Аксиома ограничения размера

Джон фон Нейман

В теории множеств аксиома ограничения размера была предложена Джоном фон Нейманом в его системе аксиом для множеств и классов 1925 года . ^[1] Она формализует принцип ограничения размера , который избегает парадоксов, встречавшихся в более ранних формулировках теории множеств, признавая, что некоторые классы слишком велики, чтобы быть множествами. Фон Нейман понял, что парадоксы вызваны разрешением этим большим классам быть членами класса. ^[2] Класс, который является членом класса, является множеством; класс, который не является множеством, является собственным классом . Каждый класс является подклассом V , класса всех множеств. ^[a] Аксиома ограничения размера гласит, что класс является множеством тогда и только тогда, когда он меньше V — то есть не существует функции, отображающей его на V . Обычно эта аксиома формулируется в эквивалентной форме: Класс является собственным классом тогда и только тогда, когда существует функция, отображающая его на V .

Аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы замены , разделения , объединения и глобального выбора . Она эквивалентна комбинации замены, объединения и глобального выбора в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (NBG) и теории множеств Морса–Келли . Более поздние изложения теорий классов, такие как теории Пола Бернайса , Курта Гёделя и Джона Л. Келли, используют замену, объединение и аксиому выбора, эквивалентную глобальному выбору, а не аксиому фон Неймана. ^[3] В 1930 году Эрнст Цермело определил модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме ограничения размера. ^[4]

Авраам Френкель и Азриэль Леви заявили, что аксиома ограничения размера не охватывает всю «доктрину ограничения размера», поскольку она не подразумевает аксиому множества мощности . ^{[5] Майкл Халлетт утверждал, что доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому множества мощности и что «явное предположение фон Неймана [о малости множеств мощности] кажется предпочтительнее скрытого} неявного предположения Цермело, Френкеля и Леви о малости множеств мощности». ^[6]

Официальное заявление

Обычная версия аксиомы ограничения размера — класс является собственным классом тогда и только тогда, когда существует функция, отображающая его на V  — выражается на формальном языке теории множеств следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные с заглавными буквами охватывают все классы, а переменные с строчными буквами охватывают все множества. ^[7] Это соглашение позволяет нам записать:

• ${\displaystyle \exists y\,\varphi (y)}$вместо ${\displaystyle \exists y{\bigl (}\exists D(y\in D)\land \varphi (y){\bigr )}}$
• ${\displaystyle \forall y\,\varphi (y)}$вместо ${\displaystyle \forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \varphi (y){\bigr )}}$

Используя соглашение Гёделя, аксиому ограниченности размера можно записать:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$

Следствия аксиомы

Фон Нейман доказал, что аксиома ограничения размера подразумевает аксиому замены , которую можно выразить так: Если F — функция, а A — множество, то F ( A ) — множество. Это доказывается от противного . Пусть F — функция, а A — множество. Предположим, что F ( A ) — собственный класс. Тогда существует функция G , которая отображает F ( A ) на V . Поскольку составная функция G  ∘  F отображает A на V , аксиома ограничения размера подразумевает, что A — собственный класс, что противоречит тому, что A является множеством. Следовательно, F ( A ) — множество. Поскольку аксиома замены подразумевает аксиому разделения , аксиома ограничения размера подразумевает аксиому разделения . ^[b]

Фон Нейман также доказал, что его аксиома подразумевает, что V может быть вполне упорядоченным . Доказательство начинается с доказательства от противного, что Ord , класс всех ординалов , является собственным классом. Предположим, что Ord — множество. Поскольку это транзитивное множество , которое строго вполне упорядочено по ∈, оно является ординалом. Поэтому Ord  ∈  Ord , что противоречит тому, что Ord является строго вполне упорядоченным по ∈. Следовательно, Ord — собственный класс. Поэтому аксиома фон Неймана подразумевает, что существует функция F , которая отображает Ord на V. Чтобы определить вполне упорядоченное множество V , пусть G будет подклассом F, состоящим из упорядоченных пар (α,  x ), где α — наименьшее β такое, что (β,  x ) ∈  F ; то есть, G  = {(α,  x ) ∈  F  : ∀β((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. Функция G является взаимно-однозначным соответствием между подмножеством Ord и V . Следовательно, x  <  y , если G ⁻¹ (x) <  G ⁻¹ (y), определяет полный порядок V . Этот полный порядок определяет функцию глобального выбора : Пусть Inf  ( x ) будет наименьшим элементом непустого множества x . Поскольку Inf  ( x ) ∈  x , эта функция выбирает элемент x для каждого непустого множества x . Следовательно, Inf  ( x ) является функцией глобального выбора, поэтому аксиома фон Неймана влечет аксиому глобального выбора .

