Измеримая функция

Функция, для которой измерим прообраз измеримого множества

В математике и, в частности , в теории меры , измеримая функция — это функция между основными множествами двух измеримых пространств , которая сохраняет структуру пространств: прообраз любого измеримого множества измерим. Это прямая аналогия с определением, что непрерывная функция между топологическими пространствами сохраняет топологическую структуру: прообраз любого открытого множества открыт. В реальном анализе измеримые функции используются при определении интеграла Лебега . В теории вероятностей измеримая функция в вероятностном пространстве называется случайной величиной .

Формальное определение

Пусть и - измеримые пространства, т. е. и - множества, снабженные соответствующими -алгебрами , а функция называется измеримой, если для каждого прообраз под находится в ; то есть для всех ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$

$${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

То есть, где находится σ-алгебра, порожденная f . Если – измеримая функция, пишут ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$

${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$

Варианты использования термина

Выбор -алгебры в приведенном выше определении иногда неявный и зависит от контекста. Например, для тех или иных топологических пространств обычно выбирают борелевскую алгебру (порожденную всеми открытыми множествами). Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно вещественные по отношению к алгебре Бореля. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Если значения функции лежат в бесконечномерном векторном пространстве , существуют другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и измеримость по Бохнеру .

Известные классы измеримых функций

• Случайные переменные по определению представляют собой измеримые функции, определенные в вероятностных пространствах.
• Если и являются борелевскими пространствами , то измеримую функцию называют также борелевской функцией . Непрерывные функции являются функциями Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция — это почти непрерывная функция; см. теорему Лузина . Если функция Бореля является частью карты, она называется сечением Бореля . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ ${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$
• Измеримая функция Лебега — это измеримая функция , где — -алгебра измеримых по Лебегу множеств, а — алгебра Бореля комплексных чисел. Измеримые функции Лебега представляют интерес для математического анализа , поскольку их можно интегрировать. В этом случае измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда измеримо для всех. Это также эквивалентно тому, что любое измеримо для всех или что прообраз любого открытого множества измерим. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, функции, интегрируемые по Риману, и функции ограниченной вариации - все измеримые по Лебегу. ^[2] Функция измерима тогда и только тогда, когда измеримы действительная и мнимая части. ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Свойства измеримых функций

• Сумма и произведение двух комплекснозначных измеримых функций измеримы. ^[3] То же самое относится и к частному, пока нет деления на ноль. ^[1]
• Если и — измеримые функции, то измеримы и их составы ^[1] ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ ${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$
• Если и являются измеримыми функциями, их композиция не обязательно должна быть -измеримой, если только действительно, две измеримые по Лебегу функции могут быть построены таким образом, чтобы сделать их композицию неизмеримой по Лебегу. ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$
• (Поточечная) верхняя грань , нижняя грань , верхний предел и нижний предел последовательности (т. е. счетного множества) вещественнозначных измеримых функций также измеримы. ^{[1] [4]}
• Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим, где – метрическое пространство (наделенное борелевской алгеброй). В общем случае это неверно, если неметризуемо. Соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более строгих условий, чем поточечная сходимость, таких как равномерная сходимость. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Неизмеримые функции

Функции с действительным знаком, встречающиеся в приложениях, обычно измеримы; однако нетрудно доказать существование неизмеримых функций. Такие доказательства существенно опираются на аксиому выбора в том смысле, что теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В любом пространстве меры с неизмеримым множеством можно построить неизмеримую индикаторную функцию : ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle A\subset X,}$ ${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

борелевской алгеброй ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle A.}$

Другой пример: любая непостоянная функция неизмерима относительно тривиальной -алгебры , поскольку прообраз любой точки диапазона является некоторым собственным непустым подмножеством, которое не является элементом тривиальной -алгебры. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Смотрите также

• Измеримая функция Бохнера
• Пространство Бохнера  - Тип топологического пространства.
• Пространство Lp  - Функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p - Векторные пространства измеримых функций: пространства ${\displaystyle L^{p}}$
• Динамическая система, сохраняющая меру  - Предмет исследования эргодической теории.
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Примечания

1. Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6.
2. Карозерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6.
3. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения . Уайли. ISBN 0-471-31716-0.
4. Ройден, HL (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3.
5. Дадли, RM (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2.
6. Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечный размерный анализ, Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-29587-7.

Внешние ссылки

• Измеримая функция в Энциклопедии математики
• Функция Бореля в математической энциклопедии