Метод квантовых характеристик

Квантовые характеристики — это траектории фазового пространства, которые возникают в формулировке фазового пространства квантовой механики через преобразование Вигнера операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов. Эти траектории подчиняются уравнениям Гамильтона в квантовой форме и играют роль характеристик , через которые могут быть выражены зависящие от времени символы Вейля квантовых операторов. В классическом пределе квантовые характеристики сводятся к классическим траекториям. Знание квантовых характеристик эквивалентно знанию квантовой динамики.

Правило ассоциации Вейля-Вигнера

В гамильтоновой динамике классические системы со степенями свободы описываются каноническими координатами и импульсами. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \xi ^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {R} ^{2n},}$

которые образуют систему координат в фазовом пространстве. Эти переменные удовлетворяют соотношениям скобок Пуассона

${\displaystyle \{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.}$

Кососимметричная матрица , ${\displaystyle I^{kl}}$

${\displaystyle \left\|I\right\|={\begin{Vmatrix}0&-E_{n}\\E_{n}&0\end{Vmatrix}},}$

где — единичная матрица, определяет невырожденную 2-форму в фазовом пространстве. Фазовое пространство приобретает, таким образом, структуру симплектического многообразия . Фазовое пространство не является метрическим пространством, поэтому расстояние между двумя точками не определено. Скобка Пуассона двух функций может быть интерпретирована как ориентированная площадь параллелограмма, смежные стороны которого являются градиентами этих функций. Вращения в евклидовом пространстве оставляют расстояние между двумя точками инвариантным. Канонические преобразования в симплектическом многообразии оставляют площади инвариантными. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

В квантовой механике канонические переменные связаны с операторами канонических координат и импульсов. ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}=({\hat {x}}^{1},\ldots ,{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})\in \operatorname {Op} (L^{2}(\mathbb {R} ^{n})).}$

Эти операторы действуют в гильбертовом пространстве и подчиняются коммутационным соотношениям

${\displaystyle [{\hat {\xi }}^{k},{\hat {\xi }}^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}$

Правило ассоциации Вейля ^[1] распространяет соответствие на произвольные функции и операторы фазового пространства. ${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}}$

разложение Тейлора

Одностороннее ассоциативное правило было сформулировано Вейлем первоначально с помощью разложения Тейлора функций операторов канонических переменных ${\displaystyle f(\xi )\to {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}=f({\hat {\xi }})\equiv \sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}{\hat {\xi }}^{i_{1}}\ldots {\hat {\xi }}^{i_{s}}.}$

Операторы не коммутируют, поэтому разложение Тейлора не определено однозначно. Вышеприведенное предписание использует симметризированные произведения операторов. Действительные функции соответствуют эрмитовым операторам. Функция называется символом Вейля оператора . ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

При обратной ассоциации матрица плотности превращается в функцию Вигнера . ^[2] Функции Вигнера имеют многочисленные приложения в квантовой физике многих тел, кинетической теории, теории столкновений, квантовой химии. ${\displaystyle f(\xi )\leftarrow {\hat {f}}}$

Усовершенствованная версия правила ассоциации Вейля-Вигнера была предложена Грёневолдом ^{[3] и Стратоновичем [4]} .

Операторская база

Множество операторов, действующих в гильбертовом пространстве, замкнуто относительно умножения операторов на -числа и суммирования. Такое множество образует векторное пространство . Правило ассоциации, сформулированное с использованием разложения Тейлора, сохраняет операции над операторами. Соответствие можно проиллюстрировать следующей диаграммой: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\left.{\begin{array}{ccc}f(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}\\g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {g}}\\c\times f(\xi )&\longleftrightarrow &c\times {\hat {f}}\\f(\xi )+g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}+{\hat {g}}\end{array}}\right\}\;{\text{vector space}}\;\;\mathbb {V} \end{array}}\\{\begin{array}{ccc}{f(\xi )\star g(\xi )}&{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}}$

Здесь и — функции, а и — связанные с ними операторы. ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle g(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

Элементы базиса обозначены каноническими переменными . Обычно используемый базис Гроенвольда-Стратоновича выглядит как ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ${\displaystyle \xi ^{i}\in (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}}\exp(-{\frac {i}{\hbar }}\eta _{k}(\xi -{\hat {\xi }})^{k})\in \mathbb {V} .}$

Правило двусторонней ассоциации Вейля–Вигнера для функции и оператора имеет вид ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}],}$

${\displaystyle {\hat {f}}=\int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}f(\xi ){\hat {B}}(\xi ).}$

Функция выдает координаты оператора в базисе . Базис полный и ортогональный: ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$

${\displaystyle \int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}{\hat {B}}(\xi )\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]={\hat {f}},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {B}}(\xi ^{\prime })]=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).}$

Также обсуждаются альтернативные операторные базисы. ^[5] Свобода в выборе операторного базиса более известна как проблема упорядочения операторов. Координаты траекторий частиц в фазовом пространстве зависят от операторного базиса.

