Размерность алгебраического многообразия

Мера математического объекта, изучаемого в области алгебраической геометрии

В математике и, в частности, в алгебраической геометрии , размерность алгебраического многообразия может быть определена различными эквивалентными способами.

Некоторые из этих определений имеют геометрическую природу, в то время как некоторые другие являются чисто алгебраическими и опираются на коммутативную алгебру . Некоторые ограничиваются алгебраическими многообразиями, в то время как другие применимы также к любому алгебраическому множеству . Некоторые являются внутренними, поскольку не зависят от любого вложения многообразия в аффинное или проективное пространство , в то время как другие связаны с таким вложением.

Размерность аффинного алгебраического множества

Пусть K — поле , а L ⊇ K — алгебраически замкнутое расширение .

Аффинное алгебраическое множество V — это множество общих нулей в L ⁿ элементов идеала I в кольце многочленов Пусть — K -алгебра полиномиальных функций над V . Размерность V — это любое из следующих целых чисел. Она не изменится, если K будет увеличено, если L будет заменено другим алгебраически замкнутым расширением K и если I будет заменено другим идеалом, имеющим те же нули (то есть имеющим тот же радикал ). Размерность также не зависит от выбора координат; другими словами, она не изменится, если x _i будут заменены их линейно независимыми линейными комбинациями . ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ ${\displaystyle A=R/I}$

Размерность V равна

• Максимальная длина цепей различных непустых (неприводимых) подмногообразий V . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{d}}$

Это определение обобщает свойство размерности евклидова пространства или векторного пространства . Таким образом, это, вероятно, определение, которое дает наиболее простое интуитивное описание понятия.

• Размерность Крулля координатного кольца A.​

Это транскрипция предыдущего определения на языке коммутативной алгебры , где размерность Крулля — это максимальная длина цепочек простых идеалов A. ${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$

• Максимальная размерность Крулля локальных колец в точках V .

Это определение показывает, что размерность является локальным свойством, если является неприводимым. ${\displaystyle V}$ Если является неприводимым, то оказывается, что все локальные кольца в точках V имеют одинаковую размерность Крулля (см. ^[1] ); таким образом: ${\displaystyle V}$

• Если V — многообразие, то размерность Крулля локального кольца в любой точке V

Это перефразирует предыдущее определение на более геометрический язык.

• Максимальная размерность касательных векторных пространств в неособых точках V .

Это связывает размерность многообразия с размерностью дифференцируемого многообразия . Точнее, если V определено над вещественными числами, то множество его вещественных регулярных точек, если оно не пусто, является дифференцируемым многообразием, имеющим ту же размерность, что и многообразие, и как многообразие.

• Если V — многообразие, то размерность касательного векторного пространства в любой неособой точке V .

Это алгебраический аналог того факта, что связное многообразие имеет постоянную размерность. Это также можно вывести из результата, изложенного ниже третьего определения, и того факта, что размерность касательного пространства равна размерности Крулля в любой неособой точке (см. касательное пространство Зарисского ).

• Число гиперплоскостей или гиперповерхностей в общем положении , необходимых для пересечения с V , которое сводится к ненулевому конечному числу точек.

Это определение не является внутренним, поскольку оно применимо только к алгебраическим множествам, которые явно вложены в аффинное или проективное пространство.

• Максимальная длина регулярной последовательности в координатном кольце A.

Это алгебраический перевод предыдущего определения.

• Разница между n и максимальной длиной регулярных последовательностей, содержащихся в I.

Это алгебраический перевод того факта, что пересечение n – d общих гиперповерхностей представляет собой алгебраическое множество размерности d .

• Степень полинома Гильберта A.​
• Степень знаменателя ряда Гильберта числа A.

