Максимизация прибыли

В экономике максимизация прибыли — это краткосрочный или долгосрочный процесс, посредством которого фирма может определить цены , уровни затрат и выпуска , которые приведут к максимально возможной общей прибыли (или просто прибыли вкратце). В неоклассической экономике , которая в настоящее время является основным подходом к микроэкономике , фирма считается « рациональным агентом » (независимо от того, работает ли она на совершенно конкурентном рынке или нет), который хочет максимизировать свою общую прибыль, которая представляет собой разницу между ее общим доходом и ее общими издержками.

Измерение общей стоимости и общей выручки часто нецелесообразно, поскольку у фирм нет необходимой надежной информации для определения затрат на всех уровнях производства. Вместо этого они используют более практичный подход, изучая, как небольшие изменения в производстве влияют на выручку и затраты. Когда фирма производит дополнительную единицу продукта, дополнительный доход, полученный от его продажи, называется предельным доходом ( ), а дополнительные затраты на производство этой единицы называются предельными издержками ( ). Когда уровень выпуска таков, что предельный доход равен предельным издержкам ( ), то говорят, что общая прибыль фирмы максимизирована. Если предельный доход больше предельных издержек ( ), то ее общая прибыль не максимизирована, поскольку фирма может производить дополнительные единицы, чтобы получить дополнительную прибыль. Другими словами, в этом случае в «рациональном» интересе фирмы увеличивать уровень выпуска до тех пор, пока ее общая прибыль не будет максимизирована. С другой стороны, если предельный доход меньше предельных издержек ( ), то ее общая прибыль также не максимизируется, поскольку производство на одну единицу меньше снизит общую стоимость больше, чем общий доход, что даст фирме больше общей прибыли. В этом случае «рациональная» фирма имеет стимул снижать уровень своего выпуска до тех пор, пока ее общая прибыль не будет максимизирована. ^[1] ${\text{Г-Н}}$ ${\text{MC}}$ ${\text{MR}}={\text{MC}}$ ${\text{MR}}>{\text{MC}}$ ${\text{MR}}<{\text{MC}}$

Существует несколько точек зрения, которые можно использовать для максимизации прибыли. Во-первых, поскольку прибыль равна выручке за вычетом затрат , можно графически изобразить каждую из переменных выручки и затрат как функции уровня выпуска и найти уровень выпуска, который максимизирует разницу (или это можно сделать с помощью таблицы значений вместо графика). Во-вторых, если известны конкретные функциональные формы для выручки и затрат с точки зрения выпуска, можно использовать исчисление для максимизации прибыли относительно уровня выпуска. В-третьих, поскольку условие первого порядка для оптимизации уравнивает предельный доход и предельные затраты , если функции предельного дохода ( ) и предельных затрат ( ) с точки зрения выпуска доступны напрямую, можно уравнять их, используя либо уравнения, либо график. В-четвертых, вместо функции, задающей стоимость производства каждого потенциального уровня выпуска, фирма может иметь функции затрат на ввод, задающие стоимость приобретения любого количества каждого ввода, вместе с производственной функцией, показывающей, какой объем выпуска получается при использовании любой комбинации количеств ввода. В этом случае можно использовать исчисление для максимизации прибыли относительно уровней использования входных данных, в зависимости от функций стоимости входных данных и производственной функции. Условие первого порядка для каждого входного данных приравнивает предельный доходный продукт входных данных (прирост к выручке от продажи продукта, вызванный приростом к количеству использованных входных данных) к предельной стоимости входных данных. ${\text{Г-Н}}$ ${\text{MC}}$

Для фирмы на совершенно конкурентном рынке для ее продукции функция выручки будет просто равна рыночной цене, умноженной на количество произведенного и проданного, тогда как для монополиста , который выбирает свой уровень выпуска одновременно с ценой продажи. В случае монополии компания будет производить больше продукции, потому что она все еще может получать нормальную прибыль. Чтобы получить максимальную прибыль, вам нужно установить более высокие цены и меньшие количества, чем на конкурентном рынке. Однако функция выручки учитывает тот факт, что более высокие уровни выпуска требуют более низкой цены для продажи. Аналогичная особенность сохраняется для рынков ресурсов: на совершенно конкурентном рынке ресурсов стоимость ресурса фирмы — это просто количество, купленное для использования в производстве, умноженное на определенную рынком стоимость единицы ресурса, тогда как цена ресурса монопсониста за единицу выше для больших объемов купленного ресурса.