В 1968 году Азриэль Леви доказал, что аксиома фон Неймана влечет аксиому объединения . Во-первых, он доказал без использования аксиомы объединения, что каждое множество ординалов имеет верхнюю границу. Затем он использовал функцию, которая отображает Ord на V , чтобы доказать, что если A — множество, то ∪  A — множество. ^[8]

Аксиомы замены, глобального выбора и объединения (вместе с другими аксиомами NBG ) подразумевают аксиому ограничения размера. ^[c] Следовательно, эта аксиома эквивалентна комбинации замены, глобального выбора и объединения в NBG или теории множеств Морса–Келли . Эти теории множеств только заменили аксиому замены и форму аксиомы выбора на аксиому ограничения размера, поскольку система аксиом фон Неймана содержит аксиому объединения. Доказательство Леви того, что эта аксиома избыточна, появилось много лет спустя. ^[9]

Аксиомы NBG с аксиомой глобального выбора, замененной обычной аксиомой выбора, не подразумевают аксиому ограничения размера. В 1964 году Уильям Б. Истон использовал форсинг для построения модели NBG с глобальным выбором, замененным аксиомой выбора. ^[10] В модели Истона V не может быть линейно упорядоченным , поэтому оно не может быть вполне упорядоченным. Следовательно, аксиома ограничения размера в этой модели не выполняется. Ord является примером собственного класса, который не может быть отображен на V, поскольку (как доказано выше) если существует функция, отображающая Ord на V , то V может быть вполне упорядоченным.

Аксиомы NBG с аксиомой замены, замененной более слабой аксиомой разделения, не подразумевают аксиому ограничения размера. Определим как -й бесконечный начальный ординал , который также является кардиналом ; нумерация начинается с , так что В 1939 году Гёдель указал, что L _{ω ω} , подмножество конструктивной вселенной , является моделью ZFC с заменой, замененной разделением. ^[11] Чтобы расширить ее до модели NBG с заменой, замененной разделением, пусть ее классы будут множествами L _{ω ω+1} , которые являются конструктивными подмножествами L _{ω ω} . Эта модель удовлетворяет аксиомам существования класса NBG, поскольку ограничение множества переменных этих аксиом до L _{ω ω} создает примеры аксиомы разделения, которая выполняется в L. ^[d] Она удовлетворяет аксиоме глобального выбора, поскольку существует функция, принадлежащая L _{ω ω+1} , которая отображает ω _ω на L _{ω ω} , что подразумевает, что L _{ω ω} является вполне упорядоченным. ^[e] Аксиома ограничения размера не выполняется, поскольку надлежащий класс {ω _n  :  n  ∈ ω} имеет мощность , поэтому его нельзя отобразить на L _{ω ω} , который имеет мощность . ^[f] ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \omega _{0}=\omega .}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

В письме 1923 года к Цермело фон Нейман сформулировал первую версию своей аксиомы: класс является собственным классом тогда и только тогда, когда между ним и V существует взаимно-однозначное соответствие . ^[2] Аксиома ограничения размера подразумевает аксиому фон Неймана 1923 года . Следовательно, она также подразумевает, что все собственные классы равночисленны с V.

Доказательство того, что аксиома ограниченности размера подразумевает аксиому фон Неймана 1923 года

Чтобы доказать направление, пусть будет классом и будет однозначным соответствием от к Поскольку отображение на аксиому ограничения размера подразумевает, что является собственным классом. ${\displaystyle \Longleftarrow }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle A}$

Чтобы доказать направление, пусть будет собственным классом. Мы определим хорошо упорядоченные классы и и построим изоморфизмы порядка между и Тогда изоморфизм порядка из в является однозначным соответствием между и ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,<)}$ ${\displaystyle (V,<),}$ ${\displaystyle (Ord,<),(A,<),}$ ${\displaystyle (V,<).}$ ${\displaystyle (A,<)}$ ${\displaystyle (V,<)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V.}$

Выше было доказано, что аксиома ограничения размера подразумевает, что существует функция , которая отображается на Также, был определен как подкласс , который является однозначным соответствием между и Он определяет вполне упорядоченный на , если Следовательно, является изоморфизмом порядка из в ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Dom(G)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V\colon \,x<y\,}$ ${\displaystyle G^{-1}(x)<G^{-1}(y).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (Dom(G),<)}$ ${\displaystyle (V,<).}$

Если — вполне упорядоченный класс, его собственные начальные сегменты — это классы , где Теперь имеет свойство, что все его собственные начальные сегменты являются множествами. Поскольку это свойство выполняется для Изоморфизм порядка подразумевает, что это свойство выполняется для Поскольку это свойство выполняется для ${\displaystyle (C,<)}$ ${\displaystyle \{x\in C:x<y\}}$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle (Ord,<)}$ ${\displaystyle Dom(G)\subseteq Ord,}$ ${\displaystyle (Dom(G),<).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (V,<).}$ ${\displaystyle A\subseteq V,}$ ${\displaystyle (A,<).}$

