю, и дихотомия между высшим рангом и рангом единица имеет место и в этом случае, в более выраженной форме. Пусть – алгебраическая группа над расщепленного ранга r . Затем: ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• Если r не меньше 2, все неприводимые решетки в арифметичны; ${\displaystyle G}$
• если r=1 , то существует несчетное число классов соизмеримости неарифметических решеток. ^[19]

В последнем случае все решетки фактически являются свободными группами (вплоть до конечного индекса).

S-арифметические группы

В более общем смысле можно рассматривать решетки в группах вида

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

где – полупростая алгебраическая группа над . Обычно разрешено, и в этом случае это настоящая группа Ли. Пример такой решетки дает ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

Эту арифметическую конструкцию можно обобщить и получить понятие S-арифметической группы . Теорема об арифметичности Маргулиса применима и к этому случаю. В частности, если хотя бы два из сомножителей некомпактны, то любая неприводимая решетка в является S-арифметичной. ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G}$

Решетки в группах аделей

Если — полупростая алгебраическая группа над числовым полем и его кольцом аделей , то группа аделических точек корректно определена (с учетом некоторых технических деталей) и является локально компактной группой, которая естественным образом содержит группу -рациональных точек в качестве дискретной подгруппы. Теорема Бореля-Хариша-Чандры распространяется на этот случай и представляет собой решетку. ^[20] ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Теорема о сильной аппроксимации связывает частное с более классическими факторами S-арифметики. Этот факт делает группы Аделей очень эффективными инструментами теории автоморфных форм . В частности, современные формы формулы следа обычно формулируются и доказываются для аделических групп, а не для групп Ли. ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Жесткость

Результаты жесткости

Другая группа явлений, касающихся решеток в полупростых алгебраических группах, известна под общим названием жесткость . Вот три классических примера результатов в этой категории.

Результаты локальной жесткости утверждают, что в большинстве ситуаций каждая подгруппа, которая достаточно «близка» к решетке (в интуитивном смысле, формализованном топологией Шаботи или топологией на многообразии характеров ), фактически сопряжена с исходной решеткой элементом амбиентная группа Ли. Следствием локальной жесткости и теоремы Каждана-Маргулиса является теорема Ванга: в данной группе (с фиксированной мерой Хаара) для любого v>0 существует лишь конечное число (с точностью до сопряжения) решеток с кообъемом, ограниченным v .

Теорема о жесткости Мостоу утверждает, что для решеток в простых группах Ли, не локально изоморфных (группе матриц размера 2 на 2 с определителем 1), любой изоморфизм решеток по существу индуцируется изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе Ли «помнит» окружающую группу Ли через свою групповую структуру. Первое утверждение иногда называют сильной жесткостью и принадлежит Джорджу Мостоу и Гопалу Прасаду (Мостоу доказал его для кокомпактных решеток, а Прасад распространил его на общий случай). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Сверхжесткость обеспечивает (для групп Ли и алгебраических групп над локальными полями более высокого ранга) усиление как локальной, так и сильной жесткости, имея дело с произвольными гомоморфизмами решетки в алгебраической группе G в другую алгебраическую группу H . Оно было доказано Григорием Маргулисом и является важным компонентом доказательства его теоремы об арифметике.

Нежесткость в малых размерах

Единственные полупростые группы Ли, для которых не выполняется жесткость Мостова, — это все группы, локально изоморфные . В этом случае на самом деле существует непрерывно много решеток, и они порождают пространства Тейхмюллера . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Неоднородные решетки в группе не являются локально жесткими. Фактически они являются точками накопления (в топологии Шаботи) решеток меньшего кообъема, как показывает гиперболическая хирургия Дена . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Поскольку решетки в p-адических группах ранга один являются практически свободными группами, они очень нежесткие.

Решетки для деревьев

Определение

Пусть – дерево с кокомпактной группой автоморфизмов; например, может быть регулярным или бирегулярным деревом. Группа автоморфизмов является локально компактной группой (если она наделена компактно-открытой топологией , в которой базис окрестностей единицы задается стабилизаторами конечных поддеревьев, которые компактны). Любая группа, которая в некотором смысле является решеткой, называется древесной решеткой . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

Дискретность в этом случае легко увидеть из действия группы на дереве: подгруппа дискретна тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершин являются конечными группами. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

Из основной теории действий групп на деревьях легко видеть, что однородные древесные решетки являются практически свободными группами. Таким образом, наиболее интересными древовидными решетками являются неоднородные, то есть те, для которых факторграф бесконечен. Существование таких решеток увидеть непросто. ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

Древовидные решетки алгебраических групп

Если - локальное поле положительной характеристики (т.е. пополнение функционального поля кривой над конечным полем, например полем формальных степенных рядов Лорана ) и алгебраическая группа, определенная над -разбитым рангом один, то любая решетка в является древовидной решеткой благодаря действию на здание Брюа–Титса , которое в данном случае является деревом. В отличие от случая характеристики 0 такие решетки могут быть неоднородными и в этом случае они никогда не являются конечно порожденными. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Древовидные решетки из теории Басса – Серра