Принципиальное различие между краткосрочной и долгосрочной максимизацией прибыли заключается в том, что в долгосрочной перспективе объемы всех затрат, включая физический капитал , являются переменными выбора, тогда как в краткосрочной перспективе объем капитала предопределен прошлыми инвестиционными решениями. В любом случае есть затраты труда и сырья .

Основные определения

Любые расходы, понесенные фирмой, можно разделить на две группы: постоянные и переменные . Постоянные расходы, которые возникают только в краткосрочной перспективе, несет бизнес при любом уровне выпуска продукции, включая нулевой выпуск. Они могут включать обслуживание оборудования, аренду, заработную плату сотрудников, численность которых не может быть увеличена или уменьшена в краткосрочной перспективе, и общее содержание. Переменные расходы изменяются с уровнем выпуска продукции, увеличиваясь по мере того, как производится больше продукции. Материалы, потребляемые в процессе производства, часто оказывают наибольшее влияние на эту категорию, которая также включает заработную плату сотрудников, которых можно нанять и уволить в краткосрочном периоде рассматриваемого времени. Постоянные и переменные расходы, вместе взятые, равны общей стоимости .

Выручка — это сумма денег, которую компания получает от своей обычной коммерческой деятельности, как правило, от продажи товаров и услуг (в отличие от денег от продажи ценных бумаг, таких как акции или выпуск облигаций).

Формула пяти способов заключается в увеличении лидов, скорости разговоров, среднего объема продаж в долларах, среднего количества продаж и средней прибыли от продукта. Прибыль может быть увеличена до 1000 процентов, это важно для индивидуальных предпринимателей и малого бизнеса, не говоря уже о крупных предприятиях, но, тем не менее, вся максимизация прибыли является вопросом каждого этапа бизнеса и большей отдачи от распределения прибыли, следовательно, более высокой заработной платы и мотивации. ^[2]^{[ необходима полная цитата ]}

Предельные издержки и предельный доход , в зависимости от того, применяется ли подход исчисления или нет, определяются либо как изменение издержек или доходов по мере производства каждой дополнительной единицы, либо как производная от издержек или доходов по отношению к количеству продукции. Например, если взять первое определение, если для фирмы производство 5 единиц обходится в 400 долларов, а производство 6 — в 480 долларов, предельные издержки шестой единицы составят 80 долларов. И наоборот, предельный доход от производства 6 единиц — это доход от производства 6 единиц за вычетом дохода от производства 5 единиц (последний пункт за вычетом предыдущего пункта).

Общий доход – общая перспектива затрат

Чтобы получить количество выпуска, максимизирующее прибыль, мы начинаем с признания того, что прибыль равна общему доходу ( ) минус общие затраты ( ). Имея таблицу затрат и доходов для каждого количества, мы можем либо вычислить уравнения, либо нанести данные непосредственно на график. Максимизирующий прибыль выпуск — это тот, при котором эта разница достигает максимума. ${\text{TR}}$ ${\text{TC}}$

На прилагаемой диаграмме линейная кривая совокупного дохода представляет случай, когда фирма является совершенным конкурентом на товарном рынке и, таким образом, не может устанавливать собственную цену продажи. Максимизирующий прибыль уровень выпуска представлен как тот, при котором совокупный доход равен высоте , а совокупные издержки равны высоте ; максимальная прибыль измеряется как длина сегмента . Этот уровень выпуска также является тем, при котором кривая совокупной прибыли достигает своего максимума. ${\text{C}}$ ${\text{B}}$ ${\overline {\text{CB}}}$

Если, вопреки тому, что предполагается на графике, фирма не является идеальным конкурентом на рынке продукции, цена продажи продукта может быть считана с кривой спроса при оптимальном количестве продукции фирмы. Это оптимальное количество продукции — это количество, при котором предельный доход равен предельным издержкам .