Для получения порядкового изоморфизма из в используется следующая теорема: Если — собственный класс и собственные начальные сегменты — множества, то существует порядковый изоморфизм из в ^[g] Поскольку и удовлетворяют условию теоремы, существуют порядковые изоморфизмы и Следовательно, порядковый изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие между и ${\displaystyle (A,<)}$ ${\displaystyle (V,<),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P,<)}$ ${\displaystyle (Ord,<)}$ ${\displaystyle (P,<).}$ ${\displaystyle (A,<)}$ ${\displaystyle (V,<)}$ ${\displaystyle I_{A}\colon (Ord,<)\rightarrow (A,<)}$ ${\displaystyle I_{V}\colon (Ord,<)\rightarrow (V,<).}$ ${\displaystyle I_{V}\circ I_{A}^{-1}\colon (A,<)\rightarrow (V,<)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V.}$

Модели Цермело и аксиома ограничения размера

Эрнст Цермело в 1900-х годах

В 1930 году Цермело опубликовал статью о моделях теории множеств, в которой доказал, что некоторые из его моделей удовлетворяют аксиоме ограничения размера. ^[4] Эти модели построены в ZFC с использованием кумулятивной иерархии V _α , которая определяется трансфинитной рекурсией :

1. V ₀  =  ∅ . ^[ч]
2. V α + ₁  =  V _α  ∪  P ( V _α ). То есть, объединение V _α и его множества степеней . ^[i]
3. Для предела β: V _β  = ∪ _{α < β}  V _α . То есть V _β является объединением предыдущих V _α .

Цермело работал с моделями вида V _{κ ,} где κ — кардинал . Классы модели — это подмножества V _κ , а ∈- отношение модели — это стандартное ∈-отношение. Множества модели — это классы X такие, что X ∈ V _κ . ^[j] Цермело определил кардиналы κ такие, что V _κ удовлетворяет: ^[12]

Теорема 1. Класс X является множеством тогда и только тогда, когда | X | < κ.

Теорема 2. | V _κ | = κ.

Так как каждый класс является подмножеством V _κ , то из теоремы 2 следует, что каждый класс X имеет мощность  ≤ κ. Объединение этого с теоремой 1 доказывает: каждый собственный класс имеет мощность κ. Следовательно, каждый собственный класс может быть поставлен во взаимно-однозначное соответствие с V _κ . Это соответствие является подмножеством V _κ , поэтому оно является классом модели. Следовательно, аксиома ограничения размера верна для модели V _κ .

Теорема, утверждающая, что V _κ имеет хорошо упорядоченное множество, может быть доказана напрямую . Поскольку κ является ординалом мощности κ и | V _κ | = κ, между κ и V _κ существует взаимно однозначное соответствие . Это соответствие создает хорошо упорядоченное множество V _κ . Доказательство фон Неймана является косвенным . Оно использует парадокс Бурали-Форти для доказательства от противного того, что класс всех ординалов является собственным классом. Следовательно, аксиома ограничения размера подразумевает, что существует функция, которая отображает класс всех ординалов на класс всех множеств. Эта функция создает хорошо упорядоченное множество V _κ . ^[13]

МодельВω

Чтобы продемонстрировать, что теоремы 1 и 2 справедливы для некоторого V _κ , мы сначала докажем, что если множество принадлежит V _α , то оно принадлежит всем последующим V _β , или, что эквивалентно: V _α  ⊆  V _β для α ≤ β. Это доказывается трансфинитной индукцией по β:

1. β ₌ 0: V0  ⊆  V0 _.
2. Для β+1: По индуктивному предположению V _α  ⊆  V _β . Следовательно, V _α  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _β+1 .
3. Для предела β: Если α < β, то V _α  ⊆ ∪ _{ξ < β}  V _ξ  =  V _β . Если α = β, то V _α  ⊆  V _β .

Наборы входят в кумулятивную иерархию через набор мощности P ( V _β ) на шаге β+1. Понадобятся следующие определения:

Если x — множество, то ранг ( x ) — это наименьшее порядковое число β, такое что x  ∈  V _β+1 . ^[14]

Супремум множества ординалов A, обозначаемый sup A, — это наименьший ординал β, такой что α ≤ β для всех α ∈ A.

Наименьшая модель Цермело — V _ω . Математическая индукция доказывает, что V n конечна для _всех n < ω  :

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n )| ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |} , что конечно, поскольку V _n конечно по индуктивному предположению.

Доказательство теоремы 1: Множество X входит в V _ω через P ( V _n ) для некоторого n  < ω, поэтому X  ⊆  V _n . Поскольку V _n конечно, X конечно. Обратно : если класс X конечен, пусть N  = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Поскольку rank( x ) ≤  N для всех x  ∈  X , то X  ⊆  V _{N +1} , поэтому X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ω . Следовательно, X  ∈  V _ω .

Доказательство теоремы 2: V _ω является объединением счетного бесконечного числа конечных множеств возрастающего размера. Следовательно, оно имеет мощность , которая равна ω по кардинальному назначению фон Неймана . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Множества и классы V _ω удовлетворяют всем аксиомам NBG, кроме аксиомы бесконечности . ^[k]

МоделиВкгде κ — строго недоступный кардинал

Для доказательства теорем 1 и 2 для V _ω были использованы два свойства конечности :

1. Если λ — конечный кардинал, то 2 ^λ также конечен.
2. Если A — множество ординалов, такое что | A | конечно, и α конечно для всех α ∈  A , то sup  A конечен.

