Разность двух чисел, деленная на логарифм их частного
Трехмерный график, показывающий значения логарифмического среднего. В математике логарифмическое среднее значение — это функция двух неотрицательных чисел , равная их разности , деленной на логарифм их частного . Этот расчет применим в инженерных задачах, связанных с тепло- и массопереносом .
Определение Среднее логарифмическое определяется как:
М лм ( х , у ) = лим ( ξ , η ) → ( х , у ) η − ξ вн ( η ) − вн ( ξ ) = { х если х = у , у − х вн у − вн х в противном случае, {\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if}}x=y,\\[2pt]{\dfrac {yx}{\ln y-\ln x}}&{\text{inotherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}} для положительных чисел x, y .
Неравенства Среднее логарифмическое двух чисел меньше, чем среднее арифметическое и обобщенное среднее с показателем степени больше 1. Однако оно больше, чем среднее геометрическое и среднее гармоническое соответственно. Неравенства строгие, если только оба числа не равны.
2 1 х + 1 у ≤ х у ≤ х − у вн х − вн у ≤ х + у 2 ≤ ( х 2 + у 2 2 ) 1 / 2 для всех х > 0 и у > 0. {\displaystyle {\frac {2}{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leq {\sqrt {xy}}\leq {\frac {xy}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x+y}{2}}\leq \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)^{1/2}\qquad {\text{ для всех }}x>0{\text{ и }}y>0.} [1] [2] [3] [4]
Тойеш Пракаш Шарма обобщает арифметическое логарифмическое среднее геометрическое неравенство для любого n, принадлежащего целому числу, как х у ( вн х у ) н − 1 ( н + вн х у ) ≤ х ( вн х ) н − у ( вн у ) н вн х − вн у ≤ х ( вн х ) н − 1 ( н + вн х ) + у ( вн у ) н − 1 ( н + вн у ) 2 {\displaystyle {\sqrt {xy}}\ \left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{n-1}\left(n+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x(\ln x)^{n}-y(\ln y)^{n}}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(\ln x)^{n-1}(n+\ln x)+y(\ln y)^{n-1}(n+\ln y)}{2}}}
Теперь для n = 0 х у ( вн х у ) − 1 вн х у ≤ х − у вн х − вн у ≤ х ( вн х ) − 1 вн х + у ( вн у ) − 1 вн у 2 х у ≤ х − у вн х − вн у ≤ х + у 2 {\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\sqrt {xy}}\left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{-1}\ln {\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {xy}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x(\ln x)^{-1}\ln x+y(\ln y)^{-1}\ln y}{2}}\\[4pt]{\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {xy}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x+y}{2}}\end{array}}}
Это арифметическое логарифмическое среднее геометрическое неравенство. Аналогично, можно также получить результаты, подставляя различные значения n , как показано ниже
Для n = 1 х у ( 1 + вн х у ) ≤ х вн х − у вн у вн х − вн у ≤ х ( 1 + вн х ) + у ( 1 + вн у ) 2 {\displaystyle {\sqrt {xy}}\left(1+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x\ln xy\ln y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(1+\ln x)+y(1+\ln y)}{2}}}
для доказательства просмотрите библиографию.
Вывод
Теорема о среднем значении дифференциального исчисления Из теоремы о среднем значении следует , что существует значение ξ в интервале между x и y , где производная f ′ равна наклону секущей линии :
∃ ξ ∈ ( х , у ) : ф ′ ( ξ ) = ф ( х ) − ф ( у ) х − у {\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}} Среднее логарифмическое значение получается как значение ξ путем замены ln на f и аналогично для его соответствующей производной :
1 ξ = ln x − ln y x − y {\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}} и решение относительно ξ :
ξ = x − y ln x − ln y {\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}
Интеграция Среднее логарифмическое значение можно также интерпретировать как площадь под экспоненциальной кривой . L ( x , y ) = ∫ 0 1 x 1 − t y t d t = ∫ 0 1 ( y x ) t x d t = x ∫ 0 1 ( y x ) t d t = x ln y x ( y x ) t | t = 0 1 = x ln y x ( y x − 1 ) = y − x ln y x = y − x ln y − ln x {\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{aligned}}}
Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства логарифмического среднего. Поскольку экспоненциальная функция монотонна , интеграл по интервалу длины 1 ограничен x и y . Однородность интегрального оператора переносится на оператор среднего, то есть . L ( c x , c y ) = c L ( x , y ) {\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}
Два других полезных интегральных представления — это и 1 L ( x , y ) = ∫ 0 1 d t t x + ( 1 − t ) y {\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}} 1 L ( x , y ) = ∫ 0 ∞ d t ( t + x ) ( t + y ) . {\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}
Обобщение
Теорема о среднем значении дифференциального исчисления Можно обобщить среднее значение на n + 1теорему о среднем значении для разделенных разностей для n -й производной логарифма.