Звездный продукт

Множество операторов Op( L ² (R ⁿ )) замкнуто относительно умножения операторов. Векторному пространству при этом придается структура ассоциативной алгебры. Даны две функции ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle f(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {g}}],}$

можно построить третью функцию,

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}{\hat {g}}]}$

называется -произведением. ^[3] Он явно задается ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }{2}}{\mathcal {P}})g(\xi ),}$

где

${\displaystyle {\mathcal {P}}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}{\overrightarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}}}$

- оператор Пуассона. Произведение распадается на симметричную и кососимметричную части, ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle f\star g=f\circ g+{\frac {i\hbar }{2}}f\wedge g.}$

В классическом пределе -произведение становится скалярным произведением . Кососимметричная часть известна как скобка Мойала . ^[6] Это символ Вейля коммутатора. В классическом пределе скобка Мойала становится скобкой Пуассона. Скобка Мойала является квантовой деформацией скобки Пуассона. -произведение ассоциативно, тогда как -произведение и скобка Мойала не ассоциативны. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\wedge g}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Квантовые характеристики

Соответствие показывает, что преобразования координат в фазовом пространстве сопровождаются преобразованиями операторов канонических координат и импульсов и наоборот . Пусть — оператор эволюции, ${\displaystyle \xi \leftrightarrow {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {U}} }$

${\displaystyle {\hat {U}}=\exp {\Bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\tau {\Bigr )},}$

и быть гамильтонианом. Рассмотрим следующую схему, ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\,\xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,{\acute {\xi }}\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow \\&{}\,{\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}}\end{aligned}}}$

Квантовая эволюция преобразует векторы в гильбертовом пространстве и, согласно карте ассоциаций Вигнера, координаты в фазовом пространстве. В представлении Гейзенберга операторы канонических переменных преобразуются как

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Координаты фазового пространства , соответствующие новым операторам в старом базисе, задаются как ${\displaystyle {\acute {\xi }}^{i}}$ ${\displaystyle {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$

${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\acute {\xi }}^{i}=q^{i}(\xi ,\tau )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}],}$

с начальными условиями

${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.}$

Функции задают квантовый фазовый поток . В общем случае он каноничен до первого порядка по τ . ^[7] ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

Звездные функции

Набор операторов канонических переменных является полным в том смысле, что любой оператор может быть представлен как функция операторов . Преобразования ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\rightarrow {\acute {\hat {f}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}}$

индуцировать, согласно правилу ассоциации Вигнера, преобразования функций фазового пространства,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}f(\xi ){\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {f}}(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}]\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\updownarrow \\&{}{\hat {f}}\;\;\;\;{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}\,{\acute {\hat {f}}}\;\;\;\;\;={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}\end{aligned}}}$

Используя разложение Тейлора, можно найти преобразование функции при эволюции: ${\displaystyle f(\xi )}$

${\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv \mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{\dagger }}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).}$

Определенная таким образом составная функция называется -функцией. ${\displaystyle \star }$

Закон композиции отличается от классического. Однако полуклассическое расширение вокруг формально хорошо определено и включает в себя только четные степени. Это уравнение показывает, что, учитывая, как построены квантовые характеристики, физические наблюдаемые могут быть найдены без дальнейшей ссылки на гамильтониан. Функции играют роль характеристик, ^[8] аналогично классическим характеристикам, используемым для решения классического уравнения Лиувилля . ${\displaystyle f(\star q(\xi ,\tau ))}$ ${\displaystyle f(q(\xi ,\tau ))}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

Квантовое уравнение Лиувилля

Преобразование Вигнера уравнения эволюции для матрицы плотности в представлении Шредингера приводит к квантовому уравнению Лиувилля для функции Вигнера. Преобразование Вигнера уравнения эволюции для операторов в представлении Гейзенберга,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\hat {f}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {H}}],}$

приводит к тому же уравнению с противоположным знаком (плюс) в правой части:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi ).}$

${\displaystyle \star }$-функция решает это уравнение в терминах квантовых характеристик:

${\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q(\xi ,\tau ),0).}$

Аналогично, эволюция функции Вигнера в представлении Шредингера определяется выражением

${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0).}$

Теорема Лиувилля классической механики неверна, поскольку локально объем фазового пространства не сохраняется во времени. Фактически, квантовый фазовый поток не сохраняет все дифференциальные формы, определяемые внешними степенями . ${\displaystyle \omega ^{2s}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=I^{kl}d\xi _{k}\curlywedge d\xi _{l}}$

Функция Вигнера представляет квантовую систему в более общем виде, чем волновая функция. Волновые функции описывают чистые состояния, тогда как функция Вигнера характеризует ансамбли квантовых состояний. Любой эрмитов оператор можно диагонализировать:

${\displaystyle {\hat {f}}=\sum _{s}\lambda _{s}|s\rangle \langle s|}$.