Чтобы найти модели, удовлетворяющие аксиоме бесконечности, замените «конечный» на «< κ», чтобы получить свойства, которые определяют строго недоступные кардиналы . Кардинал κ строго недостижим, если κ > ω и:

1. Если λ — кардинал такой, что λ < κ, то 2 ^λ  < κ.
2. Если A — множество ординалов, такое что | A | < κ и α < κ для всех α ∈  A , то sup  A  < κ.

Эти свойства утверждают, что κ не может быть достигнуто снизу. Первое свойство говорит, что κ не может быть достигнуто с помощью степенных множеств; второе говорит, что κ не может быть достигнуто с помощью аксиомы замены. ^[l] Так же, как аксиома бесконечности требуется для получения ω, аксиома нужна для получения строго недостижимых кардиналов. Цермело постулировал существование неограниченной последовательности строго недостижимых кардиналов. ^[m]

Если κ — сильно недостижимый кардинал, то трансфинитная индукция доказывает | В _α | < κ для всех α < κ:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. Для α+1: | V _α+1 | = | V _α  ∪  P ( V _α )| ≤ | V _α | + 2  ^{| V _α |}  = 2  ^{| V _α |}  < κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу и κ, будучи строго недостижимым.
3. Для предела α: | В _α | знак равно |∪ _{ξ < α}  V _ξ | ≤ суп {| В _ξ | : ξ < α} < κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу и κ строго недостижимо.

Доказательство теоремы 1: Множество X входит в V _κ через P ( V _α ) для некоторого α < κ, поэтому X  ⊆  V _α . Поскольку | V _α | < κ, получаем | X | < κ. Обратно: если класс X имеет | X | < κ, пусть β = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Поскольку κ сильно недостижимо, | X | < κ и rank( x ) < κ для всех x  ∈  X влекут β = sup {rank( x ):  x  ∈  X } < κ. Поскольку rank( x ) ≤ β для всех x  ∈  X , имеем X  ⊆  V _β+1 , поэтому X  ∈  V _β+2  ⊆  V _κ . Следовательно, X  ∈  V _κ .

Доказательство теоремы 2: | В _κ | знак равно |∪ _{α < κ}  V _α | ≤ суп {| В _α | : α < κ}. Пусть β — эта верхняя грань. Поскольку каждый ординал в супремуме меньше κ, имеем β ≤ κ. Предположим, что β < κ. Тогда существует кардинал λ такой, что β < λ < κ; например, пусть λ = 2 ^|β| . Поскольку λ ⊆ V _λ и | В _λ | находится в супремуме, то λ ≤ | В _λ | ≤ β. Это противоречит β < λ. Следовательно, | В _κ | = β = κ.

Множества и классы V _κ удовлетворяют всем аксиомам NBG. ^[n]

Доктрина ограничения размера

Доктрина ограничения размера — это эвристический принцип, который используется для обоснования аксиом теории множеств. Он избегает парадоксов теории множеств, ограничивая полную (противоречивую) схему аксиом понимания:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$

к примерам, «которые не дают наборы «слишком большие», чем те, которые они используют». ^[15]

Если «больше» означает «больше по кардинальному размеру», то большинство аксиом можно оправдать: Аксиома разделения создаёт подмножество x , которое не больше x . Аксиома замены создаёт множество изображений f ( x ), которое не больше x . Аксиома объединения создаёт объединение, размер которого не больше размера наибольшего множества в объединении, умноженного на количество множеств в объединении. ^[16] Аксиома выбора создаёт множество выбора, размер которого не больше размера заданного множества непустых множеств.

Доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому бесконечности:

${\displaystyle \exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],}$

который использует пустое множество и множества, полученные из пустого множества путем итерации операции порядкового преемника . Поскольку эти множества конечны, любое множество, удовлетворяющее этой аксиоме, такое как ω, намного больше этих множеств. Френкель и Леви рассматривают пустое множество и бесконечное множество натуральных чисел , существование которых подразумевается аксиомами бесконечности и разделения, как отправную точку для генерации множеств. ^[17]

Подход фон Неймана к ограничению размера использует аксиому ограничения размера. Как упоминалось в § Следствия аксиомы, аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы разделения, замены, объединения и выбора. Подобно Френкелю и Леви, фон Нейман должен был добавить аксиому бесконечности в свою систему, поскольку она не может быть доказана из его других аксиом. ^[o] Различия между подходом фон Неймана к ограничению размера и подходом Френкеля и Леви заключаются в следующем:

• Аксиома фон Неймана вводит ограничение размера в систему аксиом, что позволяет доказать большинство аксиом существования множества. Доктрина ограничения размера оправдывает аксиомы, используя неформальные аргументы, которые более открыты для разногласий, чем доказательство.
• Фон Нейман принял аксиому степенного множества, поскольку ее нельзя доказать из других его аксиом. ^[p] Френкель и Леви утверждают, что доктрина ограничения размера оправдывает аксиому степенного множества. ^[18]