Мы получаем
L MV ( x 0 , … , x n ) = ( − 1 ) n + 1 n ln ( [ x 0 , … , x n ] ) − n {\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}} где обозначает разделенную разность логарифма. ln ( [ x 0 , … , x n ] ) {\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}
Для n = 2
L MV ( x , y , z ) = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) 2 ( ( y − z ) ln x + ( z − x ) ln y + ( x − y ) ln z ) . {\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)(y-z)(z-x)}{2{\bigl (}(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z{\bigr )}}}}.}
Интеграл Интегральная интерпретация также может быть обобщена на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Учитывая симплекс с и соответствующую меру , которая присваивает симплексу объем 1, мы получаем S {\textstyle S} S = { ( α 0 , … , α n ) : ( α 0 + ⋯ + α n = 1 ) ∧ ( α 0 ≥ 0 ) ∧ ⋯ ∧ ( α n ≥ 0 ) } {\displaystyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}} d α {\textstyle \mathrm {d} \alpha }
L I ( x 0 , … , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n d α {\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha } Это можно упростить, используя разделенные разности показательной функции:
L I ( x 0 , … , x n ) = n ! exp [ ln ( x 0 ) , … , ln ( x n ) ] {\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]} Пример n = 2
L I ( x , y , z ) = − 2 x ( ln y − ln z ) + y ( ln z − ln x ) + z ( ln x − ln y ) ( ln x − ln y ) ( ln y − ln z ) ( ln z − ln x ) . {\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x(\ln y-\ln z)+y(\ln z-\ln x)+z(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)(\ln y-\ln z)(\ln z-\ln x)}}.}
Подключение к другим средствам Среднее арифметическое : L ( x 2 , y 2 ) L ( x , y ) = x + y 2 {\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}} Среднее геометрическое : L ( x , y ) L ( 1 x , 1 y ) = x y {\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}} Гармоническое среднее : L ( 1 x , 1 y ) L ( 1 x 2 , 1 y 2 ) = 2 1 x + 1 y {\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}
Смотрите также
Ссылки Цитаты ^ BC Carlson (1966). «Некоторые неравенства для гипергеометрических функций». Proc. Amer. Math. Soc . 17 : 32–39. doi : 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6 . ^ B. Ostle & HL Terwilliger (1957). «Сравнение двух средних». Proc. Montana Acad. Sci . 17 : 69–70. ^ Tung-Po Lin (1974). «Среднее степенное и среднее логарифмическое». The American Mathematical Monthly . 81 (8): 879–883. doi :10.1080/00029890.1974.11993684. ^ Фрэнк Берк (1987). «Геометрическое, логарифмическое и арифметическое среднее неравенство». The American Mathematical Monthly . 94 (6): 527–528. doi :10.2307/2322844. JSTOR 2322844. Библиография Глоссарий нефтяных терминов: Термин «логарифмическое среднее» Вайсштейн, Эрик В. «Арифметико-логарифмическо-геометрическое среднее неравенство». MathWorld Столярский, Кеннет Б. (1975). «Обобщения логарифмического среднего». Mathematics Magazine . 48 (2): 87–92. doi :10.2307/2689825. ISSN 0025-570X. Тойеш Пракаш Шарма.: https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2020-2029/volume-58-2022/issue-2/vol58_no2_3.pdf «Обобщение неравенства арифметического-логарифмического-геометрического среднего» , журнал Parabola, том 58, № 2, 2022, стр. 1–5 
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if}}x=y,\\[2pt]{\dfrac {yx}{\ln y-\ln x}}&{\text{inotherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbb6a8992a37068ba81d9a423fbb679af313d70)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\sqrt {xy}}\left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{-1}\ln {\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {xy}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x(\ln x)^{-1}\ln x+y(\ln y)^{-1}\ln y}{2}}\\[4pt]{\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {xy}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x+y}{2}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244bac1b18e8088120e5a685e701ae287fabe9a1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {yx}{\ln {\frac {y}{x}}}}\\[3pt]={}&{\frac {yx}{\ln y-\ln x}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a97600bc38a59dad404a39474476cc661ebaa63)
![{\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b5e9b0e8f2c4330df730196b609e50b66b551e)
![{\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456e6367275d5f13829e0150ea009b5b093bb38)
![{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0beb3a5bfda4ba6e6185d83ddf13c718d7a590c)