Если – фундаментальная группа бесконечного графа групп , все группы вершин которого конечны, и при дополнительных необходимых предположениях об индексе реберных групп и размере вершинных групп, то действие на дереве Басса-Серра связанный с графом групп, реализует его как древовидную решетку. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Критерий существования

В более общем плане можно задать следующий вопрос: если является замкнутой подгруппой группы , при каких условиях она содержит решетку? Существование однородной решетки эквивалентно унимодулярности и конечности фактора. Общая теорема существования более тонкая: необходимо и достаточно, чтобы оно было унимодулярным и чтобы фактор имел «конечный объем» в подходящем смысле (который можно выразить комбинаторно через действие ), более общий, чем более сильный при условии конечности фактора (что доказывается самим существованием неоднородных древесных решеток). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$

Примечания

1. Бадер, Ури; Капрас, Пьер-Эммануэль; Геландер, Цачик; Мозес, Шахар (2012). «Простые группы без решеток». Бык. Лондонская математика. Соц . 44 : 55–67. arXiv : 1008.2911 . дои : 10.1112/blms/bdr061. MR  2881324. S2CID  119130421.
2. Рагунатан 1972, Теорема 2.1.
3. Рагунатан 1972, Теорема 2.12.
4. Рагунатан 1972, Теорема 2.21.
5. Рагунатан 1972, Теорема 3.1.
6. Рагунатан 1972, Теорема 4.28.
7. Громов, Миша; Пятецкий-Шапиро, Илья (1987). «Неарифметические группы в пространствах Лобачевского» (PDF) . Опубл. Математика. ИХЕС . 66 : 93–103. дои : 10.1007/bf02698928. MR  0932135. S2CID  55721623.
8. Делинь, Пьер; Мостоу, Джордж (1993). Соизмеримости решеток в PU (1,n) . Издательство Принстонского университета. МР  1241644.
9. Маргулис 1991, с. 298.
10. Витте-Моррис 2015, Теорема 5.21.
11. Маргулис 1991, стр. 263–270.
12. Витте-Моррис 2015, Теорема 17.1.
13. Рагунатан, MS (2004). «Проблема о конгруэнтности подгруппы». Учеб. Индийский акад. наук. Математика. Наука . 114 (4): 299–308. arXiv : math/0503088 . дои : 10.1007/BF02829437. MR  2067695. S2CID  18414386.
14. Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). Рост подгруппы . Прогресс в математике. Том. 212. Биркхойзер Верлаг. Глава 7. ISBN 3-7643-6989-2. МР  1978431.
15. Витте-Моррис 2015, предложение 13.17.
16. Геландер, Цачик (15 сентября 2004 г.). «Гомотопический тип и объем локально симметричных многообразий». Математический журнал Дьюка . 124 (3): 459–515. arXiv : math/0111165 . doi : 10.1215/S0012-7094-04-12432-7.
17. Витте-Моррис 2015, Глава 19.
18. Геландер, Цачик (декабрь 2011 г.). «Объем в зависимости от ранга решеток». Журнал для королевы и математики . 2011 (661): 237–248. arXiv : 1102.3574 . дои : 10.1515/CRELLE.2011.085.
19. Любоцкий, Александр (1991). «Решетки в группах Ли первого ранга над локальными полями». Геом. Функц. Анал . 1 (4): 406–431. дои : 10.1007/BF01895641. MR  1132296. S2CID  119638780.
20. Вейль, Андре (1982). Адели и алгебраические группы. С приложениями М. Демазюра и Такаси Оно . Прогресс в математике. Том. 23. Биркхойзер. стр. iii+126. ISBN 3-7643-3092-9. МР  0670072.

Рекомендации

• Басс, Хайман; Любоцкий, Александр (2001). Древовидные решетки. С приложениями Х. Басса, Л. Карбоне, А. Любоцкого, Г. Розенберга и Дж. Титса . Прогресс в математике. Биркхойзер Верлаг. ISBN 0-8176-4120-3.
• Маргулис, Григорий (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Спрингер-Верлаг . стр. х+388. ISBN 3-540-12179-Х. МР  1090825.
• Платонов Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. Том. 139. Бостон, Массачусетс: ISBN Academic Press, Inc. 0-12-558180-7. МР  1278263.
• Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Спрингер-Верлаг . МР  0507234.
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы. Дедуктивный пресс. п. 492. ИСБН 978-0-9865716-0-2.
• Геландер, Цачик (2014). «Лекции по решеткам и локально-симметричным пространствам». В Бествине, Младен; Сагеев, Миха; Фогтманн, Карен (ред.). Геометрическая теория групп . стр. 249–282. arXiv : 1402.0962 . Бибкод : 2014arXiv1402.0962G.