Те операторы, собственные значения которых неотрицательны и в сумме дают конечное число, могут быть отображены в матрицы плотности, т. е. в некоторые физические состояния. Функция Вигнера является образом матрицы плотности, поэтому функции Вигнера допускают аналогичное разложение: ${\displaystyle \lambda _{s}}$

${\displaystyle W(\xi )=\sum _{s}\lambda _{s}W_{s}(\xi ),}$

с и ${\displaystyle \lambda _{s}\geq 0}$

${\displaystyle W_{s}(\xi )\star W_{r}(\xi )=\delta _{sr}W_{s}(\xi )}$.

Квантовые уравнения Гамильтона

Квантовые уравнения Гамильтона можно получить, применяя преобразование Вигнера к уравнениям эволюции для операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}$

Правая часть вычисляется как в классической механике. Однако составная функция является -функцией. -произведение нарушает каноничность фазового потока за пределами первого порядка по . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \tau }$

Сохранение скобки Мойала

Антисимметризованные произведения четного числа операторов канонических переменных являются c-числами вследствие коммутационных соотношений. Эти произведения остаются инвариантными при унитарном преобразовании, что приводит, в частности, к соотношению

${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}=-I^{ij}.}$

В общем случае антисимметризированное произведение

${\displaystyle q^{[i_{1}}(\xi ,\tau )\star q^{i_{2}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{2s}]}(\xi ,\tau )}$

также инвариантна, то есть не зависит от времени и, тем более, не зависит от координаты.

Преобразования фазового пространства, вызванные оператором эволюции, сохраняют скобку Мойала и не сохраняют скобку Пуассона, поэтому отображение эволюции

${\displaystyle \xi \rightarrow {\acute {\xi }}=q(\xi ,\tau ),}$

не является каноническим за пределами O(τ). ^[8] Первый порядок по τ определяет алгебру группы преобразований. Как уже отмечалось, алгебра канонических преобразований классической механики совпадает с алгеброй унитарных преобразований квантовой механики. Однако эти две группы различны, поскольку операции умножения в классической и квантовой механике различны.

Трансформационные свойства канонических переменных и функций фазового пространства при унитарных преобразованиях в гильбертовом пространстве имеют важные отличия от случая канонических преобразований в фазовом пространстве.

Закон композиции

Квантовые характеристики вряд ли можно трактовать визуально как траектории, по которым движутся физические частицы. Причина кроется в законе звездного состава

${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$

который является нелокальным и отличается от закона точечной композиции классической механики.

Энергосбережение

Сохранение энергии подразумевает

${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),}$

где

${\displaystyle H(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {H}}]}$

— функция Гамильтона. В обычном геометрическом смысле не сохраняется вдоль квантовых характеристик. ${\displaystyle H(\xi )}$

Краткое содержание

Происхождение метода характеристик можно проследить до матричной механики Гейзенберга . Предположим, что мы решили в матричной механике уравнения эволюции для операторов канонических координат и импульсов в представлении Гейзенберга. Эти операторы эволюционируют согласно

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Известно, что для любого оператора можно найти функцию f ( ξ ), через которую представляется в виде . Этот же оператор в момент времени τ равен ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f({\hat {\xi }})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}={\hat {U}}^{\dagger }f({\hat {\xi }}){\hat {U}}=f({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}{\hat {U}})=f({\hat {\xi }}(\tau )).}$

Это уравнение показывает, что являются характеристиками, определяющими эволюцию всех операторов в Op( L ² (R ⁿ )). Это свойство полностью переносится на фазовое пространство при квантовании деформации и, в пределе ħ → 0 , на классическую механику . ${\displaystyle {\hat {\xi }}(\tau )}$

Таблица сравнивает свойства характеристик в классической и квантовой механике. PDE и ODE обозначают уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения соответственно. Квантовое уравнение Лиувилля является преобразованием Вейля–Вигнера уравнения эволюции фон Неймана для матрицы плотности в представлении Шредингера . Квантовые уравнения Гамильтона являются преобразованиями Вейля–Вигнера уравнений эволюции для операторов канонических координат и импульсов в представлении Гейзенберга .