Существуют разногласия по поводу того, оправдывает ли доктрина ограничения размера аксиому степенного множества. Майкл Халлетт проанализировал аргументы, приведенные Френкелем и Леви. Некоторые из их аргументов измеряют размер по критериям, отличным от кардинального размера, например, Френкель вводит «полнота» и «расширяемость». Халлетт указывает на то, что он считает недостатками в их аргументах. ^[19]

Затем Халлетт утверждает, что результаты в теории множеств, по-видимому, подразумевают, что нет связи между размером бесконечного множества и размером его множества мощности. Это означало бы, что доктрина ограничения размера неспособна оправдать аксиому множества мощности, поскольку она требует, чтобы множество мощности x не было «слишком большим», чем x . Для случая, когда размер измеряется кардинальным размером, Халлетт упоминает работу Пола Коэна . ^[20] Начав с модели ZFC и , Коэн построил модель, в которой мощность множества мощности ω равна , если конфинальность не равна ω; в противном случае ее мощность равна . [ ^21] Поскольку мощность множества мощности ω не имеет ограничений, нет связи между кардинальным размером ω и кардинальным размером P (ω). ^[22] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$

Халлетт также обсуждает случай, когда размер измеряется «полнотой», которая считает коллекцию «слишком большой», если она имеет «неограниченное понимание» или «неограниченную протяженность». ^[23] Он указывает, что для бесконечного множества мы не можем быть уверены, что у нас есть все его подмножества, не пройдя через неограниченную протяженность вселенной. Он также цитирует Джона Л. Белла и Моше Маховер : «... множество мощности P ( u ) данного [бесконечного] множества u пропорционально не только размеру u , но и «богатству» всей вселенной ...» ^[24] После этих наблюдений Халлетт заявляет: «Можно заподозрить, что просто нет связи между размером (полнотой) бесконечного a и размером P ( a )». ^[20]

Халлетт считает, что доктрина ограничения размера ценна для обоснования большинства аксиом теории множеств. Его аргументы указывают только на то, что она не может обосновать аксиомы бесконечности и степенного множества. ^{[25] Он приходит к выводу, что «явное предположение фон Неймана [о малости степенных множеств] кажется предпочтительнее, чем смутно скрытое} неявное предположение Цермело, Френкеля и Леви о малости степенных множеств». ^[6]

История

Фон Нейман разработал аксиому ограничения размера как новый метод идентификации множеств. ZFC идентифицирует множества через свои аксиомы построения множеств. Однако, как указал Авраам Френкель : «Довольно произвольный характер процессов, которые выбраны в аксиомах Z [ZFC] в качестве основы теории, оправдан историческим развитием теории множеств, а не логическими аргументами». ^[26]

Историческое развитие аксиом ZFC началось в 1908 году, когда Цермело выбрал аксиомы для устранения парадоксов и для поддержки своего доказательства теоремы о хорошем порядке . ^[q] В 1922 году Абрахам Френкель и Торальф Скулем указали, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...}, где Z ₀ — множество натуральных чисел , а Z _{n +1} — множество мощности Z _n . ^[27] Они также ввели аксиому замены, которая гарантирует существование этого множества. ^[28] Однако добавление аксиом по мере необходимости не гарантирует существования всех разумных множеств и не проясняет разницу между множествами, которые безопасны в использовании, и наборами, которые приводят к противоречиям.

В письме 1923 года Цермело фон Нейман изложил подход к теории множеств, который определяет множества, которые являются «слишком большими» и могут привести к противоречиям. ^[r] Фон Нейман определил эти множества, используя критерий: «Множество является «слишком большим» тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству всех вещей». Затем он ограничил, как эти множества могут использоваться: «... чтобы избежать парадоксов, те [множества], которые являются «слишком большими», объявляются недопустимыми в качестве элементов ». ^[29] Объединив это ограничение со своим критерием, фон Нейман получил свою первую версию аксиомы ограничения размера, которая на языке классов гласит: Класс является собственным классом тогда и только тогда, когда он равночислен с V . ^[2] К 1925 году фон Нейман модифицировал свою аксиому, изменив «он равночислен с V  » на «он может быть отображен на V  », что дает аксиому ограничения размера. Эта модификация позволила фон Нейману дать простое доказательство аксиомы замены. ^[1] Аксиома фон Неймана определяет множества как классы, которые не могут быть отображены на V. Фон Нейман понял, что даже с этой аксиомой его теория множеств не полностью характеризует множества. ^[s]

Гёдель нашел аксиому фон Неймана «представляющей большой интерес»:

«В частности, я считаю, что его [фон Неймана] необходимое и достаточное условие, которому свойство должно удовлетворять, чтобы определить множество, представляет большой интерес, поскольку оно проясняет связь аксиоматической теории множеств с парадоксами. То, что это условие действительно затрагивает суть вещей, видно из того факта, что оно подразумевает аксиому выбора, которая ранее стояла совершенно отдельно от других экзистенциальных принципов. Выводы, граничащие с парадоксами, которые становятся возможными благодаря такому взгляду на вещи, кажутся мне не только очень элегантными, но и очень интересными с логической точки зрения. ^[t] Более того, я считаю, что только двигаясь дальше в этом направлении, т. е. в направлении, противоположном конструктивизму , будут решены основные проблемы абстрактной теории множеств». ^[30]

Примечания

1. Доказательство: Пусть A — класс и X  ∈  A. Тогда X — множество, поэтому X ∈  V.  Следовательно , A  ⊆  V.
2. Доказательство, использующее аксиому фон Неймана: Пусть A — множество, а B — подкласс, полученный с помощью аксиомы разделения. Используя доказательство от противного, предположим, что B — собственный класс. Тогда существует функция F, отображающая B на V . Определим функцию G, отображающую A на V : если x  ∈  B , то G ( x ) =  F ( x ); если x  ∈  A  \  B, то G ( x ) =  ∅ . Поскольку F отображает A на V , G отображает A на V . Таким образом, аксиома ограничения размера подразумевает, что A — собственный класс, что противоречит тому, что A является множеством. Следовательно, B — множество.
3. Это можно перефразировать так: NBG подразумевает аксиому ограничения размера. В 1929 году фон Нейман доказал, что система аксиом, которая позже развилась в NBG, подразумевает аксиому ограничения размера. (Ferreirós 2007, стр. 380.)
4. Переменная множества аксиомы ограничена с правой стороны "если и только если". Кроме того, переменные класса аксиомы преобразуются в переменные множества. Например, аксиома существования класса становится Аксиомы существования класса приведены в Gödel 1940, стр. 5. ${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]}$ ${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].}$
5. Гёдель определил функцию , которая отображает класс ординалов на . Функция (которая является ограничением на ) отображается на , и она принадлежит , поскольку является конструируемым подмножеством . Гёдель использует обозначение для . (Гёдель 1940, стр. 37–38, 54.) ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {F|}_{\omega _{\omega }}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle L_{\omega _{\omega }}}$ ${\displaystyle L_{\omega _{\omega +1}}}$ ${\displaystyle L_{\omega _{\omega }}}$ ${\displaystyle F''\omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\omega _{\alpha }}}$
6. Доказательство от противного, что является собственным классом : Предположим, что это множество. По аксиоме объединения, является множеством. Это объединение равно , собственному классу модели всех ординалов, что противоречит тому, что объединение является множеством. Следовательно, является собственным классом. Доказательство того, что Функция отображается на , поэтому Также, подразумевает Следовательно, ${\displaystyle \{\omega _{n}:n\in \omega \}}$ ${\displaystyle \cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \{\omega _{n}:n\in \omega \}}$
   ${\displaystyle |L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:}$ ${\displaystyle {F|}_{\omega _{\omega }}}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle L_{\omega _{\omega }}}$ ${\displaystyle |L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}}$ ${\displaystyle |\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.}$ ${\displaystyle |L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.}$
7. Это первая половина теоремы 7.7 в Gödel 1940, стр. 27. Гёдель определяет изоморфизм порядка с помощью трансфинитной рекурсии : ${\displaystyle F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)}$ ${\displaystyle F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).}$
8. Это стандартное определение V ₀ . Цермело предположил , что V ₀ — это множество урэлементов , и доказал, что если это множество содержит один элемент, то полученная модель удовлетворяет аксиоме ограничения размера (его доказательство также работает для V ₀ = ∅). Цермело заявил, что эта аксиома не верна для всех моделей, построенных из множества урэлементов. (Zermelo 1930, стр. 38; английский перевод: Ewald 1996, стр. 1227.)
9. Это определение Цермело (Zermelo 1930, стр. 36; английский перевод: Ewald 1996, стр. 1225). Если V ₀ = ∅, это определение эквивалентно стандартному определению V _α+1  =  P ( V _α ), поскольку V _α  ⊆  P ( V _α ) (Кунен 1980, стр. 95; вместо этого Кунен использует обозначение R(α) Vα ) _.​ Если V ₀ представляет собой набор urelements, стандартное определение исключает urelements в V ₁ .
10. Если X — множество, то существует класс Y такой, что X  ∈  Y . Поскольку Y  ⊆  V _κ , то X  ∈  V _κ . Обратно: если X  ∈  V _κ , то X принадлежит классу, поэтому X — множество.
11. Цермело доказал, что V _ω удовлетворяет ZFC без аксиомы бесконечности. Аксиомы существования класса NBG (Гёдель 1940, стр. 5) верны, поскольку V _ω является множеством, если рассматривать его с точки зрения теории множеств, которая его конструирует (а именно, ZFC). Следовательно, аксиома разделения производит подмножества V _ω, которые удовлетворяют аксиомам существования класса.
12. Цермело ввел строго недоступные кардиналы κ, так что V _κ удовлетворяло ZFC. Аксиомы степенного множества и замены привели его к свойствам строго недоступных кардиналов. (Цермело 1930, стр. 31–35; английский перевод: Эвальд 1996, стр. 1221–1224.) Независимо друг от друга Вацлав Серпинский и Альфред Тарский ввели эти кардиналы в 1930 году. (Серпинский и Тарский 1930.)
13. Цермело использовал эту последовательность кардиналов для получения последовательности моделей, объясняющих парадоксы теории множеств — такие как парадокс Бурали-Форти и парадокс Рассела . Он утверждал, что парадоксы «зависят исключительно от путаницы самой теории множеств ... с отдельными моделями, представляющими ее. То, что выглядит как «ультраконечное не- или супермножество» в одной модели, в последующей модели является совершенно хорошим, допустимым множеством как с кардинальным числом, так и с порядковым типом, и само по себе является краеугольным камнем для построения новой области [модели]». (Цермело 1930, стр. 46–47; английский перевод: Ewald 1996, стр. 1223.)
14. Цермело доказал, что V _κ удовлетворяет ZFC, если κ — строго недостижимый кардинал. Аксиомы существования класса NBG (Гёдель 1940, стр. 5) верны, поскольку V _κ является множеством, если рассматривать его с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC + существует бесконечно много строго недостижимых кардиналов). Следовательно, аксиома разделения порождает подмножества V _κ , которые удовлетворяют аксиомам существования класса.
15. Модель, множества которой являются элементами , а классы — подмножествами, удовлетворяет всем его аксиомам, за исключением аксиомы бесконечности, которая не выполняется, поскольку все множества конечны. ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$
16. Модель, множества которой являются элементами , а классы — элементами, удовлетворяет всем его аксиомам, за исключением аксиомы множества мощности. Эта аксиома не выполняется, поскольку все множества счетны. ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle L_{\omega _{2}}}$
17. "... мы должны, с одной стороны, ограничить эти принципы [аксиомы] в достаточной степени, чтобы исключить все противоречия, а с другой стороны, принять их достаточно широко, чтобы сохранить все ценное в этой теории". (Zermelo 1908, стр. 261; английский перевод: van Heijenoort 1967a, стр. 200). Грегори Мур утверждает, что "аксиоматизация Цермело была в первую очередь мотивирована желанием обеспечить его демонстрацию теоремы о хорошем порядке ..." (Moore 1982, стр. 158–160).
18. Фон Нейман опубликовал вводную статью о своей системе аксиом в 1925 году (von Neumann 1925; английский перевод: van Heijenoort 1967c). В 1928 году он представил подробное рассмотрение своей системы (von Neumann 1928).
19. Фон Нейман исследовал, является ли его теория множеств категоричной ; то есть, определяет ли она однозначно множества в том смысле, что любые две ее модели изоморфны . Он показал, что она не категорична из-за слабости аксиомы регулярности : эта аксиома исключает только нисходящие ∈-последовательности из существования в модели; нисходящие последовательности могут существовать и вне модели. Модель, имеющая «внешние» нисходящие последовательности, не изоморфна модели, не имеющей таких последовательностей, поскольку эта последняя модель не имеет изоморфных образов для множеств, принадлежащих внешним нисходящим последовательностям. Это привело фон Неймана к выводу, «что категорической аксиоматизации теории множеств, по-видимому, вообще не существует» (von Neumann 1925, стр. 239; английский перевод: van Heijenoort 1967c, стр. 412).
20. Например, доказательство фон Неймана того, что его аксиома влечет теорему о хорошем порядке, использует парадокс Бурали-Форте (von Neumann 1925, стр. 223; английский перевод: van Heijenoort 1967c, стр. 398).