Предельный доход – точка зрения предельных издержек

Эквивалентная перспектива основана на соотношении, что для каждой проданной единицы предельная прибыль ( ) равна предельному доходу ( ) минус предельные издержки ( ). Тогда, если предельный доход больше предельных издержек на некотором уровне выпуска, предельная прибыль положительна, и, таким образом, должно быть произведено большее количество, а если предельный доход меньше предельных издержек, предельная прибыль отрицательна, и должно быть произведено меньшее количество. На уровне выпуска, на котором предельный доход равен предельным издержкам, предельная прибыль равна нулю, и это количество является тем, которое максимизирует прибыль. ^[3] Поскольку общая прибыль увеличивается, когда предельная прибыль положительна, а общая прибыль уменьшается, когда предельная прибыль отрицательна, она должна достичь максимума, где предельная прибыль равна нулю — где предельные издержки равны предельному доходу — и где более низкие или более высокие уровни выпуска дают более низкие уровни прибыли. ^[3] В терминах исчисления требование, чтобы оптимальный выпуск имел более высокую прибыль, чем смежные уровни выпуска, заключается в следующем: ^[3] ${\text{M}}\пи$ ${\text{Г-Н}}$ ${\text{MC}}$

{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{{\operatorname {d} Q}^{2}}}<{\frac {\operatorname {d} ^{2}C}{{\operatorname {d} Q}^{2}}}.

Пересечение и показано на следующей диаграмме как точка . Если отрасль совершенно конкурентна (как предполагается на диаграмме), фирма сталкивается с кривой спроса ( ), которая идентична ее кривой предельного дохода ( ), и это горизонтальная линия по цене, определяемой спросом и предложением в отрасли. Средние общие издержки представлены кривой . Общая экономическая прибыль представлена площадью прямоугольника . Оптимальное количество ( ) такое же, как оптимальное количество на первой диаграмме. ${\text{Г-Н}}$ ${\text{MC}}$ ${\text{A}}$ ${\text{D}}$ ${\text{Г-Н}}$ ${\text{АТС}}$ ${\overline {\text{PABC}}}$ $Q$

Если фирма является монополистом , кривая предельного дохода будет иметь отрицательный наклон, как показано на следующем графике, поскольку она будет основана на нисходящей кривой рыночного спроса. Оптимальный выпуск, показанный на графике как , является уровнем выпуска, при котором предельные издержки равны предельному доходу. Цена, которая вызывает это количество выпуска, является высотой кривой спроса при этом количестве (обозначается ). $Q_{м}$ $P_{м}$

Общий вывод уровня максимизации прибыли от выпуска продукции дается следующими шагами. Во-первых, предположим, что репрезентативная фирма имеет совершенную информацию о своей прибыли, заданную следующим образом: $я$

\пи _{i}={\text{TR}}_{i}-{\text{TC}}_{i}

где обозначает общий доход, а обозначает общие затраты. Вышеприведенное выражение можно переписать как: ${\text{TR}}$ ${\text{TC}}$

\пи _{i}=p_{i}\cdot q_{i}-c_{i}\cdot q_{i}

где обозначает цену (предельный доход), количество и предельные издержки. Фирма максимизирует свою прибыль относительно количества, чтобы получить уровень максимизации прибыли от выпуска: $p$ $д$ $с$

{\frac {\left(\partial \pi _{i}\right)}{\left(\partial q_{i}\right)}}=p_{i}-c_{i}=0

Таким образом, уровень максимизации прибыли от выпуска продукции представляет собой предельный доход, равный предельным издержкам . $p_{i}$ $c_{i}$

В конкурентной среде, которая не является идеальной, более сложные решения по максимизации прибыли подразумевают использование теории игр .

Случай, когда максимизация дохода эквивалентна

В некоторых случаях условия спроса и издержек фирмы таковы, что предельная прибыль больше нуля для всех уровней производства вплоть до определенного максимума. ^[4] В этом случае предельная прибыль падает до нуля сразу после достижения этого максимума; следовательно, правило подразумевает, что выпуск должен производиться на максимальном уровне, который также является уровнем, максимизирующим доход. ^[4] Другими словами, количество и цена, максимизирующие прибыль, могут быть определены путем установления предельного дохода равным нулю, что происходит при максимальном уровне выпуска. Предельный доход равен нулю, когда кривая общего дохода достигает своего максимального значения. Примером может служить регулярный авиарейс. Предельные издержки на перевозку еще одного пассажира на рейсе незначительны, пока все места не будут заполнены. Авиакомпания максимизирует прибыль, заполняя все места. ${\text{M}}\пи =0$

Максимизация прибыли в реальном мире

В реальном мире нелегко добиться максимизации прибыли. Компания должна точно знать предельный доход и предельную себестоимость последнего проданного товара из-за MR .

Ценовая эластичность спроса на товары зависит от реакции других компаний. Когда это единственная компания, повышающая цены, спрос будет эластичным. Если одна семья повышает цены, а другие следуют за ней, спрос может быть неэластичным.

