Решетка (дискретная подгруппа)

Дискретная подгруппа в локально компактной топологической группе

Часть дискретной группы Гейзенберга , дискретная подгруппа непрерывной группы Ли Гейзенберга. (Раскраска и ребра приведены только для наглядности.)

В теории Ли и смежных областях математики решетка в локально компактной группе — это дискретная подгруппа со свойством, что факторпространство имеет конечную инвариантную меру . В частном случае подгрупп R ⁿ это равносильно обычному геометрическому понятию решетки как периодического подмножества точек, и как алгебраическая структура решеток, так и геометрия пространства всех решеток относительно хорошо изучены.

Теория особенно богата для решеток в полупростых группах Ли или, в более общем смысле, в полупростых алгебраических группах над локальными полями . В частности, в этой постановке есть множество результатов о жесткости, и знаменитая теорема Григория Маргулиса утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются как арифметические группы .

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности в группах, связанных с алгебрами Каца–Муди и группами автоморфизмов регулярных деревьев (последние известны как решеточные деревья ).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: геометрической теории групп (как особенно хорошие примеры дискретных групп ), дифференциальной геометрии (через построение локально однородных многообразий), теории чисел (через арифметические группы ), эргодической теории (через изучение однородных потоков на факторпространствах) и комбинаторике (через построение расширяющихся графов Кэли и других комбинаторных объектов).

Общие положения о решетках

Неформальное обсуждение

Решетки лучше всего рассматривать как дискретные аппроксимации непрерывных групп (таких как группы Ли). Например, интуитивно ясно, что подгруппа целочисленных векторов «выглядит» как действительное векторное пространство в некотором смысле, в то время как обе группы по сути различны: одна конечно порождена и счетна , а другая не конечно порождена и имеет мощность континуума . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Строгое определение значения «аппроксимации непрерывной группы дискретной подгруппой» в предыдущем абзаце с целью получения понятия, обобщающего пример, является вопросом того, для чего оно предназначено. Возможно, самая очевидная идея — сказать, что подгруппа «аппроксимирует» большую группу, заключается в том, что большая группа может быть покрыта трансляциями «малого» подмножества всеми элементами в подгруппах. В локально компактной топологической группе есть два непосредственно доступных понятия «малого»: топологическое (компактное или относительно компактное подмножество ) или теоретико-мерное (подмножество конечной меры Хаара). Обратите внимание, что поскольку мера Хаара является мерой Радона , то она дает конечную массу компактным подмножествам, второе определение является более общим. Определение решетки, используемое в математике, опирается на второе значение (в частности, чтобы включить такие примеры, как ), но первое также имеет свой собственный интерес (такие решетки называются равномерными). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Другие понятия — грубая эквивалентность и более сильная квазиизометрия . Однородные решетки квазиизометричны своим окружающим группам, но неоднородные даже грубо не эквивалентны им.

Определение

Пусть — локально компактная группа и дискретная подгруппа (это означает, что существует окрестность единичного элемента такой, что ). Тогда называется решеткой в ​​, если, кроме того, существует борелевская мера на факторпространстве , которая конечна (т.е. ) и -инвариантна (это означает, что для любого и любого открытого подмножества выполняется равенство ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

Немного более сложная формулировка выглядит следующим образом: предположим, что дополнительно является унимодулярным, тогда, поскольку является дискретным, он также является унимодулярным и по общим теоремам существует единственная -инвариантная мера Бореля на с точностью до масштабирования. Тогда является решеткой тогда и только тогда, когда эта мера конечна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера локально совпадает с мерой Хаара , и, следовательно, дискретная подгруппа в локально компактной группе, являющаяся решеткой, эквивалентна тому, что она имеет фундаментальную область (для действия на левыми сдвигами) конечного объема для меры Хаара. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Решетка называется равномерной (или кокомпактной), когда факторпространство компактно (и неравномерно в противном случае). Эквивалентно, дискретная подгруппа является равномерной решеткой тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество с . Обратите внимание, что если — любая дискретная подгруппа в , такая что компактна, то автоматически является решеткой в ​​. ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle C\subset G}$ ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$

Первые примеры

Фундаментальным и самым простым примером является подгруппа , которая является решеткой в ​​группе Ли . Немного более сложный пример дает дискретная группа Гейзенберга внутри непрерывной группы Гейзенберга. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Если — дискретная группа, то решетка в ней — это в точности подгруппа конечного индекса (т.е. фактор -множество конечно). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Все эти примеры однородны. Неоднородный пример дается модулярной группой внутри , а также более многомерными аналогами . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Любая подгруппа конечного индекса решетки также является решеткой в ​​той же группе. В более общем смысле, подгруппа, соизмеримая с решеткой, является решеткой.