Это позволяет, посредством вычисления базиса Грёбнера , вычислить размерность алгебраического множества, определяемого данной системой полиномиальных уравнений . Более того, размерность не изменится, если полиномы базиса Грёбнера заменить их ведущими мономами, и если эти ведущие мономы заменить их радикалом (мономами, полученными путем удаления показателей). Итак: ^[2]

• Размерность Крулля кольца Стэнли–Райснера ${\displaystyle R/J}$ ${\displaystyle J}$ , ${\displaystyle I}$где — радикал начального идеала для любого допустимого мономиального упорядочения ( начальный идеал — это множество всех старших мономов элементов ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• Размерность симплициального комплекса, определяемая этим кольцом Стэнли–Райснера.
• Если I — простой идеал (т.е. V — алгебраическое многообразие), то степень трансцендентности над K поля частных A .

Это позволяет легко доказать, что размерность инвариантна относительно бирациональной эквивалентности .

Размерность проективного алгебраического множества

Пусть V — проективное алгебраическое множество , определяемое как множество общих нулей однородного идеала I в кольце многочленов над полем K , и пусть A = R / I — градуированная алгебра многочленов над V. ${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Все определения предыдущего раздела применимы с тем изменением, что когда A или I появляются явно в определении , значение размерности должно быть уменьшено на единицу. Например, размерность V на единицу меньше размерности Крулла A.

Расчет размерности

Если задана система полиномиальных уравнений над алгебраически замкнутым полем , может оказаться затруднительным вычислить размерность алгебраического множества, которое она определяет. ${\displaystyle K}$

Без дополнительной информации о системе существует только один практический метод, который состоит в вычислении базиса Грёбнера и выводе степени знаменателя ряда Гильберта идеала, порожденного уравнениями.

Второй шаг, который обычно является самым быстрым, можно ускорить следующим образом: во-первых, базис Грёбнера заменяется списком его ведущих мономов (это уже сделано для вычисления ряда Гильберта). Затем каждый моном типа заменяется произведением переменных в нем: Тогда размерность — это максимальный размер подмножества S переменных , такой, что ни одно из этих произведений переменных не зависит только от переменных в S. ${\displaystyle {x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}}$ ${\displaystyle x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.}$

Этот алгоритм реализован в нескольких системах компьютерной алгебры . Например, в Maple это функция Groebner[HilbertDimension], а в Macaulay2 это функция dim .

Реальное измерение

Действительная размерность множества действительных точек, обычно полуалгебраического множества , является размерностью его замыкания Зарисского . Для полуалгебраического множества S действительная размерность является одним из следующих равных целых чисел: ^[3]

• Реальная размерность — это размерность его замыкания Зарисского. ${\displaystyle S}$
• Действительная размерность — это максимальное целое число, такое что существует гомеоморфизм в . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ ${\displaystyle S}$
• Действительная размерность — это максимальное целое число , такое что существует проекция на -мерное подпространство с непустой внутренностью . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

Для алгебраического множества, определенного над вещественными числами (то есть определяемого полиномами с вещественными коэффициентами), может случиться, что вещественная размерность множества его вещественных точек меньше его размерности как полуалгебраического множества. Например, алгебраическая поверхность уравнения является алгебраическим многообразием размерности два, которое имеет только одну вещественную точку (0, 0, 0) и, таким образом, имеет вещественную размерность ноль. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

Действительную размерность вычислить сложнее, чем алгебраическую. Для случая действительной гиперповерхности (то есть множества действительных решений одного полиномиального уравнения) существует вероятностный алгоритм для вычисления ее действительной размерности. ^[4]

Смотрите также

• Измерение (векторное пространство)
• Теория размерности (алгебра)
• Размерность схемы

Ссылки

1. Глава 11 Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8 .
2. Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон; О'Ши, Донал Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительную алгебраическую геометрию и коммутативную алгебру. Четвертое издание. Бакалаврские тексты по математике. Springer, Cham, 2015.
3. Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза (2003), Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии (PDF) , Алгоритмы и вычисления в математике, т. 10, Springer-Verlag
4. Иван, Баннварт; Мохаб, Сейфи Эль Дин (2015), Вероятностный алгоритм вычисления размерности действительных алгебраических множеств, Труды международного симпозиума 2015 года по символьным и алгебраическим вычислениям, ACM