В классических системах характеристики обычно удовлетворяют уравнениям ОДУ первого порядка, например, классическим уравнениям Гамильтона, и решают уравнения в частных производных первого порядка, например, классическому уравнению Лиувилля. Функции также являются характеристиками, несмотря на то, что и подчиняются уравнениям в частных производных бесконечного порядка. ${\displaystyle c^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle f(\xi ,\tau )}$

Квантовый фазовый поток содержит всю информацию о квантовой эволюции. Полуклассическое разложение квантовых характеристик и -функций квантовых характеристик в степенной ряд по ħ позволяет вычислять средние значения зависящих от времени физических наблюдаемых путем решения связанной системы ОДУ конечного порядка для траекторий фазового пространства и полей Якоби. ^{[9] [10]} Порядок системы ОДУ зависит от усечения степенного ряда. Эффект туннелирования является непертурбативным по ħ и не улавливается расширением. Плотность квантовой вероятностной жидкости не сохраняется в фазовом пространстве, поскольку квантовая жидкость диффундирует. ^[6] Квантовые характеристики следует отличать от траекторий теории Де Бройля–Бома , ^[11] траекторий метода интеграла по путям в фазовом пространстве для амплитуд ^[12] и функции Вигнера, ^{[13] [14]} и траекторий Вигнера. ^[5] До сих пор только несколько квантовых систем были явно решены с использованием метода квантовых характеристик. ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle \star }$

Смотрите также

• Метод характеристик
• Преобразование Вигнера-Вейля
• Теория деформации
• Функция распределения Вигнера
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Распределение квазивероятности Вигнера
• Отрицательная вероятность

Ссылки

1. Вейль, Х. (1927). «Квантенмеханика и групповая теория». Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W. дои : 10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
2. Вигнер, Э. П. (1932). «О квантовой поправке для термодинамического равновесия». Physical Review . 40 (5): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/PhysRev.40.749. hdl : 10338.dmlcz/141466 .
3. Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy....12..405G. doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
4. Р. Л. Стратонович , ЖЭТФ 4, 891 (1957).
5. Lee, Hai-Woong (1995). "Теория и применение квантовых функций распределения фазового пространства". Physics Reports . 259 (3): 147–211. Bibcode :1995PhR...259..147L. doi :10.1016/0370-1573(95)00007-4.
6. Moyal, JE (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
7. П. А. М. Дирак , Принципы квантовой механики , первое издание (Оксфорд: Clarendon Press, 1930).
8. Криворученко, МИ; Фесслер, А. (2007). "Символы Вейля операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов как квантовые характеристики". Журнал математической физики . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Bibcode :2007JMP....48e2107K. doi :10.1063/1.2735816. S2CID  42068076.
9. Криворученко, М.И.; Фукс, К.; Фесслер, А. [на немецком языке] (2007). «Квазиклассическое разложение квантовых характеристик для задачи рассеяния потенциала многих тел». Annalen der Physik . 519 (9): 587–614. arXiv : nucl-th/0605015 . Bibcode :2007AnP...519..587K. doi :10.1002/andp.200610251.
10. Максимов, С. (2009). «Об особой картине динамической эволюции нелинейных квантовых систем в представлении фазового пространства». Physica D. 238 ( 18): 1937–1950. Bibcode :2009PhyD..238.1937M. doi :10.1016/j.physd.2009.07.001.
11. PR Holland , Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики Де Бройля-Бома , (Cambridge University Press, 1993), ISBN 0-521-35404-8 . 
12. Березин, ФА (1980). «Фейнмановские интегралы по траекториям в фазовом пространстве». Успехи физики . 23 (11): 763–788. Bibcode : 1980SvPhU..23..763B. doi : 10.1070/PU1980v023n11ABEH005062.
13. Маринов, М.С. (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Physics Letters A. 153 ( 1): 5–11. Bibcode : 1991PhLA..153....5M. doi : 10.1016/0375-9601(91)90352-9.
14. Wong, CY (2003). «Явное решение временной эволюции функции Вигнера». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика . 5 (3): S420–S428. arXiv : quant-ph/0210112 . Bibcode : 2003JOptB...5S.420W. doi : 10.1088/1464-4266/5/3/381. S2CID  15478434.
15. McQuarrie, BR; Osborn, TA; Tabisz, GC (1998). «Полуклассическая квантовая механика Мойала для атомных систем». Physical Review A. 58 ( 4): 2944–2961. Bibcode : 1998PhRvA..58.2944M. doi : 10.1103/physreva.58.2944.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
16. Браунс, Г. (2013). "Квантовая динамика в фазовом пространстве: траектории Мойала 2". Журнал математической физики . 54 (1): 012105. Bibcode : 2013JMP....54a2105B. doi : 10.1063/1.4773229.
17. Браунс, Г. (2017). «Квантовая динамика в фазовом пространстве: траектории Мойала 3». Журнал математической физики . 58 (6): 062104. Bibcode : 2017JMP....58f2104B. doi : 10.1063/1.4984592.

Учебники

• Г. Вейль , Теория групп и квантовая механика , (Dover Publications, New York Inc., 1931).
• В.И. Арнольд , Математические методы классической механики , (2-е изд. Springer-Verlag, New York Inc., 1989).
• М. В. Карасев и В. П. Маслов , Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. Переводы математических монографий, 119. (Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1993).