Какие группы имеют решетки?

Не каждая локально компактная группа содержит решетку, и для этого нет общего теоретико-группового достаточного условия. С другой стороны, есть много более конкретных ситуаций, где такие критерии существуют. Например, существование или несуществование решеток в группах Ли — хорошо изученная тема.

Как мы уже упоминали, необходимым условием для того, чтобы группа содержала решетку, является то, что группа должна быть унимодулярной . Это позволяет легко строить группы без решеток, например, группу обратимых верхних треугольных матриц или аффинные группы . Также не очень сложно найти унимодулярные группы без решеток, например, некоторые нильпотентные группы Ли, как объясняется ниже.

Более сильным условием, чем унимодулярность, является простота . Этого достаточно, чтобы подразумевать существование решетки в группе Ли, но в более общем случае локально компактных групп существуют простые группы без решеток, например, «группы Неретина». ^[1]

Решетки в разрешимых группах Ли

Нильпотентные группы Ли

Для нильпотентных групп теория значительно упрощается по сравнению с общим случаем и остается похожей на случай абелевых групп. Все решетки в нильпотентной группе Ли однородны, и если — связная односвязная нильпотентная группа Ли (эквивалентно, она не содержит нетривиальной компактной подгруппы), то дискретная подгруппа является решеткой тогда и только тогда, когда она не содержится в собственной связной подгруппе ^[2] (это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой тогда и только тогда, когда она охватывает векторное пространство). ${\displaystyle N}$

Нильпотентная группа Ли содержит решетку тогда и только тогда, когда алгебра Ли может быть определена над рациональными числами. То есть тогда и только тогда, когда структурные константы являются рациональными числами. ^[3] Точнее: если — нильпотентная односвязная группа Ли, алгебра Ли которой имеет только рациональные структурные константы, и является решеткой в ​​(в более элементарном смысле Решетка (группа) ), то порождает решетку в ; наоборот, если — решетка в , то порождает решетку в . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \exp(L)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \exp ^{-1}(\Gamma )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Решетка в нильпотентной группе Ли всегда конечно порождена (и, следовательно, конечно представлена, поскольку сама нильпотентна); фактически она порождается не более чем элементами. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \dim(N)}$

Наконец, нильпотентная группа изоморфна решетке в нильпотентной группе Ли тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу конечного индекса, которая не имеет кручения и конечно порождена.

Общий случай

Критерий того, что нильпотентные группы Ли имеют решетку, данный выше, не применим к более общим разрешимым группам Ли. Остается верным, что любая решетка в разрешимой группе Ли является однородной ^[5] и что решетки в разрешимых группах конечно представлены.

Не все конечно порожденные разрешимые группы являются решетками в группе Ли. Алгебраический критерий состоит в том, что группа должна быть полициклической . ^[6]

Решетки в полупростых группах Ли

Арифметические группы и существование решеток

Если — полупростая линейная алгебраическая группа , в которой определено над полем рациональных чисел ( т.е. полиномиальные уравнения, определяющие , имеют коэффициенты в ), то она имеет подгруппу . Фундаментальная теорема Арманда Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что всегда является решеткой в ​​; простейшим примером этого является подгруппа . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Обобщая конструкцию выше, получаем понятие арифметической решетки в полупростой группе Ли. Поскольку все полупростые группы Ли могут быть определены над , следствием арифметической конструкции является то, что любая полупростая группа Ли содержит решетку. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Неприводимость

Когда группа Ли распадается как произведение, то возникает очевидная конструкция решеток из меньших групп: если являются решетками, то также является решеткой. Грубо говоря, решетка тогда называется неприводимой, если она не получается из этой конструкции. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$

Более формально, если — разложение на простые множители, то решетка называется неприводимой, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$

• Проекция на любой фактор плотная; ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$
• Пересечение с любым фактором не является решеткой. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$

Примером неприводимой решетки является подгруппа , которую мы рассматриваем как подгруппу посредством отображения , где — отображение Галуа, отправляющее матрицу с коэффициентами в . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$

Ранг 1 против более высокого ранга

Действительный ранг группы Ли — это максимальная размерность -расщепляемого тора ( абелевой подгруппы, содержащей только полупростые элементы с хотя бы одним действительным собственным значением, отличным от ). Полупростые группы Ли действительного ранга 1 без компактных факторов — это (с точностью до изогении ) группы в следующем списке (см. Список простых групп Ли ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pm 1}$