Компании могут стремиться максимизировать прибыль посредством оценки. Когда рост цены приводит к небольшому снижению спроса, компания может увеличить цену настолько, насколько это возможно, прежде чем спрос станет эластичным. Как правило, трудно изменить влияние цены в соответствии со спросом, поскольку спрос может возникать из-за многих других факторов, помимо цены.

Компания также может иметь другие цели и соображения. Например, компании могут выбрать получение прибыли ниже максимальной в погоне за большей долей рынка . Поскольку рост цен максимизирует прибыль в краткосрочной перспективе, он привлечет больше компаний на рынок.

Многие компании пытаются минимизировать издержки, перенося производство в зарубежные регионы с дешевой рабочей силой (например, Nike, Inc. ). Однако перенос производственной линии в зарубежное регион может привести к ненужным транспортным расходам. Близость рынков для производства и продажи продукции может улучшить оптимизацию спроса, но когда себестоимость продукции намного выше, это не лучший выбор.

Инструменты

Анализ прибыли: Привычно записывая и анализируя бизнес-затраты на все проданные продукты/услуги. В себестоимости есть много разных статей, включая труд, материалы, транспортировку, рекламу, хранение и т. д., связанных с любыми проданными товарами или услугами, которые становятся расходами.
Инструменты бизнес-аналитики: может потребоваться интеграция всей финансовой информации для регистрации отчетов о расходах, чтобы предприятие могло четко понимать все расходы, связанные с операциями, и их точность.
Планирование и фактическое исполнение: При внедрении решения «что если» для помощи в процессе планирования продаж и операций полезно знать операции компании, включая цепочку поставок, управление запасами и процесс продаж. Ограничения необходимы для того, чтобы корпоративные планы не стали неосуществимыми.

Изменения общих затрат и максимизация прибыли

Фирма максимизирует прибыль, работая там, где предельный доход равен предельным издержкам. Это предусмотрено неоклассической теорией, в которой фирма максимизирует прибыль, чтобы определить уровень выпуска и ресурсов, который обеспечивает условие цены, равной предельным издержкам. ^[5]^{[ необходима полная ссылка ]} В краткосрочной перспективе изменение постоянных издержек не влияет на выпуск или цену, максимизирующие прибыль. ^[6] Фирма просто рассматривает краткосрочные постоянные издержки как невозвратные издержки и продолжает работать, как и прежде. ^[7] Это можно подтвердить графически. Используя диаграмму, иллюстрирующую перспективу общих издержек–общего дохода, фирма максимизирует прибыль в точке, где наклоны линии общих издержек и линии общего дохода равны. ^[4] Увеличение постоянных издержек приведет к тому, что кривая общих издержек жестко сместится вверх на величину изменения. ^[4] Не будет никакого влияния на кривую общего дохода или форму кривой общих издержек. Следовательно, выпуск, максимизирующий прибыль, останется прежним. Эту точку также можно проиллюстрировать с помощью диаграммы для перспективы предельного дохода–предельных издержек. Изменение постоянных издержек не повлияет на положение или форму этих кривых. ^[4] Проще говоря, хотя прибыль связана с общими издержками, , предприятие может максимизировать прибыль, производя продукцию с максимальной прибылью (максимальное значение ), чтобы максимизировать прибыль. Но когда общие издержки увеличиваются, это не означает, что максимизация прибыли изменится, потому что увеличение общих издержек не обязательно изменяет предельные издержки. Если предельные издержки остаются прежними, предприятие все еще может производить продукцию с единицей ( ), чтобы максимизировать прибыль. В долгосрочной перспективе фирма теоретически будет иметь нулевую ожидаемую прибыль при конкурентном равновесии. Рынок должен подстроиться, чтобы очистить любую прибыль, если есть совершенная конкуренция. В ситуациях, когда есть ненулевая прибыль, мы должны ожидать увидеть либо некоторую форму долгосрочного неравновесия, либо неконкурентные условия, такие как барьеры для входа, где нет совершенной конкуренции между фирмами. ^[5]^[^{необходима полная цитата}^] ${\text{Прибыль}}={\text{TR}}-{\text{TC}}$ ${\text{TR}}-{\text{TC}}$ ${\text{MR}}={\text{MC}}={\text{Цена}}$