Ссылки

1. фон Нейман 1925, с. 223; Английский перевод: ван Хейеноорт, 1967c, стр. 397–398.
2. Hallett 1984, стр. 290.
3. Bernays 1937, стр. 66–70; Bernays 1941, стр. 1–6. Gödel 1940, стр. 3–7. Kelley 1955, стр. 251–273.
4. Zermelo 1930; английский перевод: Ewald 1996.
5. Френкель, Бар-Хилель и Леви 1973, стр. 137.
6. Hallett 1984, стр. 295.
7. Гёдель 1940, стр. 3.
8. Леви 1968.
9. Это произошло 43 года спустя: фон Нейман сформулировал свои аксиомы в 1925 году, а доказательство Леви появилось в 1968 году. (von Neumann 1925, Levy 1968.)
10. Истон 1964, стр. 56а–64.
11. Гёдель 1939, стр. 223.
12. Эти теоремы являются частью Второй теоремы развития Цермело. (Цермело 1930, стр. 37; английский перевод: Эвальд 1996, стр. 1226.)
13. von Neumann 1925, стр. 223; английский перевод: van Heijenoort 1967c, стр. 398. Доказательство фон Неймана, которое использует только аксиомы, имеет то преимущество, что применимо ко всем моделям, а не только к V _κ .
14. Кунен 1980, стр. 95.
15. Френкель, Бар-Хилель и Леви 1973, стр. 32, 137.
16. Халлетт 1984, стр. 205.
17. Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973, стр. 95.
18. Халлетт 1984, стр. 200, 202.
19. Халлетт 1984, стр. 200–207.
20. Hallett 1984, стр. 206–207.
21. Коэн 1966, стр. 134.
22. Халлетт 1984, стр. 207.
23. Халлетт 1984, стр. 200.
24. Белл и Маховер 2007, стр. 509.
25. Халлетт 1984, стр. 209–210.
26. Историческое введение в Bernays 1991, стр. 31.
27. Френкель 1922, стр. 230–231. Сколем 1922 г.; Английский перевод: van Heijenoort 1967b, стр. 296–297).
28. Ferreirós 2007, стр. 369. В 1917 году Дмитрий Мириманов опубликовал форму замены, основанную на кардинальной эквивалентности (Mirimanoff 1917, стр. 49).
29. Халлетт 1984, стр. 288, 290.
30. Из письма Гёделя Станиславу Уламу от 8 ноября 1957 г. (Канамори 2003, стр. 295).