• Ортогональные группы действительных квадратичных форм сигнатуры для ; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Унитарные группы эрмитовых форм сигнатуры для ; ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Группы (группы матриц с кватернионными коэффициентами, сохраняющие «кватернионную квадратичную форму» сигнатуры ) для ; ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Исключительная группа Ли (действительная форма ранга 1, соответствующая исключительной алгебре Ли ). ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle F_{4}}$

Действительный ранг группы Ли оказывает существенное влияние на поведение содержащихся в ней решеток. В частности, поведение решеток в первых двух семействах групп (и в меньшей степени поведение решеток в последних двух) сильно отличается от поведения неприводимых решеток в группах более высокого ранга. Например:

• Существуют неарифметические решетки во всех группах , в , ^{[7] [8]} и, возможно, в (последнее — открытый вопрос ), но все неприводимые решетки в остальных являются арифметическими; ^{[9] [10]} ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• Решетки в группах Ли ранга 1 имеют бесконечные нормальные подгруппы бесконечного индекса , в то время как все нормальные подгруппы неприводимых решеток более высокого ранга либо имеют конечный индекс, либо содержатся в их центре; ^{[11] [12]}
• Предположительно, арифметические решетки в группах более высокого ранга обладают свойством конгруэнтности подгруппы ^[13], но существует много решеток, в которых имеются неконгруэнтные подгруппы конечного индекса. ^[14] ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Имущество Каждана (Т)

Свойство, известное как (T), было введено Кажданом для изучения решеток алгебраической структуры в некоторых группах Ли, когда классические, более геометрические методы не давали результата или, по крайней мере, были не столь эффективны. Фундаментальный результат при изучении решеток следующий: ^[15]

Решетка в локально компактной группе обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда сама группа обладает свойством (T).

Используя гармонический анализ, можно классифицировать полупростые группы Ли в зависимости от того, обладают ли они свойством или нет. В результате мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрирующий дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в не обладают свойством Каждана (T), в то время как неприводимые решетки во всех других простых группах Ли обладают; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Свойства конечности

Решетки в полупростых группах Ли всегда конечно представимы и фактически удовлетворяют более сильным условиям конечности . ^[16] Для однородных решеток это является прямым следствием кокомпактности. В неоднородном случае это можно доказать с помощью теории редукции. ^[17] Легче доказать конечную представимость для групп со свойством (T) ; однако существует геометрическое доказательство, которое работает для всех полупростых групп Ли. ^[18]

Римановы многообразия, связанные с решетками в группах Ли

Левоинвариантные метрики

Если — группа Ли, то из скалярного произведения на касательном пространстве (алгебре Ли ) можно построить риманову метрику на следующим образом: если принадлежит касательному пространству в точке , где указывает касательное отображение (в ) диффеоморфизма . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$ ${\displaystyle G}$

Отображения для по определению являются изометриями для этой метрики . В частности, если — любая дискретная подгруппа в (так что она действует свободно и собственно разрывно левыми сдвигами на ), фактор является римановым многообразием, локально изометричным с метрикой . ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$

Риманова форма объема, связанная с , определяет меру Хаара на , и мы видим, что фактор-многообразие имеет конечный риманов объем тогда и только тогда, когда является решеткой. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Интересными примерами в этом классе римановых пространств являются компактные плоские многообразия и нильмногообразия .

Локально симметричные пространства

Естественная билинейная форма на задается формой Киллинга . Если не является компактным, то она не определена и, следовательно, не является скалярным произведением: однако, когда является полупростым и является максимальной компактной подгруппой, ее можно использовать для определения -инвариантной метрики на однородном пространстве : такие римановы многообразия называются симметричными пространствами некомпактного типа без евклидовых факторов. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

Подгруппа действует свободно, собственно разрывно на тогда и только тогда, когда она дискретна и не имеет кручения. Факторы называются локально симметричными пространствами. Таким образом, существует биективное соответствие между полными локально симметричными пространствами, локально изоморфными и имеющими конечный риманов объем, и решетками без кручения в . Это соответствие можно распространить на все решетки, добавив орбифолды на геометрической стороне. ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Решетки в p-адических группах Ли

Класс групп с аналогичными свойствами (относительно решеток) действительным полупростым группам Ли — это полупростые алгебраические группы над локальными полями характеристики 0, например, p-адическими полями . Существует арифметическая конструкция, аналогичная вещественному случаю, и дихотомия между высшим рангом и рангом один также имеет место в этом случае, в более выраженной форме. Пусть — алгебраическая группа над расщепленного ранга r . Тогда: ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• Если r не менее 2, то все неприводимые решетки в являются арифметическими; ${\displaystyle G}$
• если r=1 , то существует несчетное множество классов соизмеримости неарифметических решеток. ^[19]

В последнем случае все решетки фактически являются свободными группами (с точностью до конечного индекса).