Наценка на ценообразование

В дополнение к использованию методов определения оптимального уровня выпуска фирмы, фирма, которая не является совершенно конкурентоспособной, может эквивалентно устанавливать цену для максимизации прибыли (поскольку установление цены вдоль заданной кривой спроса подразумевает выбор предпочтительной точки на этой кривой, что эквивалентно выбору предпочтительного количества для производства и продажи). Условия максимизации прибыли могут быть выражены в «более легко применимой» форме или правиле большого пальца, чем используют вышеуказанные точки зрения. ^[8]^{[ необходима полная цитата ]} Первый шаг — переписать выражение для предельного дохода как

${\begin{aligned}{\text{MR}}=&{\frac {\Delta {\text{TR}}}{\Delta Q}}\\=&{\frac {P\Delta Q+Q\Delta P}{\Delta Q}}\\=&P+{\frac {Q\Delta P}{\Delta Q}}\\\end{aligned}}$

, где и относятся к средним точкам между старыми и новыми значениями цены и количества соответственно. ^[8] Предельный доход от дополнительной единицы продукции состоит из двух частей: во-первых, доход, который фирма получает от продажи дополнительных единиц или, если использовать термин . Дополнительные единицы называются предельными единицами. ^[9]^[^{необходима полная ссылка}^] Производство одной дополнительной единицы и ее продажа по цене приносит доход в размере . Более того, необходимо учитывать «доход, который фирма теряет на единицах, которые она могла бы продать по более высокой цене» ^[9] — то есть, если бы цена всех единиц не была снижена усилиями по продаже большего количества единиц. Эти единицы, которые потеряли доход, называются инфрамаржинальными единицами. ^[9] То есть, продажа дополнительной единицы приводит к небольшому падению цены, что снижает доход для всех проданных единиц на величину . Таким образом, , где — ценовая эластичность спроса, характеризующая кривую спроса клиентов фирмы, которая отрицательна. Тогда установка дает и . Таким образом, оптимальное правило наценки: $P$ $Q$ $P\Дельта Q$ $P$ $P$ $Q\cdot \left({\frac {\Delta P}{\Delta Q}}\right)$ ${\text{MR}}=P+Q\cdot {\frac {\Delta P}{\Delta Q}}=P+P\cdot {\frac {Q}{P}}\cdot {\frac {\Delta P}{\Delta Q}}=P+{\frac {P}{\text{PED}}}$ ${\text{PED}}$ ${\text{MC}}={\text{MR}}$ ${\text{MC}}=P+{\frac {P}{\text{PED}}}$ ${\frac {P-{\text{MC}}}{P}}={\frac {-1}{\text{PED}}}$ $P={\frac {MC}{1+\left({\frac {1}{\text{PED}}}\right)}}$

{\frac {\left(P-{\text{MC}}\right)}{P}}={\frac {1}{\left(-{\text{PED}}\right)}}

или эквивалентно

P={\frac {\text{PED}}{1+{\text{PED}}}}\cdot {\text{MC}}

. ^[10]^[11]^{[ необходима полная цитата ]}

Другими словами, правило заключается в том, что размер надбавки к цене сверх предельных издержек обратно пропорционален абсолютному значению ценовой эластичности спроса на товар. ^[10]

Правило оптимальной наценки также подразумевает, что неконкурентная фирма будет производить на эластичной области своей кривой рыночного спроса. Предельные издержки положительны. Термин будет положительным, поэтому только если находится между и (то есть, если спрос эластичен на этом уровне выпуска). ^[12]^[^{необходима полная цитата}^] Интуиция, лежащая в основе этого результата, заключается в том, что если спрос неэластичен при некотором значении , то уменьшение увеличится более чем пропорционально, тем самым увеличив доход ; поскольку снижение также приведет к снижению общих издержек, прибыль увеличится из-за комбинации увеличения дохода и снижения издержек. Таким образом, не дает максимально возможной прибыли. ${\frac {PED}{1+{\text{PED}}}}$ $P>0$ ${\text{PED}}$ $-1$ $-\infty$ $Q_{1}$ $Q$ $P$ $P\cdot Q$ $Q$ $Q_{1}$

Предельный продукт труда, предельный доходный продукт труда и максимизация прибыли

Общее правило заключается в том, что фирма максимизирует прибыль, производя такое количество продукции, при котором предельный доход равен предельным издержкам . К вопросу максимизации прибыли можно также подойти со стороны затрат. То есть, каково использование переменного ресурса, максимизирующее прибыль? ^[13] Чтобы максимизировать прибыль, фирма должна увеличить использование ресурса «до точки, где предельный доход от ресурса равен его предельным издержкам». ^[14] Математически правило максимизации прибыли выглядит так : , где нижний индекс относится к обычно предполагаемым переменным ресурсам, труду. ${\text{MRP}}_{L}={\text{MC}}_{L}$ $_{L}$