Библиография

• Белл, Джон Л.; Маховер, Моше (2007), Курс математической логики , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2844-5.
• Бернайс, Пол (1937), «Система аксиоматической теории множеств — часть I», Журнал символической логики , 2 (1): 65–77, doi :10.2307/2268862, JSTOR  2268862.
• Бернайс, Пол (1941), «Система аксиоматической теории множеств — часть II», Журнал символической логики , 6 (1): 1–17, doi :10.2307/2267281, JSTOR  2267281, S2CID  250344277.
• Бернейс, Пол (1991), Аксиоматическая теория множеств , Dover Publications, ISBN 0-486-66637-9.
• Коэн, Пол (1966), Теория множеств и гипотеза континуума , WA Benjamin, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия регулярных кардиналов (докторская диссертация), Принстонский университет.
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е пересмотренное издание), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Френкель, Абрахам (1922), «Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre», Mathematische Annalen , 86 (3–4): 230–237, doi : 10.1007/bf01457986, S2CID  122212740.
• Френкель, Авраам; Бар-Хиллель, Иегошуа; Леви, Азриэль (1973), Основы теории множеств (2-е пересмотренное издание), Базель, Швейцария: Elsevier, ISBN 0-7204-2270-1.
• Гёдель, Курт (1939), «Доказательство непротиворечивости обобщенной гипотезы континуума» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 25 (4): 220–224, doi : 10.1073/pnas.25.4.220 , PMC  1077751 , PMID  16588293.
• Гёдель, Курт (1940), Непротиворечивость гипотезы континуума , Princeton University Press.
• Халлетт, Майкл (1984), Канторовская теория множеств и ограничение размера , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6.
• Канамори, Акихиро (2003), «Станислав Улам» (PDF) , в Соломоне Фефермане и Джоне В. Доусоне-младшем (редактор), Собрание сочинений Курта Гёделя, Том V: Переписка HZ , Clarendon Press, стр. 280–300 , ISBN 0-19-850075-0.
• Келли, Джон Л. (1955), Общая топология, Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90125-1.
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN 0-444-86839-9.
• Леви, Азриэль (1968), «О системе аксиом фон Неймана для теории множеств», American Mathematical Monthly , 75 (7): 762–763, doi :10.2307/2315201, JSTOR  2315201.
• Мириманов, Дмитрий (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории ансамблей», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52.
• Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние , Springer, ISBN 0-387-90670-3.
• Серпинский, Вацлав; Тарский, Альфред (1930), «Sur une proprieté caractéristique des nombres unaccessibles» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300 , ISSN  0016-2736.
• Скулем, Торальф (1922), «Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre», Matematikerkongressen i Helsingfors den 4–7 июля, 1922 , стр. 217–232..
  • Перевод на английский язык: ван Хейеноорт, Жан (1967b), «Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств», От Фреге до Гёделя: первоисточник по математической логике, 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, стр. 290–301, ISBN 978-0-674-32449-7.
• фон Нейман, Джон (1925), «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
  • Перевод на английский язык: ван Хейеноорт, Жан (1967c), «Аксиоматизация теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, стр. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• фон Нейман, Джон (1928), «Die Axiomatisierung der Mengenlehre», Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi : 10.1007/bf01171122, S2CID  123492324.
• Цермело, Эрнст (1908), «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre», Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999, S2CID  120085563.
  • Перевод на английский язык: ван Хейеноорт, Жан (1967a), «Исследования по основам теории множеств», От Фреге до Гёделя: первоисточник по математической логике, 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, стр. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.
• Цермело, Эрнст (1930), «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29-47.
  • Перевод на английский язык: Эвальд, Уильям Б. (1996), «О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основаниях теории множеств», От Иммануила Канта до Давида Гильберта: Учебник по основаниям математики , Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.