S-арифметические группы

В более общем плане решетки можно рассматривать в группах вида

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

где — полупростая алгебраическая группа над . Обычно допускается, в этом случае — действительная группа Ли. Примером такой решетки является ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

Эту арифметическую конструкцию можно обобщить, чтобы получить понятие S-арифметической группы . Теорема арифметичности Маргулиса применима и к этой ситуации. В частности, если хотя бы два из множителей некомпактны, то любая неприводимая решетка в является S-арифметической. ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G}$

Решетки в адельных группах

Если - полупростая алгебраическая группа над числовым полем и его кольцом аделей , то группа адельных точек хорошо определена (по модулю некоторых технических подробностей) и является локально компактной группой, которая естественным образом содержит группу -рациональных точек как дискретную подгруппу. Теорема Бореля-Хариша-Чандры распространяется на эту установку и является решеткой. ^[20] ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Теорема сильного приближения связывает фактор с более классическими S-арифметическими факторами. Этот факт делает группы аделей очень эффективными инструментами в теории автоморфных форм . В частности, современные формы формулы следа обычно формулируются и доказываются для групп аделей, а не для групп Ли. ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Жесткость

Результаты жесткости

Другая группа явлений, касающихся решеток в полупростых алгебраических группах, известна под общим названием жесткость . Вот три классических примера результатов в этой категории.

Результаты локальной жесткости утверждают, что в большинстве ситуаций каждая подгруппа, которая достаточно «близка» к решетке (в интуитивном смысле, формализованном топологией Шаботи или топологией на многообразии характеров ), на самом деле сопряжена с исходной решеткой элементом объемлющей группы Ли. Следствием локальной жесткости и теоремы Каждана-Маргулиса является теорема Вана: в данной группе (с фиксированной мерой Хаара) для любого v>0 существует лишь конечное число (с точностью до сопряжения) решеток с кообъемом, ограниченным v .

Теорема о жесткости Мостова утверждает, что для решеток в простых группах Ли, локально не изоморфных (группе матриц 2 на 2 с определителем 1), любой изоморфизм решеток по сути индуцируется изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе Ли «помнит» окружающую ее группу Ли через ее групповую структуру. Первое утверждение иногда называют сильной жесткостью , и оно принадлежит Джорджу Мостову и Гопалу Прасаду (Мостов доказал его для кокомпактных решеток, а Прасад распространил его на общий случай). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Сверхжесткость обеспечивает (для групп Ли и алгебраических групп над локальными полями более высокого ранга) усиление как локальной, так и сильной жесткости, имея дело с произвольными гомоморфизмами из решетки алгебраической группы G в другую алгебраическую группу H. Это было доказано Григорием Маргулисом и является существенным компонентом доказательства его теоремы об арифметичности.

Нежесткость в малых размерах

Единственными полупростыми группами Ли, для которых не выполняется жесткость Мостова, являются все группы, локально изоморфные . В этом случае фактически существует непрерывно много решеток, и они порождают пространства Тейхмюллера . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Неравномерные решетки в группе не являются локально жесткими. Фактически они являются точками накопления (в топологии Шаботи) решеток меньшего кообъема, как показывает гиперболическая хирургия Дена . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Поскольку решетки в p-адических группах ранга один являются практически свободными группами, они весьма нежестки.

Древесные решетки

Определение

Пусть — дерево с кокомпактной группой автоморфизмов; например, может быть регулярным или бирегулярным деревом. Группа автоморфизмов — локально компактная группа (при наделении компактно-открытой топологией , в которой базис окрестностей единицы задается стабилизаторами конечных поддеревьев, которые компактны). Любая группа, которая является решеткой в ​​некотором, тогда называется решеткой деревьев . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

Дискретность в этом случае легко увидеть из действия группы на дереве: подгруппа дискретна тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершин являются конечными группами. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

Из базовой теории групповых действий на деревьях легко увидеть, что однородные древесные решетки являются практически свободными группами. Таким образом, более интересными древесными решетками являются неравномерные, то есть те, для которых фактор-граф бесконечен. Существование таких решеток нелегко увидеть. ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

Древовидные решетки из алгебраических групп

Если — локальное поле положительной характеристики (т.е. пополнение поля функций кривой над конечным полем, например, поле формальных степенных рядов Лорана ) и алгебраическая группа, определенная над -расщепленного ранга один, то любая решетка в является решеткой деревьев посредством ее действия на здание Брюа–Титса , которое в этом случае является деревом. В отличие от случая характеристики 0 такие решетки могут быть неравномерными, и в этом случае они никогда не являются конечно порожденными. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Древесные решетки из теории Басса–Серра