Продукт предельного дохода — это изменение общего дохода на единицу изменения переменного входного сигнала, то есть . ${\text{MRP}}_{L}={\frac {\Delta {\text{TR}}}{\Delta L}}$

${\text{MRP}}_{L}$ является произведением предельного дохода и предельного продукта труда или . ${\text{MRP}}_{L}={\text{MR}}\cdot {\text{MP}}_{L}$

Критика

Максимизация излишка производителя может в некоторых случаях сократить излишек потребителя . ^[15] Некоторые формы максимизации прибыли производителя считаются антиконкурентной практикой и регулируются законодательством о конкуренции . ^[15] Максимизация краткосрочной прибыли производителя может сократить долгосрочную прибыль производителя, что может быть использовано с помощью хищнического ценообразования, такого как демпинг . ^[16]

Постановление правительства

Рыночные квоты отражают силу фирмы на рынке, фирма, доминирующая на рынке, очень распространена, и слишком большая власть часто становится мотивом для поведения, не соответствующего Гонконгу. Хищническое ценообразование , связывание , ценовое манипулирование и другие виды поведения отражают кризис чрезмерной власти монополистов на рынке. В попытке помешать компаниям злоупотреблять своей властью для максимизации собственной прибыли правительства часто вмешиваются, чтобы остановить их на этом пути. Ярким примером этого является антимонопольное регулирование , которое фактически запрещает большинство отраслевых монополий . Благодаря этому регулированию потребители получают лучшие отношения с компаниями, которые им служат, даже если сама компания может пострадать в финансовом отношении.

Смотрите также

Примечания

^ Карл Э. Кейс; Рэй К. Фэйр; Шэрон М. Остер (2012), Принципы экономики (10-е изд.), Prentice Hall, стр. 180–181
^ предприниматель.com
^ abc Lipsey (1975). стр. 245–47.
^ abcde Сэмюэлсон, У. и Маркс, С. (2003). стр. 47.
^ ab Десаи, М (2017).
^ Самуэльсон, У. и Маркс, С. (2003). стр. 52.
^ Ландсбург, С. (2002).
^ ab Pindyck, R и Rubinfeld, D (2001) стр. 333.
^ abc Безанко, Д. и Ботигам, Р., (2001) стр. 408.
^ ab Сэмюэлсон, У. и Маркс, С. (2003). стр. 103–05.
^ Пиндайк, Р. и Рубинфельд, Д. (2001) стр. 341.
^ Безанко и Брейтигам (2005) стр. 419.
^ Самуэльсон, У. и Маркс, С. (2003). стр. 230.
^ Самуэльсон, У. и Маркс, С. (2003). стр. 23.
^ ab Pittman, Russell W. (17 декабря 2007 г.). «Consumer Surplus as the Appropriate Standard for Antitrust Enforcement». Поиск в электронной библиотеке . Получено 24 августа 2024 г.
^ Ченг, Хо Фунг Гриффит (1 сентября 2020 г.). «Экономическая перспектива внутренней правдоподобности и частоты хищнического ценообразования: аргументы в пользу более агрессивного регулирования». European Competition Journal . 16 (2–3): 343–367. doi :10.1080/17441056.2020.1770478. ISSN 1744-1056.

Ссылки

Ландсбург, С. (2002). Теория цен и ее применение (пятое изд.). Юго-Западный.
- Ландсбург, С. (2013). Теория цен и ее применение (PDF) (девятое изд.). Юго-Западный. ISBN 978-1-285-42352-4.
Липси, Ричард Г. (1975). Введение в позитивную экономику (четвертое изд.). Вайденфельд и Николсон. стр. 214–7. ISBN 0-297-76899-9.
Сэмюэлсон, В.; Маркс, С. (2003). Управленческая экономика (четвертое издание). Wiley. ISBN 0470000449.

Внешние ссылки

Максимизация прибыли в условиях совершенной конкуренции, Фиона Маклахлан, Wolfram Demonstrations Project .
Максимизация прибыли: подробное руководство Ричарда Гулла, проект Techfunnel.
Максимизация прибыли, Тейван Петтингер.
Три шага к освоению предписывающей максимизации прибыли от Riverlogic.