Нейтральная ось

Балка с нейтральной осью (x).

Нейтральная ось — это ось в поперечном сечении балки ( элемента, сопротивляющегося изгибу) или вала, вдоль которой отсутствуют продольные напряжения и деформации.

Теория

Если сечение симметрично, изотропно и не искривлено до возникновения изгиба, то нейтральная ось находится в геометрическом центре тяжести балки или вала. Все волокна по одну сторону от нейтральной оси находятся в состоянии растяжения , а по другую сторону — в состоянии сжатия .

Поскольку балка испытывает равномерный изгиб, плоскость балки остается плоской. То есть:

${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{zx}=\tau _{xy}=\tau _{xz}=0}$

Где находится деформация сдвига и напряжение сдвига ? ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \tau }$

В верхней части балки существует сжимающая (отрицательная) деформация, а в нижней части балки — растягивающая (положительная). Следовательно, согласно теореме о промежуточном значении между верхом и низом должна быть некоторая точка, в которой нет деформации, поскольку деформация в балке является непрерывной функцией .

Пусть L — исходная длина балки ( пролет ).
ε(y) — деформация как функция координаты на лицевой стороне балки.
σ(y) — напряжение как функция координаты на грани балки.
ρ — радиус кривизны балки на ее нейтральной оси.
θ — угол изгиба

Поскольку изгиб является равномерным и чистым, следовательно, на расстоянии y от нейтральной оси имеется свойство отсутствия деформации:

${\displaystyle \epsilon _{x}(y)={\frac {L(y)-L}{L}}={\frac {\theta \,(\rho \,-y)-\theta \rho \,}{\theta \rho \,}}={\frac {-y\theta }{\rho \theta }}={\frac {-y}{\rho }}}$

Следовательно, продольная нормальная деформация изменяется линейно с расстоянием y от нейтральной поверхности. Обозначив максимальную деформацию в балке (на расстоянии с от нейтральной оси), становится ясно, что: ${\displaystyle \epsilon _{x}}$ ${\displaystyle \epsilon _{m}}$

${\displaystyle \epsilon _{m}={\frac {c}{\rho }}}$

Следовательно, мы можем найти ρ и найти, что:

${\displaystyle \rho ={\frac {c}{\epsilon _{m}}}}$

Подставив это обратно в исходное выражение, мы находим, что:

${\displaystyle \epsilon _{x}(y)={\frac {-\epsilon _{m}y}{c}}}$

Согласно закону Гука напряжение в балке пропорционально деформации на E, модуль упругости :

${\displaystyle \sigma _{x}=E\epsilon _{x}\,}$

Поэтому:

${\displaystyle E\epsilon _{x}(y)={\frac {-E\epsilon _{m}y}{c}}}$

${\displaystyle \sigma _{x}(y)={\frac {-\sigma _{m}y}{c}}}$

Из статики момент (т.е. чистый изгиб ) состоит из равных и противоположных сил. Следовательно, общая сумма сил по поперечному сечению должна быть равна 0.

${\displaystyle \int \sigma _{x}dA=0}$

Поэтому:

${\displaystyle \int {\frac {-\sigma _{m}y}{c}}dA=0}$

Поскольку y обозначает расстояние от нейтральной оси до любой точки грани, это единственная переменная, которая изменяется по отношению к dA. Поэтому:

${\displaystyle \int ydA=0}$

Поэтому первый момент сечения относительно его нейтральной оси должен быть равен нулю. Следовательно, нейтральная ось лежит в центре тяжести поперечного сечения.

Обратите внимание, что нейтральная ось не меняет длину при изгибе. На первый взгляд это может показаться нелогичным, но это потому, что на нейтральной оси нет изгибающих напряжений. Однако на нейтральной оси существуют напряжения сдвига (τ), равные нулю в середине пролета, но возрастающие по направлению к опорам, как видно из этой функции (формула Журавского);

${\displaystyle \tau ={\frac {TQ}{wI}}}$

где
T = поперечная сила
Q = первый момент площади сечения выше/ниже нейтральной оси
w = ширина балки
I = второй момент площади балки

Это определение подходит для так называемых длинных балок, т. е. ее длина значительно больше двух других измерений.

Арки

Арки также имеют нейтральную ось, если они сделаны из камня; камень — неэластичная среда и имеет небольшую прочность на растяжение. Поэтому при изменении нагрузки на арку нейтральная ось перемещается – если нейтральная ось выйдет за пределы каменной кладки, то арка выйдет из строя.

Эта теория (также известная как метод линии тяги ) была предложена Томасом Янгом и развита Изамбардом Кингдом Брюнелем .

Практическое применение

Строительные работники должны иметь хотя бы базовое представление о концепции нейтральной оси, чтобы не прорезать отверстия для прокладки проводов, труб или воздуховодов в местах, которые могут поставить под угрозу прочность структурных элементов здания. Строительные нормы и правила обычно определяют правила и рекомендации, которым можно следовать при повседневной работе, но в особых ситуациях и проектах для обеспечения безопасности могут потребоваться услуги инженера -строителя . ^{[1] [2]}

Смотрите также

• Нейтральная плоскость
• Второй момент инерции

Рекомендации

1. «Цифровые коды». ICC-коды . Международный совет по нормам и правилам, Inc. Проверено 10 февраля 2023 г.
2. Да, Борджен; Херцог, Бенджамин. «Влияние отверстий на конструктивную способность клееного бруса» (PDF) . АПА Вуд . APA – Ассоциация инженерной древесины . Проверено 10 февраля 2023 г.