Мультиплет

В физике и особенно в физике элементарных частиц мультиплет — это пространство состояний для «внутренних» степеней свободы частицы, то есть степеней свободы, связанных с самой частицей, в отличие от «внешних» степеней свободы, таких как степень свободы частицы. положение в пространстве. Примерами таких степеней свободы являются состояние спина частицы в квантовой механике или состояние цвета , изоспина и гиперзаряда частиц в Стандартной модели физики элементарных частиц. Формально мы описываем это пространство состояний векторным пространством , в котором действует группа непрерывных симметрий.

Математическая формулировка

Математически мультиплеты описываются через представления группы Ли или соответствующей ей алгебры Ли и обычно используются для обозначения неприводимых представлений (для краткости irreps).

На уровне группы это тройка, где ${\displaystyle (V,G,\rho )}$

• ${\displaystyle V}$— векторное пространство над полем (в алгебраическом смысле) , обычно принимаемое за или ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle G}$является группой Ли. Часто это компактная группа Ли.
• ${\displaystyle \rho }$есть гомоморфизм группы , т. е. отображение группы в пространство обратимых линейных отображений на . Это отображение должно сохранять групповую структуру: ибо у нас есть . ${\displaystyle G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}$ ${\displaystyle \rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})}$

На уровне алгебры это тройка , где ${\displaystyle (V,{\mathfrak {g}},\rho )}$

• ${\displaystyle V}$все как прежде.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$является алгеброй Ли. Часто это конечномерная алгебра Ли над или . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \rho }$является гомоморфизмом алгебры Ли . Это линейное отображение, сохраняющее скобку Ли: ибо имеем . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle \rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]}$

Этот символ используется как для алгебр Ли, так и для групп Ли, поскольку, по крайней мере, в конечной размерности, существует хорошо понятное соответствие между группами Ли и алгебрами Ли. ${\displaystyle \rho }$

В математике гомоморфизм обычно называют представлением, например, в предложении «рассмотрим представление », а векторное пространство называют «пространством представления». В физике иногда векторное пространство называют представлением, например, в предложении «мы моделируем частицу как трансформирующуюся в синглетном представлении» или даже для обозначения квантового поля, которое принимает значения в таком представлении, и физическое частицы, которые моделируются таким квантовым полем. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Для неприводимого представления анплет относится к размерному неприводимому представлению. Как правило, группа может иметь несколько неизоморфных представлений одного и того же измерения, поэтому это не полностью характеризует представление. Исключением является то, что для каждого неотрицательного целого числа имеется ровно одно неприводимое представление размерности . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Например, рассмотрим реальное трехмерное пространство . Группа трехмерных вращений SO(3) естественным образом действует на этом пространстве как группа матриц. Эта явная реализация группы вращения известна как фундаментальное представление , как и пространство представления. Полные данные представительства . Поскольку размерность этого пространства представления равна 3, оно известно как тройное представление для и обычно обозначается как . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \rho _{\text{fund}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {3} }$

Приложение к теоретической физике

Что касается приложений к теоретической физике, мы можем ограничить наше внимание теорией представлений нескольких физически важных групп. Многие из них хорошо понимают теорию представления:

• ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$: Часть калибровочной группы Стандартной модели и калибровочной группы теорий электромагнетизма. Все Irreps являются одномерными и индексируются целыми числами , явно заданными как . Индекс можно понимать как номер витка карты. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)}$: Входит в группу датчиков стандартной модели. Irreps индексируются неотрицательными целыми числами в , с описанием размерности представления или, при соответствующей нормализации, наивысшего веса представления. В физике принято обозначать их полуцелыми числами. См. Теорию представлений SU(2) . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$: Группа вращений 3D-пространства. Irreps — это нечётные иррепы ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$: Входит в группу датчиков стандартной модели. Irreps — это индексированные пары неотрицательных целых чисел , описывающие наибольший вес представления. См. коэффициенты Клебша-Гордана для SU(3) . ${\displaystyle (m,n)}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$: Группа Лоренца , линейные симметрии плоского пространства-времени. Все представления возникают как представления соответствующей спиновой группы. См. Теорию представлений группы Лоренца .
• ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)}$: Спиновая группа . Irreps индексируются парами неотрицательных целых чисел , индексируя размерность представления. ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$
• ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}$: Группа Пуанкаре изометрий плоского пространства-времени. Это можно понять с точки зрения теории представлений вышеприведенных групп. См. классификацию Вигнера .

Все эти группы фигурируют в теории Стандартной модели. Для теорий, расширяющих эти симметрии, можно рассмотреть теорию представлений некоторых других групп:

• Конформная симметрия: для псевдоевклидова пространства симметрии описываются конформной группой . ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}$
• Суперсимметрия: Симметрия, описываемая супергруппой.
• Теории Великого объединения: Калибровочные группы, которые содержат калибровочную группу Стандартной модели в качестве подгруппы. Предлагаемые кандидаты включают и . ${\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}$ ${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$

Физика

Квантовая теория поля

В квантовой физике математическое понятие обычно применяется к представлениям калибровочной группы . Например, калибровочная теория будет иметь мультиплеты, представляющие собой поля , представление которых определяется одним полуцелым числом — изоспином. Поскольку неприводимые представления изоморфны симметричной степени фундаментального представления, каждое поле имеет симметричные внутренние индексы. ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle s=:n/2}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Поля также трансформируются под представлениями группы Лоренца или, в более общем смысле, ее спиновой группы , с которой можно отождествить себя благодаря исключительному изоморфизму . Примеры включают скалярные поля , обычно обозначаемые , которые преобразуются в тривиальном представлении, векторные поля (строго, это можно было бы более точно назвать ковекторным полем), которое преобразуется как 4-вектор, и спинорные поля, такие как спиноры Дирака или Вейля , которые преобразуют в представлениях . Правый спинор Вейля преобразуется в фундаментальном представлении , . ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Помните, что помимо группы Лоренца поле может трансформироваться под действием калибровочной группы. Например, скалярное поле где — точка пространства-времени, может иметь состояние изоспина, принимающее значения в фундаментальном представлении . Then — векторная функция пространства-времени, но ее все еще называют скалярным полем, поскольку она тривиально преобразуется при преобразованиях Лоренца. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

В квантовой теории поля различные частицы соответствуют друг другу, причем калибровочные поля преобразуются в неприводимые представления внутренней группы и группы Лоренца. Таким образом, мультиплет также стал описывать набор субатомных частиц , описываемых этими представлениями.

Примеры

Самый известный пример — спиновый мультиплет , который описывает симметрию группового представления подгруппы SU(2) алгебры Лоренца , которая используется для определения спинового квантования. Спиновый синглет — это тривиальное представление, спиновый дублет — это фундаментальное представление , а спиновый триплет находится в векторном или присоединенном представлении .

В КХД кварки находятся в мультиплете SU(3) , в частности , в трехмерном фундаментальном представлении.

Другое использование

Спектроскопия

В спектроскопии, особенно гамма-спектроскопии и рентгеновской спектроскопии , мультиплет представляет собой группу связанных или неразрешимых спектральных линий . Если количество неразрешенных линий невелико, их часто называют дублетными или триплетными пиками, тогда как мультиплет используется для описания групп пиков в любом количестве.

Рекомендации

• Георгий, Х. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц: от изоспина к унифицированным теориям (1-е изд.). ЦРК Пресс. https://doi.org/10.1201/9780429499210

Смотрите также

• Гиперзаряд
• Изоспин
• Спин (физика)
• Представительство группы
• Множественность (химия)