Если — фундаментальная группа бесконечного графа групп , все группы вершин которого конечны, и при дополнительных необходимых предположениях относительно индекса групп ребер и размера групп вершин, то действие на дереве Басса-Серра, связанном с графом групп, реализует его как решетку деревьев. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Критерий существования

В более общем смысле можно задать следующий вопрос: если является замкнутой подгруппой , при каких условиях содержит решетку? Существование равномерной решетки эквивалентно тому, что она унимодулярна, а фактор-то конечен. Общая теорема существования более тонкая: необходимо и достаточно, чтобы она была унимодулярна, и чтобы фактор-то имел «конечный объем» в подходящем смысле (который можно выразить комбинаторно в терминах действия ), более общее, чем более сильное условие, что фактор-то конечен (что доказано самим существованием неравномерных решеток деревьев). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$

Примечания

1. Бадер, Ури; Капрас, Пьер-Эммануэль; Геландер, Цачик; Мозес, Шахар (2012). «Простые группы без решеток». Bull. London Math. Soc . 44 : 55–67. arXiv : 1008.2911 . doi :10.1112/blms/bdr061. MR  2881324. S2CID  119130421.
2. Рагунатан 1972, Теорема 2.1.
3. Рагунатан 1972, Теорема 2.12.
4. Рагунатан 1972, Теорема 2.21.
5. Рагунатан 1972, Теорема 3.1.
6. Рагунатан 1972, Теорема 4.28.
7. Громов, Миша; Пятецкий-Шапиро, Илья (1987). «Неарифметические группы в пространствах Лобачевского» (PDF) . Опубл. Математика. ИХЕС . 66 : 93–103. дои : 10.1007/bf02698928. MR  0932135. S2CID  55721623.
8. Делинь, Пьер; Мостоу, Джордж (1993). Соизмеримости среди решеток в PU (1,n) . Princeton University Press. MR  1241644.
9. Маргулис 1991, стр. 298.
10. Витте-Моррис 2015, Теорема 5.21.
11. Маргулис 1991, стр. 263–270.
12. Витте-Моррис 2015, Теорема 17.1.
13. Рагхунатхан, М.С. (2004). «Проблема конгруэнтной подгруппы». Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci . 114 (4): 299–308. arXiv : math/0503088 . doi :10.1007/BF02829437. MR  2067695. S2CID  18414386.
14. Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). Рост подгруппы . Прогресс в математике. Том. 212. Биркхойзер Верлаг. Глава 7. ISBN 3-7643-6989-2. МР  1978431.
15. Витте-Моррис 2015, Предложение 13.17.
16. Геландер, Цачик (15 сентября 2004 г.). «Гомотопический тип и объем локально симметричных многообразий». Duke Mathematical Journal . 124 (3): 459–515. arXiv : math/0111165 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12432-7.
17. Витте-Моррис 2015, Глава 19.
18. Геландер, Цачик (декабрь 2011 г.). «Объем в зависимости от ранга решеток». Журнал для королевы и математики . 2011 (661): 237–248. arXiv : 1102.3574 . дои : 10.1515/CRELLE.2011.085.
19. Любоцкий, Александр (1991). «Решетки в группах Ли ранга один над локальными полями». Geom. Funct. Anal . 1 (4): 406–431. doi :10.1007/BF01895641. MR  1132296. S2CID  119638780.
20. Вайль, Андре (1982). Адели и алгебраические группы. С приложениями М. Демазюра и Такаши Оно . Прогресс в математике. Т. 23. Биркхойзер. С. iii+126. ISBN 3-7643-3092-9. МР  0670072.

Ссылки

• Bass, Hyman; Lubotzky, Alexander (2001). Древовидные решетки с приложениями H. Bass, L. Carbone, A. Lubotzky, G. Rosenberg и J. Tits . Прогресс в математике. Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-4120-3.
• Маргулис, Григорий (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Спрингер-Верлаг . стр. х+388. ISBN 3-540-12179-X. МР  1090825.
• Платонов, Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. Том 139. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. МР  1278263.
• Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Спрингер-Верлаг . МР  0507234.
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы. Deductive Press. стр. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.
• Gelander, Tsachik (2014). «Лекции по решеткам и локально симметричным пространствам». В Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (ред.). Геометрическая теория групп . стр. 249–282. arXiv : 1402.0962 . Bibcode :2014arXiv1402.0962G.