В геометрии линейные координаты используются для указания положения линии точно так же , как точечные координаты (или просто координаты ) используются для указания положения точки.
Существует несколько возможных способов указать положение прямой на плоскости. Простой способ — с помощью пары ( m , b ) , где уравнение прямой y = mx + b . Здесь m — наклон , а b — отрезок y . Эта система определяет координаты для всех прямых, которые не являются вертикальными. Однако более распространенным и простым алгебраическим способом является использование координат ( l , m ) , где уравнение прямой lx + my + 1 = 0. Эта система определяет координаты для всех прямых, за исключением тех, которые проходят через начало координат. Геометрические интерпретации l и m — это отрицательные обратные величины отрезков x и y соответственно .
Исключение прямых, проходящих через начало координат, можно разрешить, используя систему из трех координат ( l , m , n ) для задания прямой с помощью уравнения lx + my + n = 0. Здесь l и m не могут быть оба равны 0. В этом уравнении значимыми являются только соотношения между l , m и n , другими словами, если координаты умножаются на ненулевой скаляр, то представленная прямая остается прежней. Таким образом, ( l , m , n ) — это система однородных координат для прямой.
Если точки в действительной проективной плоскости представлены однородными координатами ( x , y , z ) , уравнение прямой имеет вид lx + my + nz = 0, при условии ( l , m , n ) ≠ (0,0,0). В частности, координата прямой (0, 0, 1) представляет прямую z = 0, которая является бесконечно удаленной прямой в проективной плоскости . Координаты прямой (0, 1, 0) и (1, 0, 0) представляют оси x и y соответственно.
Так же, как f ( x , y ) = 0 может представлять кривую как подмножество точек на плоскости, уравнение φ( l , m ) = 0 представляет подмножество прямых на плоскости. Множество прямых на плоскости может, в абстрактном смысле, рассматриваться как множество точек на проективной плоскости, двойственной исходной плоскости. Уравнение φ( l , m ) = 0 тогда представляет кривую на двойственной плоскости.
Для кривой f ( x , y ) = 0 на плоскости касательные к кривой образуют кривую в двойственном пространстве, называемую двойственной кривой . Если φ( l , m ) = 0 является уравнением двойственной кривой, то оно называется уравнением касательной для исходной кривой. Заданное уравнение φ( l , m ) = 0 представляет кривую в исходной плоскости, определяемую как огибающая линий , удовлетворяющих этому уравнению. Аналогично, если φ( l , m , n ) является однородной функцией , то φ( l , m , n ) = 0 представляет кривую в двойственном пространстве, заданную в однородных координатах, и может быть названо однородным уравнением касательной огибающей кривой.
Тангенциальные уравнения полезны при изучении кривых, определяемых как огибающие, так же как декартовы уравнения полезны при изучении кривых, определяемых как геометрические места точек.
Линейное уравнение в линейных координатах имеет вид al + bm + c = 0, где a , b и c являются константами. Предположим, что ( l , m ) — это линия, которая удовлетворяет этому уравнению. Если c не равно 0, то lx + my + 1 = 0, где x = a / c и y = b / c , поэтому каждая линия, удовлетворяющая исходному уравнению, проходит через точку ( x , y ). И наоборот, любая линия, проходящая через ( x , y ), удовлетворяет исходному уравнению, поэтому al + bm + c = 0 — это уравнение набора линий, проходящих через ( x , y ). Для заданной точки ( x , y ) уравнение набора линий равно lx + my + 1 = 0, поэтому его можно определить как касательное уравнение точки. Аналогично, для точки ( x , y , z ), заданной в однородных координатах, уравнение точки в однородных тангенциальных координатах имеет вид lx + my + nz = 0.
Пересечение прямых ( l 1 , m 1 ) и ( l 2 , m 2 ) является решением линейных уравнений
По правилу Крамера решение есть
Прямые ( l 1 , m 1 ), ( l 2 , m 2 ) и ( l 3 , m 3 ) пересекаются , когда определитель
Для однородных координат пересечение линий ( l 1 , m 1 , n 1 ) и ( l 2 , m 2 , n 2 ) равно
Прямые ( l 1 , m 1 , n 1 ), ( l 2 , m 2 , n 2 ) и ( l 3 , m 3 , n 3 ) пересекаются , когда определитель
Двойственно, координаты линии, содержащей ( x 1 , y 1 , z 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 ), равны
Для двух заданных точек в вещественной проективной плоскости ( x 1 , y 1 , z 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 ) три определителя
определите проективную прямую, их содержащую.
Аналогично, для двух точек в RP 3 , ( x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ), прямая, содержащая их, определяется шестью определителями
Это основа для системы однородных линейных координат в трехмерном пространстве, называемых координатами Плюккера . Шесть чисел в наборе координат представляют линию только тогда, когда они удовлетворяют дополнительному уравнению. Эта система отображает пространство линий в трехмерном пространстве в проективное пространство RP 5 , но с дополнительным требованием пространство линий соответствует квадрике Клейна , которая является многообразием размерности четыре.
В более общем случае линии в n -мерном проективном пространстве определяются системой из n ( n − 1)/2 однородных координат, которые удовлетворяют набору из ( n − 2)( n − 3)/2 условий, что приводит к многообразию размерности 2 n − 2.
Исаак Яглом показал [1] , как двойные числа обеспечивают координаты для ориентированных прямых в евклидовой плоскости, а расщепленные комплексные числа формируют координаты прямой для гиперболической плоскости . Координаты зависят от наличия на ней начала координат и опорной прямой. Затем, если задана произвольная прямая, ее координаты находятся из пересечения с опорной прямой. Расстояние s от начала координат до пересечения и угол θ наклона между двумя прямыми используются:
Поскольку в плоскости Лобачевского существуют прямые, ультрапараллельные прямой отсчета, для них также нужны координаты: существует единственный общий перпендикуляр , скажем, s — расстояние от начала координат до этого перпендикуляра, а d — длина отрезка между прямой отсчета и данной прямой.
Движения линейной геометрии описываются с помощью линейных дробных преобразований на соответствующих комплексных плоскостях. [1] : 87, 123
